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2 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Gauss’s lemma and Eisenstein’s criterion

3 数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Prime cyclotomic polynomials

4 现代代数代写

4.1 数学代㝍|现代代数代考Modern Algebra代与|Gauss’s lemma and Eisenstein’s criterion

4.2 数学代写现代代数代考Modern Algebra代写|Prime cyclotomic polynomials

如果你也在怎样代写现代代数Modern Algebra MATH611这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数，也叫抽象代数，是数学的一个分支，涉及各种集合（如实数、复数、矩阵和矢量空间）的一般代数结构，而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展，现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算，可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。

现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATH611 Gauss’s lemma and Eisenstein’s criterion

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Gauss’s lemma and Eisenstein’s criterion

Further study of $\mathbf{Q}[x]$ will require looking at $\mathbf{Z}[x]$. In other words, in order to study polynomials with rational coefficients, we’ll have to look at polynomials with integral coefficients. We can take a polynomial with rational coefficients and multiply it by the least common multiple of the denominators of its coefficients to get another polynomial with the same roots but with integral coefficients. We can also divide by the greatest common divisor of the resulting coefficients to get yet another polynomial with the same roots, with integral coefficients, and the greatest common divisor of all its coefficients is 1 . Such a polynomial is called primitive.
After that, we’ll be able to prove Gauss’s lemma which says that a primitive polynomial $f(x) \in \mathbf{Z}[x]$ is reducible in $\mathbf{Q}[x]$ if and only if it’s reducible in $\mathbf{Z}[x]$.

We can make more use of these results if, instead of considering just the case of the domain $\mathbf{Z}$ and its field of fractions $\mathbf{Q}$, we generalize to any unique factorization domain $D$ and its field of fractions $F$. So, for the following discussion, fix a UFD $D$, and let $F$ denote its field of fractions. Though, keep in mind the basic case when $D=\mathbf{Z}, F=\mathbf{Q}, D /(p)=\mathbf{Z}_p$, and $D /(p)[x]=\mathbf{Z}_p[x]$ to get a better idea of what’s going on.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Prime cyclotomic polynomials

Cyclotomic polynomials were introduced in defintion $1.63$.
For a prime $p$, the $p^{\text {th }}$ cyclotomic polynomial is
$$
\Phi_p(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+\cdots+x+1 .
$$
We’ll use Eisenstein’s criterion to show $\Phi_p$ is irreducible, but not directly. First, we’ll use a translation. Let
$$
f(x)=\Phi_p(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}{x}=x^{p-1}+\left(\begin{array}{c}
p \
p-1
\end{array}\right) x^{p-2}+\cdots+\left(\begin{array}{l}
p \
2
\end{array}\right) x+\left(\begin{array}{l}
p \
1
\end{array}\right) .
$$
Then Eisenstein’s criterion applies to $f$. Since $f$ is irreducible, so is $\Phi_p$.

The roots of $\Phi_p$ are the $p-1$ primitive $p^{\text {th }}$ roots of unity. In the case that $p=7$, there are six primitive $7^{\text {th }}$ roots of unity. One, labelled $\omega$ in figure 3.4, is located at an angle of $\alpha=2 \pi / 7$, and the others are powers of it. There is one more $7^{\text {th }}$ root of unity, namely 1 . 1 is not primitive $7^{\text {th }}$ root of unity but instead a primitive first root of unity since it’s a root of the polynomial $x-1$ of degree 1 .

现代代数代写

数学代㝍|现代代数代考Modern Algebra代与|Gauss’s lemma and Eisenstein’s criterion

进一步研究 $\mathbf{Q}[x]$ 需要看 $\mathbf{Z}[x]$. 换句话说, 为了研究具有有理系数的多项式, 我们将不得不研究具有整数系数的多项式。我们可以取一个有理系数的多项式, 乘以它的系数分母的最小公倍数, 得到另一个同根但系数为整数的多项式。我们还可以除以所得系数的最大公约数, 得到另一个具有相同根和整数系数的多项式, 其所有系数的最大公约数为 1 。这样的多项式称为原始多项式。
在那之后, 我们将能够证明高斯引理, 它说一个原始多项式 $f(x) \in \mathbf{Z}[x]$ 可以减少 $\mathbf{Q}[x]$ 当且仅当它是可还原的 $\mathbf{Z}[x]$.
我们可以更多地利用这些结果, 而不是仅仅考虑域的情况Z及其分数域 $\mathbf{Q}$, 我们推广到任何唯一的因式分解域 $D$ 及其分数域 $F$. 因此, 对于下面的讨论, 修复一个 UFD $D$, 然后让 $F$ 表示它的分数域。不过, 请记住基本情况 $D=\mathbf{Z}, F=\mathbf{Q}, D /(p)=\mathbf{Z}_p$, 和 $D /(p)[x]=\mathbf{Z}_p[x]$ 更好地了解正在发生的事情。

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定义中引入了分圆多项式 $1.63$.
对于质数 $p$, 这 $p^{\text {th } \text { 分圆多项式是 }}$
$$
\Phi_p(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=x^{p-1}+\cdots+x+1 .
$$
我们将使用爱森斯坦的标准来证明 $\Phi_p$ 是不可约的, 但不是直接的。首先, 我们将使用翻译。 i上
$$
f(x)=\Phi_p(x+1)=\frac{(x+1)^p-1}{x}=x^{p-1}+(p p-1) x^{p-2}+\cdots+(p 2) x+\left(p_{\Theta}\right)
$$
那么爱森斯坦的标准适用于 $f$. 自从 $f$ 是不可约的, 所以是 $\Phi_p$.
的根源 $\Phi_p$ 是 $p-1$ 原始 $p^{\text {th }}$ 团结的根源。在这种情况下 $p=7$, 有六个原始 $7^{\text {th }}$ 团结的根源。一、标示 $\omega$ 在图 $3.4$ 中, 位于角度 $\alpha=2 \pi / 7$, 其他都是它的莫。还有一个 $7^{\text {th }}$ 单位根, 即 $1 。 1$ 不是原始的 $7^{\text {th }}$ 单位根而是一个原始单位根, 因为它是多项式的根 $x-11$ 级。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微观经济学代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种微观经济学代写Microeconomics相关的作业也就用不着说。

机器学习代写

机器学习（ML）是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域，也就是说，利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据（称为训练数据）建立模型，以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中，如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉，在这些应用中，开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关，统计学专注于使用计算机进行预测，但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。

统计推断代写

统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多，包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。