数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATH402 Unique factorization domains

如果你也在 怎样代写现代代数Modern Algebra MATH402这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数,也叫抽象代数,是数学的一个分支,涉及各种集合(如实数、复数、矩阵和矢量空间)的一般代数结构,而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展,现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算,可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。

现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称,但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下,现代代数处理的是特殊类别的代数,包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看,场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数,但这两个名字在今天都有误导性,因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。。

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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|MATH402 Unique factorization domains

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Unique factorization domains

Unique factorization is a property that we might expect, but it turns out it doesn’t hold in every integral domain. Given any element $x$ in a ring $D$, we expect that we can factor it into ‘atoms,’ things that can’t be cut further, and that there’s only one way to do that. Of course, with our experience with the integers, we know that there’s a bit of difficulty in stating the uniqueness part of the claim. For one thing, the order of the factors is variable, and, for another, there are units, like 1 and $-1$ that can be inserted to change the formal listing of the factors. Still, these are small things that we can deal with.

Definition 3.41. An integral domain is a unique factorization domain (UFD) if every element in it is a product of irreducible elements and it is a product of irreducible elements in only one way apart from the order of the product and factors of units.

The ring $\mathbf{Z}$ of integers is, of course, a unique factorization domain. An integer, such as 6 can be written in more than one way as a product of irreducible elements (primes, in the case of integers) $6=2 \cdot 3=(-3) \cdot(-2)$, but the only difference is the order of the primes and the insertions of units in the factorization.

Recall that an ideal $I$ in a commutative ring $R$ is a prime ideal when $R / I$ is an integral domain. Equivalently, $I$ is a prime ideal if (1) $I \neq R$, and (2) for all $x, y \in R$, if $x y \in I$, then either $x \in I$ or $y \in I$.

Theorem 3.42. An nonzero element $x$ is an integral domain $D$ is prime if and only if the principal ideal $(x)$ is a prime ideal.

Exercise 43. Prove the preceding theorem. Note that there are two things to prove in an if-and-only-if statement.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Principal ideal domains

A second nice property that the ring of integers has is that every ideal in $\mathbf{Z}$ is generated by a single element. If $I$ is an ideal in $\mathbf{Z}$, then the GCD of all it’s nonzero elements is an element of $I$ and all other elements are multiples of this GCD. This will be our definition of a principal ideal domain (PID), and we’ll show that every PID is a UFD. There are UFDs that aren’t PIDs, for instance, $\mathbf{Z}[x]$, the ring of polynomials with integer coefficients is one; one nonprincipal ideal is generated by 2 and $x$.

Definition 3.43. An integral domain is a principal ideal domain (PID) if every ideal in the domain is principal, that is, generated by one element.

Besides $\mathbf{Z}$, other prominent PIDs are $F[x]$ where $F$ is a field. We’ll prove this in section 3.8.4 on Euclidean domains which are special kinds of PIDs.

We’ll show in a couple of steps that every PID is a UFD. The first one makes a connection between greatest common divisors and ideals.


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现代代数代写

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唯一分解是我们可能期望的一个属性, 但事实证明它并不适用于每个积分域。给定任何元素 $x$ 在一个环 $D$, 我们希望我们可以将它分解为 “原子”, 即无法进一步切割的东西, 而且只有一种方法可以做到这一点。当 然, 根据我们对整数的经验, 我们知道陈述声明的唯一性部分有点困难。一方面, 因子的顺序是可变的, 另 一方面, 有单位, 比如 1 和 $-1$ 可以揷入以更改因子的正式列表。尽管如此, 这些都是我们可以处理的小事 情。
定义 3.41。如果积分域中的每个元素都是不可约元素的乘积, 并且它是不可约元素的乘积, 并且除了乘积的 阶数和单位因子之外, 它仅以一种方式是不可约元素的乘积, 则该整数域是唯一分解域 (UFD)。
戒指 $\mathbf{Z}$ 的整数当然是唯一的因式分解域。一个整数,例如 6 可以用不止一种方式写成不可约元素的乘积(质 数, 在整数的情况下) $6=2 \cdot 3=(-3) \cdot(-2)$, 但唯一的区别是素数的顺序和因式分解中单位的揷入。
回想一个理想 $I$ 在交换环中 $R$ 是一个素理想, 当 $R / I$ 是一个积分域。等价地, $I$ 是素理想如果 (1) $I \neq R$, (2) 对所有 $x, y \in R$, 如果 $x y \in I$, 那么要么 $x \in I$ 或者 $y \in I$.
定理 3.42。非零元素 $x$ 是一个积分域 $D$ 是质数当且仅当主理想 $(x)$ 是素理想。
练习 43. 证明前面的定理。请注意, 在 if-and-only-if 语句中需要证明两件事。

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整数环具有的第二个很好的性质是 $\mathbf{Z}$ 由单个元素生成。如果 $I$ 是一个理想的 $\mathbf{Z}$, 那么它的所有非䨐元素的 GCD 是一个元素 $I$ 所有其他元素都是此 GCD 的倍数。这将是我们对主理想域 (PID) 的定义, 我们将证明每 个 PID 都是一个 UFD。有些 UFD 不是 PID, 例如, $\mathbf{Z}[x]$, 整数系数多项式的环是一个;一个非主要理想是 由 2 和 $x$.
定义 3.43。如果域中的每个理想都是主理想, 即由一个元素生成, 则积分域是主理想域 (PID)。
除了 $\mathbf{Z}$, 其他突出的 PID 是 $F[x]$ 在哪里 $F$ 是一个字段。我们将在 $3.8 .4$ 节中关于欧几里德域\cjkstart特殊类型的 PID)中证明这一点。
我们将在几个步骤中展示每个 PID 都是一个 UFD。第一个在最大公约数和理想之间建立联系。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微观经济学代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种微观经济学代写Microeconomics相关的作业也就用不着 说。

机器学习代写

机器学习(ML)是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域,也就是说,利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据(称为训练数据)建立模型,以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中,如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉,在这些应用中,开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关,统计学专注于使用计算机进行预测,但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。



统计推断代写

统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多,包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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