物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|ENGG145 Error Analysis for the Discrete Poisson Equation

如果你也在 怎样代写空气动力学Aerodynamics ENGG145这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。空气动力学Aerodynamics可以追溯到十七世纪,但空气动力已经被人类利用在帆船和风车上达数千年之久,飞行的图像和故事也出现在有记载的历史中,如古希腊的伊卡洛斯和代达罗斯的传说。连续体、阻力和压力梯度的基本概念出现在亚里士多德和阿基米德的著作中。

空气动力学Aerodynamics源于古希腊语:aero(空气)+古希腊语:δυναμική(动力学),是对空气运动的研究,特别是当受到固体物体,如飞机机翼影响时。它涉及到流体动力学领域和其子领域气体动力学所涵盖的主题。空气动力学一词通常与气体动力学同义使用,区别在于 “气体动力学 “适用于研究所有气体的运动,而不限于空气。空气动力学的正式研究在现代意义上开始于18世纪,尽管对空气动力阻力等基本概念的观察记录要早得多。大多数早期的空气动力学努力都是为了实现比空气重的飞行,这是由奥托-利连塔尔在1891年首次证明的。从那时起,通过数学分析、经验近似、风洞实验和计算机模拟对空气动力学的使用,为比空气重的飞行和其他一些技术的发展奠定了合理基础。最近的空气动力学工作集中在与可压缩流、湍流和边界层有关的问题上,并且越来越具有计算的性质。

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物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|ENGG145 Error Analysis for the Discrete Poisson Equation

物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|Error Analysis for the Discrete Poisson Equation

In this section, we derive error bounds for discrete solutions of Poisson’s equation. Suppose that $u$ satisfies Poisson’s equation in a square domain $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$, with Dirichlet boundary conditions on the boundary $\mathcal{B}$

$$
\begin{aligned}
L u &=u_{x x}+u_{y y}=f \quad \text { in } \mathcal{D} \
u &=u_{b} \quad \text { on } \mathcal{B} .
\end{aligned}
$$
For the sake of simplicity, we calculate the discrete solution $u_{h}=v$ on a Cartesian mesh with equal intervals $\Delta x=\Delta y=h$, where we use the notation $v$ to suppress the subscript $h$ when it is not needed. Then, $v$ satisfies the net equation
$$
\begin{aligned}
L_{h} v=f & \text { in } \mathcal{D}{h} \ v=u{b} & \text { in } \mathcal{B}{h}, \end{aligned} $$ where $\mathcal{D}{h}$ consists of the interior mesh points, $\mathcal{B}{h}$ consists of the boundary points, $f{i, j}$ is the value of $f$ at the mesh point $i, j$, and
$$
L_{h} v_{i, j}=\frac{1}{h^{2}}\left(v_{i+1, j}+v_{i-1, j}+v_{i, j+1}+v_{i, j-1}-4 v_{i, j}\right)
$$

物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|Iterative Solution of the Laplace Difference Equation

The solution of the difference equations for an elliptic problem requires the inversion of a large sparse matrix. While fast methods are available for the discrete Laplacian operator, in the case of more general elliptic operators, the operation count of direct inversion can become prohibitive for solutions on fine meshes. This issue, which is accentuated in three-dimensional problems, has motivated the development of iterative methods for the solution of the difference equations. These methods, commonly called relaxation methods, were pioneered in the period 1930-1945 by Southwell (1946), before the advent of electronic computers.

We shall consider here the iterative solution of the Laplace difference equation (3.2) on a mesh with equal intervals $\Delta x=\Delta y=h$, as a representative example. Let $v_{i, j}^{n}$ donate the approximate solution at the mesh point $i, j$ after $n$ iterations. The two classic approaches are the Jacobi and Gauss-Seidel methods. In both methods, we sweep over the mesh, updating the solution at each mesh point in turn.

In the Jacobi method, we solve the equations at each point using values from the previous iteration at the neighboring points to obtain a provisional value $\tilde{v}{i, j}$, $$ \tilde{v}{i, j}=\frac{1}{4}\left(v_{i+1, j}^{n}+v_{i-1, j}^{n}+v_{i, j+1}^{n}+v_{i, j-1}^{n}\right),
$$

and then we update the solution at that point by the formula
$$
v_{i, j}^{n+1}=v_{i, j}^{n}+r\left(\tilde{v}{i, j}-v{i, j}^{n}\right),
$$
where $r$ is a relaxation factor, which may be chosen to optimize the rate of convergence. In the Gauss-Seidel method, we solve the equations at each point using the latest available values of the solution at the neighboring points as they are generated during the sweep. If we march row by row from left to right, the provisional value is
$$
\tilde{v}{i, j}=\frac{1}{4}\left(v{i+1, j}^{n}+v_{i-1, j}^{n+1}+v_{i, j+1}^{n}+v_{i, j-1}^{n+1}\right),
$$
and then $v_{i, j}^{n+1}$ is updated as in the Jacobi method by the formula (3.11). It is well known that both the Jacobi and Gauss-Seidel methods converge for diagonally dominant systems of equations. The diagonal coefficient of the Laplace difference equations, however, is exactly equal to the sum of the coefficients of the neighboring points in the stencil, complicating the analysis of the methods. The performance of alternative iterative methods has actually been exhaustively studied in classic works of Young, Varga, and Wachspress (Wachspress 1963, Varga 2000, Young 2003).

物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|ENGG145 Error Analysis for the Discrete Poisson Equation

空气动力学代写

物理代写空气动力学代写Aerodynamics代考|Error Analysis for the Discrete Poisson Equation


在本节中, 䇝们推导出泊松方程离散解的误差界限。假设 $u$ 在平方域中满足泊松方程 $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$, 边界上有淡利克雷边界条件 $B$
$L u=u_{x x}+u_{y y}=f \quad$ in $\mathcal{D} u \quad=u_{b} \quad$ on $\mathcal{B}$
为了简单起见, 我们计算离散解 $u_{h}=v$ 在等间隔的笛卡尔网格上 $\Delta x=\Delta y=h$, 我们使用符号的地方 $v$ 抑 制下标 $h$ 不需要的时候。然后, $v$ 满足净方程
$$
L_{h} v=f \text { in } \mathcal{D h} v=u b \quad \text { in } \mathcal{B} h,
$$
在哪里 $\mathcal{D} h$ 由内部网格点组成, $\mathcal{B h}$ 由边界点组成, $f i, j$ 是的价值 $f$ 在网格点 $i, j$, 和
$$
L_{h} v_{i, j}=\frac{1}{h^{2}}\left(v_{i+1, j}+v_{i-1, j}+v_{i, j+1}+v_{i, j-1}-4 v_{i, j}\right)
$$


物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|Iterative Solution of the Laplace Difference Equation


求解椭圆问题的差分方程需要对一个大的稀疏㺮阵求逆。虽然离散拉普拉斯算子可以使用快速方法, 但在更
一般的椭圆算子的情况下,直接反演的操作计数对于精细网格上的解决方䅁可能会变得禁止。这个问题在三 维问题中得到了强调, 推动了求解差分万程的迭代方法的发展。这些万 1945 年期间由 Southwell (1946)在电子计算机出现之前率先提出的。
我们将在这里考虑拉普拉斯差分方程 (3.2) 在等间隔网格上的迭代解 $\Delta x=\Delta y=h$, 作为一个代表性的
例子。让 $v_{i, j}^{n}$ 捐赠网格点处的近似解 $i, j$ 后 $n$ 迭代。两种经典方法是 Jacobi 和 Gauss-Seidel 方法。在这两 种方法中, 我们扫描网格, 依次更新每个网格点的解。
在 Jacobi 方法中, 我们使用来自相邻点的先前迭代的值来求解每个点的方程, 以获得临时值 $\$ \backslash$ tilde ${v}{i$, $j}, \$ \backslash$ tilde ${v}{i,$,
$1}^{\wedge}{$ $\$ \$$
然后㧴们通过公式更新那个点的解决方案
$$
v_{i, j}^{n+1}=v_{i, j}^{n}+r\left(\tilde{v} i, j-v i, j^{n}\right),
$$
在哪里 $r$ 是一个松弛因子, 可以选择它来优化收敛速度。在 Gauss-Seidel 方法中, 我们使用在扫描期间生 成的相邻点解的最新可用值来求解每个点的方程。如果㧴们从左到右逐行行进, 则临时值为
$$
\tilde{v} i, j=\frac{1}{4}\left(v i+1, j^{n}+v_{i-1, j}^{n+1}+v_{i, j+1}^{n}+v_{i, j-1}^{n+1}\right),
$$
接着 $v_{i, j}^{n+1}$ 用公式 (3.11) 更新为 Jacobi 方法。众所周知, Jacobi 和 Gauss-Seidel 方法都收敛于对角占优
的方程组。然而, 拉普拉斯差分方程的对角系数恰好等于模板中相邻点的系数之和, 使方法的分析变得复
杂。替代迭代方法的性能实际上已经在 Young、Varga 和 Wachspress 的经典著作中进行了详尽的研究
(Wachspress 1963、Varga 2000、Young 2003)

物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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