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数论Number theory MAT00023H的旧称是算术。到二十世纪初，它已被 “数论 “所取代。（”算术 “一词被公众用来指 “基本计算”；它在数理逻辑中也获得了其他含义，如Peano算术和计算机科学，如浮点算术。） 在20世纪下半叶，数论的使用重新获得了一些地位，可以说部分是由于法国的影响。特别是，作为一个形容词，arithmetical通常比数论的更受欢迎。
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数学代写|数论代写NUMBER THEORY代考|Worked out Exercises
Problem 11.5.1. Find the simple infinite continued fraction of $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Solution 11.5.1. Let us consider $\eta_{0}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Then $a_{0}=\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]=1$. Applying Theorem 11.4.5 we obtain $\eta_{1}=\frac{1}{\eta_{0}-a_{0}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\eta_{0}$. This gives $\frac{1+\sqrt{5}}{2}=[1 ; 1,1,1,1, \ldots, \ldots]$.
Problem 11.5.2. Prove that the first four partial quotients of the simple infinite continued fraction of $\frac{e-1}{e+1}$ are $0,2,6,10$.
Solution 11.5.2. Suppose $\eta_{0}=\frac{e-1}{e+1}$. Then $b_{0}=\left[\frac{e-1}{e+1}\right]=0$. In view of Theorem(11.4.5), we get $\eta_{1}=\frac{1}{\eta_{0}-b_{0}}=\frac{e+1}{e-1}$. Then, $b_{1}=\left[\eta_{1}\right]=\left[\frac{e+1}{e-1}\right]=2$. Again, $\eta_{2}=\frac{1}{\eta_{1}-b_{1}}=\frac{1}{\frac{e+1}{e-1}-2}=-\frac{e-1}{e-3} . \quad$ Consequently, $b_{2}=\left[\eta_{2}\right]=[-$ $\left.\frac{e-1}{e-3}\right]=6 .$ By similar manner, $\eta_{3}=\frac{1}{\eta_{2}-b_{2}}=\frac{1}{\eta_{2}-6}=-\frac{e-3}{7 e-19}, b_{3}=$ $\left[\eta_{3}=10\right]$. Thus the first four partial quotients of the simple infinite continued fractions of $\frac{e-1}{e+1}$ are $b_{0}=0, b_{1}=2, b_{2}=6, b_{3}=10$.
数学代写|数论代写NUMBER THEORY代考|Periodic Fractions
In continuation with example(11.4.1), we find $b_{5}=b_{1}, b_{6}=b_{2}$ and so on. The process iterates repeatedly, which makes the sequence of partial quotients periodic. So this example motivates us to study the notion of periodic infinite simple continued fractions. In the present section, we will show that the necessary and sufficient condition for an infinite continued fraction to be periodic is that the real number represented by the continued fraction is a quadratic irrational. So let us begin with a definition.
Definition 11.6.1. An infinite simple continued fraction $\left[b_{0} ; b_{1}, b_{2}, \ldots, \ldots\right]$ is said to be periodic if $\exists$ positive integers $N$ and $k$ such that $b_{n}=b_{n+k}$ for all positive integers $n$ with $n \geq N$. Symbolically, periodic fraction are represented by $\left[b_{0} ; b_{1}, b_{2}, b_{N-1}, \overline{b_{N}, b_{N+1}, \ldots, b_{N+k-1}}\right]$. It means periodic infinite simple continued fraction are expressed as
$$
\left[b_{0} ; b_{1}, b_{2}, b_{N-1}, b_{N}, b_{N+1}, \ldots, b_{N+k-1}, b_{N}, b_{N+1}, \ldots\right] .
$$
To characterize irrational numbers with periodic infinite simple continued fractions, we need the following definition.
Definition 11.6.2. Quadratic Irrationalities: A real number $\eta$ is said to be a quadratic irrational if $\eta$ is irrational and if $\eta$ is a root of a quadratic equation with integral coefficients given by $A x^{2}+B x+C=0$, where $A, B, C$ are integers.
Before we proceed with important results, let us start with an important theorem about quadratic irrationalities.
Theorem 11.6.1. A real number $\eta$ is said to be a quadratic irrational if and only if $\exists$ integers $a, b, c$ such that $b$ is not a perfect square and satisfies $\eta=\frac{a+\sqrt{b}}{c}$ where $b>0$ and $c \neq 0$.
Proof. Let us assume the real number $\eta$ to be a quadratic irrational. Then $\eta$ is irrational and also $\exists$ integers $A, B, C$ such that $\eta$ is a root of the quadratic equation $A x^{2}+B x+C=0$. Hence $\eta=\frac{-B \pm \sqrt{B^{2}-4 A C}}{2 A}$ with $A \neq 0$. Since $\eta$ is real, therefore $B^{2}-4 A C>0$. Also $B^{2}-4 A C$ can not be a perfect square[Why!]. Considering the values of $a, b, c$ as follows:
$$
a=b, b=B^{2}-4 A C, C=-2 A \text { or } a=-B, b=B^{2}-4 A C, c=2 A,
$$
we obtain $\eta=\frac{a+\sqrt{b}}{c}$ where $b>0$ and $c \neq 0$.
For the converse part, assume that for some integers $a, b, c$ with $b>0$ and $c \neq 0$ such that $b$ is not a perfect square and $\eta=\frac{a+\sqrt{b}}{c}$. Then $\eta$ is irrational. Also,
$$
\eta=\frac{a+\sqrt{b}}{c} \Rightarrow \sqrt{b}=c \eta-a .
$$
Squaring, we get
$$
b=(c \eta-a)^{2} \Rightarrow c^{2} \eta^{2}-2 a c \eta+\left(a^{2}-b\right)=0 .
$$
This implies $A=c^{2}, B=-2 a c, C=a^{2}-b$. Hence $\eta$ is a quadratic irrational. This completes the proof.
An immediate consequence of Theorem 11.6.1 leads to a corollary of importance.
数论代写
数学代写|数论代写NUMBER THEORY 代考|Worked out Exercises
问题 11.5.1。找到简单的无限连分数 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
解决方案 11.5.1。让我们考虑一下 $\eta_{0}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. 然后 $a_{0}=\left[\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right]=1$. 应用定理 11.4.5 我们得到 $\eta_{1}=\frac{1}{\eta_{0}-a_{0}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\eta_{0}$. 这给 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}=[1 ; 1,1,1,1, \ldots, \ldots]$.
问题 11.5.2。证明简单无限连分数的前四个部分商 $\frac{e-1}{e+1}$ 是 $0,2,6,10$.
解决方案 11.5.2。认为 $\eta_{0}=\frac{e-1}{e+1}$. 然后 $b_{0}=\left[\frac{e-1}{e+1}\right]=0$. 鉴于定理（11.4.5）, 我们得到 $\eta_{1}=\frac{1}{\eta_{0}-b_{0}}=\frac{e+1}{e-1}$. 然后, $b_{1}=\left[\eta_{1}\right]=\left[\frac{e+1}{e-1}\right]=2$. 再次, $\eta_{2}=\frac{1}{\eta_{1}-b_{1}}=\frac{1}{\frac{e+1}{e-1}-2}=-\frac{e-1}{e-3}$. 最 后, $b_{2}=\left[\eta_{2}\right]=\left[-\frac{e-1}{e-3}\right]=6$. 类似的方式, $\eta_{3}=\frac{1}{\eta_{2}-b_{2}}=\frac{1}{\eta_{2}-6}=-\frac{e-3}{7 e-19}, b_{3}=\left[\eta_{3}=10\right]$. 因 此, 简单无限连分数的前四个部分商 $\frac{e-1}{e+1}$ 是 $b_{0}=0, b_{1}=2, b_{2}=6, b_{3}=10$.
数学代写|数论代写NUMBER THEORY 代考|Periodic Fractions
继续示例 (11.4.1)，我们发现 $b_{5}=b_{1}, b_{6}=b_{2}$ 等等。该过程重复迭代, 这使得部分商的序列具有周期 性。所以这个例子促使我们研究周期性无限简单连分数的概念。在本节中, 我们将证明无限连分数是周期性 的充分必要条件是连分数表示的实数是二次无理数。因此, 让我们从定义开始。
定义 11.6.1。一个无限简单连分数 $\left[b_{0} ; b_{1}, b_{2}, \ldots, \ldots\right]$ 据说是周期性的, 如果 $\exists$ 正整数 $N$ 和 $k$ 这样 $b_{n}=b_{n+k}$ 对于所有正整数 $n$ 和 $n \geq N$. 象征性地, 周期分数表示为
$\left[b_{0} ; b_{1}, b_{2}, b_{N-1}, \overline{b_{N}, b_{N+1}, \ldots, b_{N+k-1}}\right]$. 这意味着周期性无限简单连分数表示为
$$
\left[b_{0} ; b_{1}, b_{2}, b_{N-1}, b_{N}, b_{N+1}, \ldots, b_{N+k-1}, b_{N}, b_{N+1}, \ldots\right] .
$$
为了用周期性无限简单连分数来表征无理数, 我们需要以下定义。
定义 11.6.2。二次无理数: 一个实数 $\eta$ 被称为二次无理数如果 $\eta$ 是非理性的, 如果 $\eta$ 是积分系数由下式给出的 二次方程的根 $A x^{2}+B x+C=0$, 在哪里 $A, B, C$ 是整数。
在我们继续讨论重要结果之前, 让我们从一个关于二次非理性的重要定理开始。
昰理 11.6.1。一个实数 $\eta$ 被称为二次无理数当且仅当 $\exists$ 整数 $a, b, c$ 这样 $b$ 不是一个完美的正方形并且满足 $\eta=\frac{a+\sqrt{b}}{c}$ 在哪里 $b>0$ 和 $c \neq 0$.
证明。让我们假设实数 $\eta$ 成为二次无理数。然后 $\eta$ 是不合理的, 也是整数 $A, B, C$ 这样 $\eta$ 是二次方程的根 $A x^{2}+B x+C=0$. 因此 $\eta=\frac{-B \pm \sqrt{B^{2}-4 A C}}{2 A}$ 和 $A \neq 0$. 自从 $\eta$ 是真实的, 因此 $B^{2}-4 A C>0$. 还
$$
a=b, b=B^{2}-4 A C, C=-2 A \text { or } a=-B, b=B^{2}-4 A C, c=2 A \text {, }
$$
我们获得 $\eta=\frac{a+\sqrt{b}}{c}$ 在哪里 $b>0$ 和 $c \neq 0$.
对于相反的部分, 假设对于某些整数 $a, b, c$ 和 $b>0$ 和 $c \neq 0$ 这样 $b$ 不是一个完美的正方形并且 $\eta=\frac{a+\sqrt{b}}{c}$. 然后 $\eta$ 是不合理的。还,
$$
\eta=\frac{a+\sqrt{b}}{c} \Rightarrow \sqrt{b}=c \eta-a .
$$
平方, 我们得到
$$
b=(c \eta-a)^{2} \Rightarrow c^{2} \eta^{2}-2 a c \eta+\left(a^{2}-b\right)=0 .
$$
这意味着 $A=c^{2}, B=-2 a c, C=a^{2}-b$. 因此 $\eta$ 是二次无理数。这样就完成了证明。
定理 11.6.1 的直接结果导致了重要性的推论。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。