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量子力学Quantum mechanics是从解释那些无法与经典物理学相协调的观察结果的理论中逐渐产生的，例如马克斯-普朗克在1900年对黑体辐射问题的解决方案，以及爱因斯坦在1905年解释光电效应的论文中提出的能量和频率之间的对应。这些早期理解微观现象的尝试，现在被称为 “旧量子理论”，导致尼尔斯-玻尔、埃尔温-薛定谔、维尔纳-海森堡、马克斯-伯恩、保罗-狄拉克等人在1920年代中期全面发展量子力学。现代理论是用各种专门开发的数学形式来表述的。在其中一个中，一个被称为波函数的数学实体以概率振幅的形式提供了关于对一个粒子的能量、动量和其他物理特性的测量可能产生的信息。
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物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Statement of the Problem
So far in this book we have been concerned with Hamiltonians that do not contain time explicitly. In nature, however, there are many quantum-mechanical systems of importance with time dependence. In the remaining part of this chapter we show how to deal with situations with time-dependent potentials.
We consider a Hamiltonian $H$ such that it can be split into two parts,
$$
H=H_{0}+V(t),
$$
where $H_{0}$ does not contain time explicitly. The problem $V(t)=0$ is assumed to be solved in the sense that the energy eigenkets $|n\rangle$ and the energy eigenvalues $E_{n}$ defined by
$$
H_{0}|n\rangle=E_{n}|n\rangle
$$
are completely known. ${ }^{4}$ We may be interested in situations where initially only one of the energy eigenstates of $H_{0}$, for example, $|i\rangle$ is populated. As time goes on, however, states other than $|i\rangle$ are populated because with $V(t) \neq 0$ we are no longer dealing with “stationary” problems; the time-evolution operator is no longer as simple as $e^{-i H t / \hbar}$ when $H$ itself involves time. Quite generally the time-dependent potential $V(t)$ can cause transitions to states other than $|i\rangle$. The basic question we address is, what is the probability as a function of time for the system to be found in $|n\rangle$, with $n \neq i$ ?
More generally, we may be interested in how an arbitrary state ket changes as time goes on, where the total Hamiltonian is the sum of $H_{0}$ and $V(t)$. Suppose at $t=0$, the state ket of a physical system is given by
$$
|\alpha\rangle=\sum_{n} c_{n}(0)|n\rangle .
$$
We wish to find $c_{n}(t)$ for $t>0$ such that
$$
\left|\alpha, t_{0}=0 ; t\right\rangle=\sum_{n} c_{n}(t) e^{-i E_{n} t / \hbar}|n\rangle
$$
where the ket on the left side stands for the state ket in the Schrödinger picture at $t$ of a physical system whose state ket at $t=0$ was found to be $|\alpha\rangle$.
The astute reader may have noticed the manner in which we have separated the time dependence of the coefficient of $|n\rangle$ in (5.176). The factor $e^{-i E_{n} t / \hbar}$ is present even if $V$ is absent. This way of writing the time dependence makes it clear that the time evolution of $c_{n}(t)$ is due solely to the presence of $V(t) ; c_{n}(t)$ would be identically equal to $c_{n}(0)$ and hence independent of $t$ if $V$ were zero. As we shall see in a moment, this separation is convenient because $c_{n}(t)$ satisfies a relatively simple differential equation. The probability of finding $|n\rangle$ is found by evaluating $\left|c_{n}(t)\right|^{2}$.
物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|The Interaction Picture
Before we discuss the differential equation for $c_{n}(t)$, we discuss the interaction picture. Suppose we have a physical system such that its state ket coincides with $|\alpha\rangle$ at $t=t_{0}$, where $t_{0}$ is often taken to be zero. At a later time, we denote the state ket in the Schrödinger picture by $\left|\alpha, t_{0} ; t\right\rangle_{S}$, where the subscript $S$ reminds us that we are dealing with the state ket of the Schrödinger picture.
We now define
$$
\left|\alpha, t_{0} ; t\right\rangle_{I}=e^{i H_{0} t / \hbar}\left|\alpha, t_{0} ; t\right\rangle_{S},
$$
where |\rangle$_{I}$ stands for a state ket that represents the same physical situation in the interaction picture. At $t=0,|\rangle_{I}$ evidently coincides with |\rangle$_{S}$. For operators (representing observables) we define observables in the interaction picture as
$$
A_{I} \equiv e^{i H_{0} t / \hbar} A_{S} e^{-i H_{0} t / \hbar} .
$$
In particular,
$$
V_{I}=e^{i H_{0} t / \hbar} V e^{-i H_{0} t / \hbar}
$$
where $V$ without a subscript is understood to be the time-dependent potential in the Schrödinger picture. The reader may recall here the connection between the Schrödinger picture and the Heisenberg picture:
$$
\begin{gathered}
|\alpha\rangle_{H}=e^{+i H t / \hbar}\left|\alpha, t_{0}=0 ; t\right\rangle_{S} \
A_{H}=e^{i H t / \hbar} A_{S} e^{-i H t / \hbar} .
\end{gathered}
$$
The basic difference between (5.180) and (5.181) on the one hand and (5.177) and (5.178) on the other is that $H$ rather than $H_{0}$ appears in the exponential.
We now derive the fundamental differential equation that characterizes the time evolution of a state ket in the interaction picture. Let us take the time derivative of (5.177) with the full $H$ given by (5.173):
$$
\begin{aligned}
i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\left|\alpha, t_{0} ; t\right\rangle_{I} &=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\left(e^{i H_{0} t / \hbar}\left|\alpha, t_{0} ; t\right\rangle_{S}\right) \
&=-H_{0} e^{i H_{0} t / \hbar}\left|\alpha, t_{0} ; t\right\rangle_{S}+e^{i H_{0} t / \hbar}\left(H_{0}+V\right)\left|\alpha, t_{0} ; t\right\rangle_{S} \
&=e^{i H_{0} t / \hbar} V e^{-i H_{0} t / \hbar} e^{i H_{0} t / \hbar}\left|\alpha, t_{0} ; t\right\rangle_{S}
\end{aligned}
$$
量子力学代写
物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Statement of the Problem
到目前为止, 在本书中, 我们一直关注不明确包含时间的哈密顿量。然而, 在自然界中, 存在许多具有时间 依赖性的重要量子力学系统。在本章的剩余部分中, 我们将展示如何处理具有时间相关电位的情况。 我们考虑一个哈密顿量 $H$ 这样它就可以分成两部分,
$$
H=H_{0}+V(t),
$$
在哪里 $H_{0}$ 不明确包含时间。问题 $V(t)=0$ 假设在能量本征函数的意义上已解决 $|n\rangle$ 和能荲特征值 $E_{n}$ 被定 Q为
$$
H_{0}|n\rangle=E_{n}|n\rangle
$$
是完全已知的。 ${ }^{4}$ 我们可能对最初只有一种能荲本征态的情况感兴㻓 $H_{0}$, 例如, $|i\rangle$ 被填充。然而, 随着时 间的推移, 除了 $|i\rangle$ 被填充, 因为 $V(t) \neq 0$ 我们不再处理“固定”问题; 时间演化算子不再像 $e^{-i H t / \hbar}$ 什么时 候 $H$ 本身涉及时间。相当普遍的时间依赖性潜力 $V(t)$ 可能会导致转换到其他状态 $|i\rangle$. 我们要解决的基本问题 是, 作为时间函数的系统在 $|n\rangle$, 和 $n \neq i$ ?
更一般地说, 我们可能对任意状态 ket 如何随时间变化感兴趣, 其中总哈密顿量是 $H_{0}$ 和 $V(t)$. 假设在 $t=0$, 物理系统的状态 ket 由下式给出
$$
|\alpha\rangle=\sum_{n} c_{n}(0)|n\rangle .
$$
㧴们希望找到 $c_{n}(t)$ 为了 $t>0$ 这样
$$
\left|\alpha, t_{0}=0 ; t\right\rangle=\sum_{n} c_{n}(t) e^{-i E_{n} t / \hbar}|n\rangle
$$
其中左侧的 ket 代表薛定谔图片中的状态 kett一个物理系统的状态 ket 在 $t=0$ 被发现是 $|\alpha\rangle$.
精明的读者可能已经注意到我们分离系数的时间依赖性的方式 $|n\rangle$ 在（5.176）中。因素 $e^{-i E_{n} t / \hbar}$ 存在, 即使 $V$ 缺席。这种写时间依赖性的方式清楚地表明了 $c_{n}(t)$ 仅仅是由于存在 $V(t) ; c_{n}(t)$ 将完全等于 $c_{n}(0)$ 因此独 立于 $t$ 如果 $V$ 为零。稍后我们将看到, 这种分离很方便, 因为 $c_{n}(t)$ 满足一个相对简单的微分方程。找到的概 率 $|n\rangle$ 通过评估叐现 $\left|c_{n}(t)\right|^{2}$.
物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|The Interaction Picture
在我们讨论微分方程之前 $c_{n}(t)$, 我们讨论交互图。假设找们有一个物理系统, 它的状态 $k e t$ 与 $|\alpha\rangle$ 在 $t=t_{0}$, 在哪里 $t_{0}$ 通常被认为是零。稍后, 我们将薛定谔图中的状态 ket 表示为 $\left|\alpha, t_{0} ;\right\rangle_{S}$, 其中下标 $S$ 提 酲我们, 我们正在处理薛定谔图的状态。 我们现在定义
$$
\left|\alpha, t_{0} ; t\right\rangle_{I}=e^{i H_{0} t / \hbar}\left|\alpha, t_{0} ; t\right\rangle_{S},
$$ 于操作符 (表示可观察对象), 我们将交互图中的可观察对象定义为
$$
A_{I} \equiv e^{i H_{0} t / \hbar} A_{S} e^{-i H_{0} t / \hbar} .
$$
尤其是,
$$
V_{I}=e^{i H_{0} t / \hbar} V e^{-i H_{0} t / \hbar}
$$
在哪里 $V$ 没有下标的被理解为薛定谔图像中的时间相关势。读者可以在这里回忆一下薛定谔图和海森堡图之 间的联系:
$$
|\alpha\rangle_{H}=e^{+i H t / \hbar}\left|\alpha, t_{0}=0 ; t\right\rangle_{S} A_{H}=e^{i H t / \hbar} A_{S} e^{-i H t / \hbar} .
$$
一方面 (5.180) 和 (5.181) 与另一方面 (5.177) 和 (5.178) 之间的基本区别在于 $H$ 而不是 $H_{0}$ 出现在指 数中。
我们现在推导出描述交互图中状态 ket时间演化的基本微分方程。让我们取 (5.177) 的时间导数 $H$ 由 (5.173) 给出:
$$
i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\left|\alpha, t_{0} ; t\right\rangle_{I}=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\left(e^{i H_{0} t / \hbar}\left|\alpha, t_{0} ; t\right\rangle_{S}\right) \quad=-H_{0} e^{i H_{0} t / \hbar}\left|\alpha, t_{0} ; t\right\rangle_{S}+e^{i H_{0} t / \hbar}\left(H_{0}+V\right) \mid \alpha,
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。