如果你也在 怎样代写数论Number theory MATH3170这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory的旧称是算术。到二十世纪初，它已被 “数论 “所取代。（”算术 “一词被公众用来指 “基本计算”；它在数理逻辑中也获得了其他含义，如Peano算术和计算机科学，如浮点算术。） 在20世纪下半叶，数论的使用重新获得了一些地位，可以说部分是由于法国的影响。特别是，作为一个形容词，arithmetical通常比数论的更受欢迎。
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数学代写|数论代写NUMBER THEORY代考|Worked out Exercises
Problem 7.5.1. Use Euler’s theorem to evaluate $2^{100000}$ modulo 77 .
Solution 7.5.1. Here $\operatorname{gcd}(2,77)=1$, therefore $2^{\phi(77)} \equiv 1(\bmod 77)$. Now
$$
\phi(77)=6 \cdot 10=60 \Rightarrow 2^{60} \equiv 1(\bmod 77) .
$$
Hence
$$
\begin{aligned}
2^{60000} \equiv 1(\bmod 77),\left(2^{60}\right)^{300}=2^{18000} & \equiv 1(\bmod 77) \Rightarrow 2^{36000} \equiv 1(\bmod 77) . \
\therefore 2^{96000} \equiv 1(\bmod 77),\left(2^{60}\right)^{300}=2^{1800} \equiv 1(\bmod 77) \Rightarrow 2^{3600} \equiv 1(\bmod 77) . \
\therefore 2^{99600} \equiv 1(\bmod 77),\left(2^{60}\right)^{3}=2^{180} & \equiv 1(\bmod 77) \Rightarrow 2^{360} \equiv 1(\bmod 77) . \
\therefore 2^{99960} & \equiv 1(\bmod 77) .
\end{aligned}
$$
But $2^{10}=1024,13 \cdot 77=1001 \Rightarrow 2^{10} \equiv 23(\bmod 77)$. Therefore $2^{40} \equiv 23^{4}($ $\bmod 77) \Rightarrow 2^{100000} \equiv 23^{4}(\bmod 77)$. Now $23^{2}=529=6 \cdot 77+67 \Rightarrow 23^{2} \equiv-10($ $\bmod 77) \Rightarrow 23^{4} \equiv 100 \equiv 23(\bmod 77)$. Hence
$$
2^{100000} \equiv 23(\bmod 77) .
$$
数学代写|数论代写NUMBER THEORY代考|Properties of -function
Present section deals with some curious properties of Euler’s phi function related with some arithmetic functions. Discussion of this chapter commence with an important property of totient $(\phi)$ function, where the sum of values of $\phi(d)$ where $d$ is the divisor of any positive integer $n$ is always equal to $n$ itself. Famous German mathematician Carl Friedrich Gauss was the first person to notice that.
Theorem 7.6.1. For each positive integer $n \geq 1, n=\sum_{d \mid n} \phi(d)$ where $d$ is positive divisor of $n$.
Proof. Let us choose $n=1$ then, $\sum_{d \mid 1} \phi(d)=\phi(1)=1=n$. Thus the equality is true in this case. Now we are only to prove the result for any positive integer $n>1$. Let us choose a set $S_{n}={1,2,3, \cdots, n}$ and $\left|S_{n}\right|$ be the number of elements in $S_{n}$, then clearly $\left|S_{n}\right|=n$. For each divisor $d$ of $n$ we denote $S_{d}$ be the set of all integers not exceeding $n$ and $\operatorname{gcd}(m, n)=d$ for each $m \in S_{d}$. Now from the proposition $(2.4 .2)$ we have $\operatorname{gcd}(m, n)=d$ if and only if $\operatorname{gcd}\left(\frac{m}{d}, \frac{n}{d}\right)=1$. We now have to show that each $S_{d}$ has $\phi\left(\frac{n}{d}\right)$ number of elements. Here for a particular $d$ all the elements of $S_{d}$ are multiples of $d$ and less than or equal to $n$. Thus the elements of $S_{d}$ are $d, 2 d, 3 d, \cdots,\left(\frac{n}{d}\right) d$. Now, let $a d \in S_{d}$ be any element where $\operatorname{gcd}\left(a, \frac{n}{d}\right)=e$. Then clearly $\operatorname{gcd}(a d, n)=e d$. Here $e d=d$ if and only if $e=1$ imply that only $a d$ in $S_{d}$ are those whose $\operatorname{gcd}\left(a, \frac{n}{d}\right)=1$ that is the number $\phi\left(\frac{n}{d}\right)$. Since each integers of the set ${1,2,3, \cdots, n}$ lies in exactly one class $S_{d}$, we have the formula $n=\sum_{d \mid n} \phi\left(\frac{n}{d}\right)$. But $d$ runs through all positive divisors of $n$ so does $\frac{n}{d}$. Thus finally we have, $n=\sum_{d \mid n} \phi\left(\frac{n}{d}\right)=\sum_{d \mid n} \phi(d)$.
Here we have illustrated the above theorem by means of an example:
Example 7.6.1. Let us choose a number $n=12$ and the divisors of 12 are $1,2,3,4,6,12$. Thus the classes $S_{d}$ are,
$$
S_{1}={1,5,7,11}, S_{2}={2,10}, S_{3}={3,9}, S_{4}={4,8}, S_{6}={6} S_{12}={12} .
$$
Now, $\phi(12)=4, \phi(6)=2, \phi(4)=2, \phi(3)=2, \phi(2)=1, \phi(1)=1$.
Therefore $\sum_{d \mid 12} \phi(12)=\phi(12)+\phi(6)+\phi(4)+\phi(3)+\phi(2)+\phi(1)=12=n$.
This shows the clarification of our above theorem.
数论代写
数学代写|数论代写NUMBER THEORY 代考|Worked out Exercises
问题 7.5.1。使用欧拉定理评估 $2^{100000}$ 模 77 。
解决方案 7.5.1。这里 $\operatorname{gcd}(2,77)=1$, 所以 $2^{\phi(77)} \equiv 1(\bmod 77)$. 现在
$$
\phi(77)=6 \cdot 10=60 \Rightarrow 2^{60} \equiv 1(\bmod 77) .
$$
因此
$2^{60000} \equiv 1(\bmod 77),\left(2^{60}\right)^{300}=2^{18000} \equiv 1(\bmod 77) \Rightarrow 2^{36000} \equiv 1(\bmod 77) . \quad \therefore 2^{96000} \equiv 1($
但 $2^{10}=1024,13 \cdot 77=1001 \Rightarrow 2^{10} \equiv 23(\bmod 77)$. 所以 $2^{40} \equiv 23^{4}($
$\bmod 77) \Rightarrow 2^{100000} \equiv 23^{4}(\bmod 77)$. 现在 $23^{2}=529=6 \cdot 77+67 \Rightarrow 23^{2} \equiv-10$ ( $\bmod 77) \Rightarrow 23^{4} \equiv 100 \equiv 23(\bmod 77)$. 因此
$$
2^{100000} \equiv 23(\bmod 77) .
$$
数学代写|数论代写NUMBER THEORY 代考|Properties of -function
本节讨论与一些算术函数相关的欧拉 phi 函数的一些奇怪性质。本章的讨论从 totient 的一个重要属性开 始。 $(\phi)$ 函数, 其中的值的总和 $\phi(d)$ 在哪里 $d$ 是任何正整数的除数 $n$ 总是等于 $n$ 本身。德国著名数学家卡尔. 弗里德里希·高斯是第一个注意到这一点的人。
定理 7.6.1。对于每个正整数 $n \geq 1, n=\sum_{d \mid n} \phi(d)$ 在哪里 $d$ 是正除数 $n$.
证明。让我们选择 $n=1$ 然后, $\sum_{d \mid 1} \phi(d)=\phi(1)=1=n$. 因此, 在这种情况下等式成立。现在我们 只证明任何正整数的结果 $n>1$. 让我们选择一组 $S_{n}=1,2,3, \cdots, n$ 和 $\left|S_{n}\right|$ 是元素的数荲 $S_{n}$, 那么显然 $\left|S_{n}\right|=n$. 对于每个除数 $d$ 的 $n$ 我们表示 $S_{d}$ 是所有不迢过整数的集合 $n$ 和 $\operatorname{gcd}(m, n)=d$ 对于每个 $m \in S_{d}$ . 现在从命题 (2.4.2) 我们有 $\operatorname{gcd}(m, n)=d$ 当且仅当 $\operatorname{gcd}\left(\frac{m}{d}, \frac{n}{d}\right)=1$. 我们现在必须证明每个 $S_{d}$ 有 $\phi\left(\frac{n}{d}\right)$ 元素的数黑。这里针对特定 $d$ 的所有元素 $S_{d}$ 是的倍数 $d$ 并且小于或等于 $n$. 因此元素 $S_{d}$ 是 里 $e d=d$ 当且仅当 $e=1$ 暗示只有 $a d$ 在 $S_{d}$ 是那些 $\operatorname{gcd}\left(a, \frac{n}{d}\right)=1$ 那是数字 $\phi\left(\frac{n}{d}\right)$. 由于集合的每个整数 $1,2,3, \cdots, n$ 正好属于一类 $S_{d}$, 我们有公式 $n=\sum_{d \mid n} \phi\left(\frac{n}{d}\right)$. 但 $d$ 贯穿所有正除数 $n$ 也一样 $\frac{n}{d}$. 因此, 我 们终于有了, $n=\sum_{d \mid n} \phi\left(\frac{n}{d}\right)=\sum_{d \mid n} \phi(d)$.
这里我们通过一个例子来说明上述定理:
例 7.6.1。让我们选择一个数字 $n=12$ 和 12 的除数是 $1,2,3,4,6,12$. 因此类 $S_{d}$ 是,
$$
S_{1}=1,5,7,11, S_{2}=2,10, S_{3}=3,9, S_{4}=4,8, S_{6}=6 S_{12}=12 \text {. }
$$
现在, $\phi(12)=4, \phi(6)=2, \phi(4)=2, \phi(3)=2, \phi(2)=1, \phi(1)=1$.
所以 $\sum_{d \mid 12} \phi(12)=\phi(12)+\phi(6)+\phi(4)+\phi(3)+\phi(2)+\phi(1)=12=n$.
这表明我们上述定理的澄清。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。