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数学代写|抽象代数作业代写Abstract Algebra代考|Linear Codes
We now formalize some of the ideas introduced in the preceding discussion.
Definition Linear Code
An $(n, k)$ linear code over a finite field $F$ is a $k$-dimensional subspace $V$ of the vector space
over $F$. The members of $V$ are called the code words. When $F$ is $Z_2$, the code is called binary.
One should think of an $(n, k)$ linear code over $F$ as a set of $n$-tuples from $F$, where each $n$-tuple has two parts: the message part, consisting of $k$ digits; and the redundancy part, consisting of the remaining $n-k$ digits. Note that an $(n, k)$ linear code over a finite field $F$ of order $q$ has $q^k$ code words, since every member of the code is uniquely expressible as a linear combination of the $k$ basis vectors with coefficients from $F$. The set of $q^k$ code words is closed under addition and scalar multiplication by members of $F$. Also, since errors in transmission may occur in any of the $n$ positions, there are $q^n$ possible vectors that can be received. Where there is no possibility of confusion, it is customary to denote an $n$-tuple $\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$ more simply as $a_1 a_2 \cdots a_n$, as we did in Example 1.
EXAMPLE 2 The set
$$
\begin{aligned}
{0000000,0010111,0101011, & 1001101, \
& 1100110,1011010,0111100,1110001}
\end{aligned}
$$
is a $(7,3)$ binary code.
数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|Properties of Hamming Distance and Hamming Weight
For any vectors $u, v$, and $w, d(u, v) \leq d(u, w)+d(w, v)$ and $d(u, v)=\mathrm{wt}(u-v)$.
PROOF To prove that $d(u, v)=\operatorname{wt}(u-v)$, simply observe that both $d(u, v)$ and wt $(u-v)$ equal the number of positions in which $u$ and $v$ differ. To prove that $d(u, v) \leq d(u, w)+d(w, v)$, note that if $u$ and $v$ differ in the ith position and $u$ and $w$ agree in the ith position, then $w$ and $v$ differ in the ith position.
With the preceding definitions and Theorem 29.1, we can now explain why the codes given in Examples 1,2, and 4 will correct any single error, but the code in Example 3 will not.
If the Hamming weight of a linear code is at least $2 t+1$, then the code can correct any $t$ or fewer errors. Alternatively, the same code can detect any $2 t$ or fewer errors.
PROOF We will use nearest-neighbor decoding; that is, for any received vector $v$, we will assume that the corresponding code word sent is a code word $v^{\prime}$ such that the Hamming distance $d\left(v, v^{\prime}\right)$ is a minimum. (If there is more than one such $v^{\prime}$, we do not decode.) Now, suppose that a transmitted code word $u$ is received as the vector $v$ and that at most $t$ errors have been made in transmission. Then, by the definition of distance between $u$ and $v$, we have $d(u, v) \leq t$. If $w$ is any code word other than $u$, then $w-u$ is a nonzero code word. Thus, by assumption,
$$
2 t+1 \leq \operatorname{wt}(w-u)=d(w, u) \leq d(w, v)+d(v, u) \leq d(w, v)+t,
$$
and it follows that $t+1 \leq d(w, v)$. So, the code word closest to the received vector $v$ is $u$, and therefore $v$ is correctly decoded as $u$.
抽象代数代写
数学代写|抽象代数作业代写Abstract Algebra代考|Linear Codes
我们现在将前面讨论中介绍的一些想法形式化。
定义线性
代码 $(n, k)$ 有限域上的线性码 $F$ 是一个 $k$ 维子空间 $V$
向量空间的 $F$. 的成员 $V$ 被称为码字。什么时候 $F$ 是 $Z_2$, 代码称为二进制。
人们应该想到一个 $(n, k)$ 线性码结束 $F$ 作为一组 $n$-元组来自 $F$, 其中每个 $n$-元组有两部 分: 消息部分, 由 $k$ 数字; 和几余部分, 包括乘余的 $n-k$ 数字。请注意, 一个 $(n, k)$ 有 限域上的线性码 $F$ 秩序 $q$ 有 $q^k$ 代码字, 因为代码的每个成员都可以唯一地表示为 $k$ 系数来 自的基向量 $F$. 该组的 $q^k$ 代码字在成员的加法和标量乘法下闭合 $F$. 此外, 由于传输错误 可能发生在任何 $n$ 职位, 有 $q^n$ 可以接收的可能向量。在不可能混淆的情况下, 习惯上表 示 $n$-元组 $\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$ 更简单地作为 $a_1 a_2 \cdots a_n$, 就像我们在示例 1 中所做的那 样。
示例 2 集合
\begin{aligned} } { 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 1 0 1 1 1 , 0 1 0 1 0 1 1 , \& 1 0 0 1 1 0 1 , \backslash \& 1 1 0 0 1 1 0 , 1 0 1 1 0 1 0 , 0 1 1 1 1 0 0 , 1 1 1 0 0 0 1 }
是一个 $(7,3)$ 二进制代码。
数学代写|抽象代数作业代㝍ALGEBRA代考|Properties of Hamming Distance and Hamming Weight
对于任何向量 $u, v$, 和 $w, d(u, v) \leq d(u, w)+d(w, v)$ 和 $d(u, v)=\mathrm{wt}(u-v)$. 证明为了证明 $d(u, v)=\operatorname{wt}(u-v)$, 简单地观察到 $d(u, v)$ 和重量 $(u-v)$ 等于位置的 数量 $u$ 和 $v$ 不同。为了证明 $d(u, v) \leq d(u, w)+d(w, v)$, 注意如果 $u$ 和 $v$ 在第 $\mathrm{i}$ 个位置 不同, 并且 $u$ 和 $w$ 同意第 $\mathrm{i}$ 个位置, 则 $w$ 和 $v$ 在第 $\mathrm{i}$ 个位置不同。
通过前面的定义和定理 29.1, 我们现在可以解释为什么示例 $1 、 2$ 和 4 中给出的代码可 以纠正任何单个错误, 而示例 3 中的代码却不能。
如果线性码的汉明权重至少为 $2 t+1$, 那么代码可以纠正任何 $t$ 或更少的错误。或者, 相同的代码可以检测任何 $2 t$ 或更少的错误。
证明我们将使用最近邻解码; 也就是说, 对于任何接收到的矢量 $v$, 我们假设发送的相 应码字是一个码字 $v^{\prime}$ 使得汉明距离 $d\left(v, v^{\prime}\right)$ 是最低限度。(如果有多个这样的 $v^{\prime}$, 我们 不解码。) 现在, 假设传输的代码字 $u$ 作为向量接收 $v$ 最多 $t$ 传输中出现错误。那么, 根 据距离的定义 $u$ 和 $v$, 我们有 $d(u, v) \leq t$. 如果 $w$ 是除 $u$, 然后 $w-u$ 是一个非零码字。 因此, 根据假设,
$$
2 t+1 \leq \operatorname{wt}(w-u)=d(w, u) \leq d(w, v)+d(v, u) \leq d(w, v)+t,
$$
随之而来的 $t+1 \leq d(w, v)$. 因此, 最接近接收向量的码字 $v$ 是 $u$, 因此 $v$ 被正确解码为 $u$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微观经济学代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种微观经济学代写Microeconomics相关的作业也就用不着 说。
机器学习代写
机器学习（ML）是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域，也就是说，利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据（称为训练数据）建立模型，以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中，如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉，在这些应用中，开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关，统计学专注于使用计算机进行预测，但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。
统计推断代写
统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多，包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。