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数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Orthogonal Projections
We now wish to characterize orthogonal diagonalizability in terms of projection operators.
Definition Let $V=S \oplus S^{\perp}$. The projection map $\rho: V \rightarrow S$ on $S$ along $S^{\perp}$ is called orthogonal projection onto $S$. Put another way, a projection map $\rho$ is an orthogonal projection if $\mathrm{V}=i m(\rho) \oplus \operatorname{ker}(\rho)$. $\square$
Thus, orthogonal projection is just a special type of projection operator, where $\operatorname{ker}(\rho)=i m(\rho)^{\perp}$. Note that some care must be taken to avoid confusion between the term orthogonal projection and the concept of projections that are orthogonal to each other, that is, for which $\rho \sigma=\sigma \rho=0$.
We saw in Chapter 8 that an operator $\rho$ is a projection operator if and only if it is idempotent. Here is the analogous characterization of orthogonal projections.
数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Orthogonal Resolutions of the Identity
Definition If $\rho_1, \ldots, \rho_{\mathbf{k}}$ are orthogonal projections for which
$$
\rho_1+\cdots+\rho_{\mathbf{k}}=\iota
$$
is a resolution of the identity, then we refer to (10.2) as an orthogonal resolution of the identity.
The following theorem displays a correspondence between orthogonal direct sum decompositions of $\mathrm{V}$ and orthogonal resolutions of the identity. It should be compared to Theorem 8.17.
Theorem 10.18
1) If $\rho_1+\cdots+\rho_{\mathrm{k}}=\iota$ is an orthogonal resolution of the identity, then
$$
\mathrm{V}=i m\left(\rho_1\right) \oplus \cdots \oplus i m\left(\rho_{\mathrm{k}}\right)
$$
2) Conversely, if $\quad \mathrm{V}=\mathrm{S}1 \oplus \cdots \oplus \mathrm{S}{\mathrm{k}}$ and $\rho_{\mathrm{i}}$ is projection on $\mathrm{S}{\mathrm{i}}$ along $S_1 \oplus \cdots \oplus \widehat{S}{\mathrm{i}} \oplus \cdots \oplus S_k$, where the hat ” means that the corresponding term is missing from the direct sum. Then
$$
\rho_1+\cdots+\rho_{\mathbf{k}}=\iota
$$
is an orthogonal resolution of the identity.
Proof. To prove (1) suppose that $\rho_1+\cdots+\rho_{\mathrm{k}}=\iota$ is an orthogonal resolution of the identity. According to Theorem 8.17 , we have
$$
\mathrm{V}=i m\left(\rho_1\right) \oplus \cdots \oplus i m\left(\rho_{\mathbf{k}}\right)
$$
However, since the $\rho_{\mathrm{i}}$ ‘s are orthogonal, they are self-adjoint, and so for $\mathrm{i} \neq \mathrm{j}$
$$
\left\langle\rho_{\mathrm{i}}(\mathbf{v}), \rho_{\mathbf{j}}(\mathbf{w})\right\rangle=\left\langle\mathbf{v}, \rho_{\mathrm{i}} \rho_{\mathbf{j}}(\mathbf{w})\right\rangle=0
$$
which shows that
$$
\mathrm{V}=i m\left(\rho_1\right) \oplus \cdots \oplus i m\left(\rho_{\mathbf{k}}\right)
$$
线性代数代写
数学代写|线性代数代写Linear algebra代 考|Orthogonal Projections
我们现在希望根据投影算子来描述正交可对角化性。
定义让 $V=S \oplus S^{\perp}$. 投影图 $\rho: V \rightarrow S$ 在 $S$ 沿着 $S^{\perp}$ 称为正交投影到 $S$. 换句话说, 投影图 $\rho$ 是一 个正交投影如果 $\mathrm{V}=i m(\rho) \oplus \operatorname{ker}(\rho)$.
因此, 正交投影只是一种特殊类型的投影算子, 其中 $\operatorname{ker}(\rho)=i m(\rho)^{\perp}$. 请注意, 必须注意避免 混淆术语正交投影和彼此正交的投影的概念, 即 $\rho \sigma=\sigma \rho=0$.
我们在第 8 章中看到, 一个运算符 $\rho$ 是一个投影算子当且仅当它是幂等的。这是正交投影的类似 特征。
数学代写|线性代数代写Linear algebra代 考|Orthogonal Resolutions of the Identity
定义如果 $\rho_1, \ldots, \rho_{\mathbf{k}}$ 是正交投影, 其中
$$
\rho_1+\cdots+\rho_{\mathbf{k}}=\iota
$$
是恒等式的解析, 那么我们将 (10.2) 称为恒等式的正交解析。
以下定理显示了正交直和分解之间的对应关系V和身份的正交分辨率。它应该与定理 8.17 进行比 较。
定理 10.18
1) 如果 $\rho_1+\cdots+\rho_{\mathrm{k}}=\iota$ 是恒等式的正交解析, 那么
$$
\mathrm{V}=i m\left(\rho_1\right) \oplus \cdots \oplus i m\left(\rho_{\mathrm{k}}\right)
$$
2) 相反, 如果 $\mathrm{V}=\mathrm{S} 1 \oplus \cdots \oplus \mathrm{Sk}$ 和 $\rho_{\mathrm{i}}$ 是投影 $\mathrm{Si}$ 沿着 $S_1 \oplus \cdots \oplus \widehat{S} \mathrm{i} \oplus \cdots \oplus S_k$, 其中“帽 子”表示直和中缺少相应的项。然后
$$
\rho_1+\cdots+\rho_{\mathbf{k}}=\iota
$$
是恒等式的正交解析。
证明。为了证明 (1) 假设 $\rho_1+\cdots+\rho_{\mathrm{k}}=\iota$ 是恒等式的正交解析。根据定理 8.17 , 我们有
$$
\mathrm{V}=i m\left(\rho_1\right) \oplus \cdots \oplus i m\left(\rho_{\mathbf{k}}\right)
$$
然而, 自从 $\rho_{\mathrm{i}}$ 是正交的, 它们是自伴的, 因此对于 $\mathrm{i} \neq \mathrm{j}$
$$
\left\langle\rho_{\mathrm{i}}(\mathbf{v}), \rho_{\mathbf{j}}(\mathbf{w})\right\rangle=\left\langle\mathbf{v}, \rho_{\mathrm{i}} \rho_{\mathbf{j}}(\mathbf{w})\right\rangle=0
$$
这表明
$$
\mathrm{V}=i m\left(\rho_1\right) \oplus \cdots \oplus \operatorname{im}\left(\rho_{\mathbf{k}}\right)
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
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微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。