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线性代数Linear algebra是平坦的微分几何，在流形的切线空间中服务。时空的电磁对称性是由洛伦兹变换表达的，线性代数的大部分历史就是洛伦兹变换的历史。线性代数也被用于大多数科学和工程领域，因为它可以对许多自然现象进行建模，并对这些模型进行有效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统，它经常被用来处理一阶近似，利用这样一个事实：一个多变量函数在某一点的微分是最接近该点的函数的线性图。
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数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Riesz Representation Theorem
If $\mathbf{x}$ is a vector in an inner product space $V$, then the function $\phi_{\mathbf{x}}: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{F}$ defined by
$$
\phi_{\mathbf{x}}(\mathbf{v})=\langle\mathbf{v}, \mathbf{x}\rangle
$$
is easily seen to be a linear functional on V. The following theorem shows that all linear functionals on a finite dimensional inner product space $V$ have this form. (We will see in Chapter 13 that, in the infinite dimensional case, all continuous linear functionals on V have this form.)
Theorem 9.16 (The Riesz representation theorem) Let $\mathrm{V}$ be a finite dimensional inner product space, and let $\mathrm{f} \in \mathrm{V}^*$ be a linear functional on $\mathrm{V}$. Then there exists a unique vector $\mathbf{x} \in \mathrm{V}$ for which
$$
f(\mathbf{v})=\langle\mathbf{v}, \mathbf{x}\rangle
$$
for all $\mathbf{v} \in \mathrm{V}$.
Proof. If $f$ is the zero functional, we may take $x=0$, so let us assume that $f \neq 0$. By way of motivation, observe that if $x$ has the desired property, then $\langle\mathbf{v}, \mathbf{x}\rangle=0$ for all $\mathbf{v} \in \operatorname{ker}(\mathrm{f})$. Hence, we should look for an $\mathbf{x}$ in $\operatorname{ker}(\mathrm{f})^{\perp}$.
Note that, if $\operatorname{dim}(\mathrm{V})=\mathrm{n}$, then $\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(\mathrm{f}))=\mathrm{n}-1$. Hence, we can choose a unit vector $\mathbf{u} \in \operatorname{ker}(\mathrm{f})^{\perp}$, and write
$$
\mathrm{V}=\langle\mathbf{u}\rangle \oplus \operatorname{ker}(\mathrm{f})
$$
Our goal is to find an $r \in F$ for which
$$
\mathbf{f}(\mathbf{v})=\langle\mathbf{v}, \mathbf{r u}\rangle
$$
for all $\mathbf{v} \in \mathrm{V}$. In particular, for $\mathbf{v}=\mathbf{u}$, we want
$$
\mathrm{f}(\mathbf{u})=\langle\mathbf{u}, \mathbf{r u}\rangle=\overline{\mathbf{r}}\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle=\overline{\mathbf{r}}
$$
数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Adjoint of a Linear Operator
The purpose of this chapter is to study the structure of certain special types of linear operators on an inner product space. In order to define these operators, we introduce another type of adjoint (different from the operator adjoint of Chapter 3). We will define this adjoint in the finite dimensional case only, deferring the infinite dimensional case to Chapter 13.
Theorem 10.1 Let $\mathrm{V}$ and $\mathrm{W}$ be finite dimensional inner product spaces over $F$, and let $\tau \in \mathcal{L}(\mathrm{V}, \mathrm{W})$. Then there is a unique function $\tau^: \mathrm{W} \rightarrow \mathrm{V}$, defined by the condition $$ \langle\tau(\mathbf{v}), \mathbf{w}\rangle=\left\langle\mathbf{v}, \tau^(\mathbf{w})\right\rangle
$$
for all $\mathbf{v} \in \mathrm{V}$ and $\mathbf{w} \in \mathrm{W}$. This function is in $\mathcal{L}(\mathrm{W}, \mathrm{V})$, and is called the adjoint of $\tau$.
Proof. For a fixed $\mathbf{w} \in \mathrm{W}$, consider the function $\theta_{\mathbf{w}}: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{F}$ defined by
$$
\theta_{\mathbf{w}}(\mathbf{v})=\langle\tau(\mathbf{v}), \mathbf{w}\rangle
$$
It is easy to verify that $\theta_w$ is a linear functional on $V$, and so, by the Riesz representation theorem, there exists a unique vector $\mathbf{x} \in \mathrm{V}$ for which
$$
\theta_{\mathbf{w}}(\mathbf{v})=\langle\tau(\mathbf{v}), \mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{x}\rangle
$$
for all $\mathbf{v} \in \mathrm{V}$. Hence, if we set $\tau^(\mathbf{w})=\mathbf{x}$, then $$ \langle\tau(\mathbf{v}), \mathbf{w}\rangle=\left\langle\mathbf{v}, \tau^(\mathbf{w})\right\rangle
$$
for all $\mathbf{v} \in \mathrm{V}$. This establishes the existence and uniqueness of $\tau^$. To show that $\tau^$ is linear, observe that
$$
\begin{aligned}
\left\langle\mathbf{v}, \tau^\left(\mathbf{r w}+\mathbf{s} \mathbf{w}^{\prime}\right)\right\rangle & =\left\langle\tau(\mathbf{v}), \mathbf{r w}+\mathbf{s} \mathbf{w}^{\prime}\right\rangle \ & =\overline{\mathrm{r}}\langle\tau(\mathbf{v}), \mathbf{w}\rangle+\overline{\mathrm{s}}\left\langle\tau(\mathbf{v}), \mathbf{w}^{\prime}\right\rangle \ & =\overline{\mathrm{r}}\left\langle\mathbf{v}, \tau^(\mathbf{w})\right\rangle+\overline{\mathrm{s}}\left\langle\mathbf{v}, \tau^\left(\mathbf{w}^{\prime}\right)\right\rangle \ & =\left\langle\mathbf{v}, \mathbf{r} \tau^(\mathbf{v})\right\rangle+\left\langle\mathbf{v}, \mathbf{s} \tau^\left(\mathbf{w}^{\prime}\right)\right\rangle \ & =\left\langle\mathbf{v}, \mathbf{r} \tau^(\mathbf{w})+\mathbf{s} \tau^\left(\mathbf{w}^{\prime}\right)\right\rangle \end{aligned} $$ for all $\mathbf{v} \in \mathrm{V}$, and so $$ \tau^\left(\mathrm{rw}+\mathrm{s} \mathbf{w}^{\prime}\right)=\mathrm{r} \tau^(\mathbf{w})+\mathrm{s} \tau^\left(\mathbf{w}^{\prime}\right)
$$
线性代数代写
数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Riesz Representation Theorem
如果 $\mathbf{x}$ 是内积空间中的向量 $V$, 那么函数 $\phi_{\mathbf{x}}: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{F}$ 被定义为
$$
\phi_{\mathbf{x}}(\mathbf{v})=\langle\mathbf{v}, \mathbf{x}\rangle
$$
很容易看出是 $\vee$ 上的线性抸函。下面的定理表明, 有限维内积空间上的所有线性泛函 $V$ 有这个表格。(我们将在第 13 章中看到, 在无限维的情况下, $v$ 上的所有连续线性泛 函都具有这种形式。)
定理 9.16 (Riesz 表示定理) 令 $V$ 是有限维内积空间, 令 $f \in V^*$ 是一个线性泛函 $V$. 则 存在唯一向量 $\mathrm{x} \in \mathrm{V}$ 为了哪个
$$
f(\mathbf{v})=\langle\mathbf{v}, \mathbf{x}\rangle
$$
对全部 $\mathbf{v} \in \mathrm{V}$.
证明。如果 $f$ 是零泛函, 我们可以取 $x=0$, 所以让我们假设 $f \neq 0$. 通过动机, 观察如 果 $x$ 具有所需的属性, 然后 $\langle\mathbf{v}, \mathbf{x}\rangle=0$ 对全部 $\mathbf{v} \in \operatorname{ker}(\mathrm{f})$. 因此, 我们应该寻找一个 $\mathbf{x}$ 在 $\operatorname{ker}(\mathrm{f})^{\perp}$.
请注意, 如果 $\operatorname{dim}(\mathrm{V})=\mathrm{n}$, 然后 $\operatorname{dim}(\operatorname{ker}(\mathrm{f}))=\mathrm{n}-1$. 因此, 我们可以选择一个单 位向量 $\mathbf{u} \in \operatorname{ker}(\mathrm{f})^{\perp}$, 和写
$$
\mathrm{V}=\langle\mathbf{u}\rangle \oplus \operatorname{ker}(\mathbf{f})
$$
我们的目标是找到一个 $r \in F$ 为了哪个
$$
\mathbf{f}(\mathbf{v})=\langle\mathbf{v}, \mathbf{r u}\rangle
$$
对全部 $\mathbf{v} \in \mathrm{V}$. 特别地, 对于 $\mathbf{v}=\mathbf{u}$, 我们想要
$$
\mathbf{f}(\mathbf{u})=\langle\mathbf{u}, \mathbf{r u}\rangle=\overline{\mathbf{r}}\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle=\overline{\mathbf{r}}
$$
数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|The Adjoint of a Linear Operator
本章的目的是研究内积空间上某些特殊类型线性算子的结构。为了定义这些运算符, 我 们引入了另一种类型的伴随 (不同于第 3 章的运算符伴随)。我们将仅在有限维情况下 定义此伴随, 将无限维情况推迟到第 13 章。
定理 10.1 让 $\mathrm{V}$ 和 $\mathrm{W}$ 是有限维内积空间 $F$, 然后让 $\tau \in \mathcal{L}(\mathrm{V}, \mathrm{W})$. 然后还有一个独特的 功能 $\tau: \mathrm{W} \rightarrow \mathrm{V}$, 由条件定义
$$
\left.\langle\tau(\mathbf{v}), \mathbf{w}\rangle=\left\langle\mathbf{v}, \tau^{(} \mathbf{w}\right)\right\rangle
$$
对全部 $\mathbf{v} \in \mathrm{V}$ 和 $\mathbf{w} \in \mathrm{W}$. 这个函数在 $\mathcal{L}(\mathrm{W}, \mathrm{V})$, 并且被称为伴随 $\tau$. 证明。对于一个固定的 $w \in \mathrm{W}$, 考虑函数 $\theta_{\mathrm{w}}: \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{F}$ 被定义为
$$
\theta_{\mathbf{w}}(\mathbf{v})=\langle\tau(\mathbf{v}), \mathbf{w}\rangle
$$
很容易验证 $\theta_w$ 是线性泛函 $V$, 因此, 根据 Riesz 表示定理, 存在唯一向量 $\mathbf{x} \in \mathrm{V}$ 为了哪 个
$$
\theta_{\mathbf{w}}(\mathbf{v})=\langle\tau(\mathbf{v}), \mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{v}, \mathbf{x}\rangle
$$
对全部 $\mathbf{v} \in \mathrm{V}$. 因此, 如果我们设置 $\tau(\mathbf{w})=\mathbf{x}$, 然后
$$
\left.\langle\tau(\mathbf{v}), \mathbf{w}\rangle=\left\langle\mathbf{v}, \tau^{(} \mathbf{w}\right)\right\rangle
$$
对全部 $\mathbf{v} \in \mathrm{V}$. 这就确定了的存在性和唯一性】tau^. 为了表明 \tau^是线性的, 观察到
$$
\left\langle\mathbf{v}, \tau^{\left(\mathrm{rw}+\mathbf{s w}^{\prime}\right)}\right\rangle=\left\langle\tau(\mathbf{v}), \mathbf{r w}+\mathbf{s w}^{\prime}\right\rangle \quad=\overline{\mathrm{r}}\langle\tau(\mathbf{v}), \mathbf{w}\rangle+\overline{\mathrm{s}}\left\langle\tau(\mathbf{v}), \mathbf{w}^{\prime}\right\rangle=\overline{\mathrm{r}}\left\langle\mathbf{v}, \tau^{(\stackrel{\oplus}{\mathbf{w}})}\right.
$$
对全部 $\mathbf{v} \in \mathrm{V}$ ，所以
$$
\tau^{\left(\mathrm{rw}+\mathrm{sw}^{\prime}\right)}=\mathrm{r} \tau^{(\mathbf{w})}+\mathrm{s} \tau^{\left(\mathbf{w}^{\prime}\right)}
$$
数学代写|线性代数代写Linear algebra代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。