数学代写|Matlab代考|AMTH250 Implicit Numerical Integration of the Heat Equatio

如果你也在 怎样代写Matlab AMTH250这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。Matlab(”MATrix LABoratory”的缩写)是由MathWorks公司开发的一种专有的多范式编程语言和数值计算环境。MATLAB允许进行矩阵操作、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面,以及与用其他语言编写的程序进行接口。

Matlab ENGR20是由数学家和计算机程序员Cleve Moler发明的。MATLAB的想法是基于他1960年代的博士论文。Moler成为新墨西哥大学的一名数学教授,并开始为他的学生开发MATLAB作为一种爱好。他在1967年与他曾经的论文导师George Forsythe开发了MATLAB的最初线性代数编程。随后在1971年开发了线性方程的Fortran 代码。

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数学代写|Matlab代考|AMTH250 Implicit Numerical Integration of the Heat Equatio

数学代写|Matlab代考|Implicit Numerical Integration of the Heat Equatio

The difficulty in using explicit time differencing to solve the heat equation is the very small time step that must be taken at moderate spatial resolutions to ensure stability. This small time step translates into an unacceptably long execution time. In this project you will investigate the Crank-Nicholson implicit scheme, which allows for a much more reasonable time step.

Step 1: Develop a MATLaB script that uses the Crank-Nicholson equation, Equation 9.5.14, to numerically integrate the heat equation. To do this, you will need a tridiagonal solver to find $u_m^{n+1}$. This is explained at the end of Section 3.1. However, many numerical methods books $^{15}$ actually have code already developed for your use. You might as well use this code.

Step 2: Test your code by solving the heat equation given the initial condition $u(x, 0)=$ $\sin (\pi x)$, and the boundary conditions $u(0, t)=u(1, t)=0$. Find the solution for various values of $\Delta t$ with $\Delta x=0.01$. Compare this numerical solution against the exact solution that you can find. How does the error (between the numerical and exact solutions) change with $\Delta t$ ? For small $\Delta t$, the errors should be small. If not, then you have a mistake in your code.

Step 3: Once you have confidence in your code, discuss the behavior of the scheme for various values of $\Delta x$ and $\Delta t$ for the initial condition $u(x, 0)=0$ for $0 \leq x<\frac{1}{2}$, and $u(x, 0)=1$ for $\frac{1}{2}<x \leq 1$ with the boundary conditions $u(0, t)=u(1, t)=0$. See Figure 9.5.6. Although you can take quite a large $\Delta t$, what happens? Did a similar problem arise in Step 2? Explain your results. ${ }^{16}$ Zvan et al. ${ }^{17}$ have reported a similar problem in the numerical integration of the Black-Scholes equation (another parabolic partial differential equation) from mathematical finance.

数学代写|Matlab代考|Saulyev’s Explicit Methods for the Heat Equation

In 1957 V. K. Saulyev ${ }^{18}$ suggested that Equation $9.5 .3$ be replaced by
$$
\frac{\partial^2 u\left(x_m, t_n\right)}{\partial x^2}=\frac{u_{m+1}^n-u_m^n-u_m^{n+1}+u_{m-1}^{n+1}}{(\Delta x)^2}
$$

if we have a Dirichlet condition along left side, or
$$
\frac{\partial^2 u\left(x_m, t_n\right)}{\partial x^2}=\frac{u_{m+1}^{n+1}-u_m^{n+1}-u_m^n+u_{m-1}^n}{(\Delta x)^2}
$$
if we have a Dirichlet condition along right side. Therefore, Equation $9.5 .4$ becomes
$$
(1+\theta) u_m^{n+1}=\theta u_{m-1}^{n+1}+(1-\theta) u_m^n+\theta u_{m+1}^n
$$
in the first case, and
$$
(1+\theta) u_m^{n+1}=\theta u_{m+1}^{n+1}+(1-\theta) u_m^n+\theta u_{m-1}^n
$$
in the second case. Here $\theta=a^2 \Delta t /(\Delta x)^2$. These are actually explicit schemes since the value at $u_{m-1}^{n+1}$ or $u_{m+1}^{n+1}$ is either known from the boundary condition or has just been computed. It can be shown that ${ }^{19}$ (1) these schemes are unconditionally stable and (2) consistency requires that $\Delta t$ tends to 0 faster than $\Delta x$.

数学代写|Matlab代考|AMTH250 Implicit Numerical Integration of the Heat Equatio

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数学代写|Matlab代考|Implicit Numerical Integration of the Heat Equatio


使用显式时差来求解热方程的困难在于必须在中等空间分辨率下采取非常小的时间步长 以确保稳定性。这个小的时间步长转化为不可接受的长执行时间。在本项目中, 您将研 究 Crank-Nicholson 隐式方案, 它允许更合理的时间步长。
第 1 步: 开发一个 MATLaB 脚本, 该脚本使用 Crank-Nicholson 方程, 方程 9.5.14, 对热方程进行数值积分。为此, 您需要一个三对角求解器来找到 $u_m^{n+1}$. 这在第 $3.1$ 节末 尾进行了解释。然而, 许多数值方法书籍 ${ }^{15}$ 实际上已经开发了代码供您使用。您不妨使 用此代码。
第 2 步: 通过求解给定初始条件的热方程来测试您的代码 $u(x, 0)=\sin (\pi x)$, 和边界 条件 $u(0, t)=u(1, t)=0$. 找到各种值的解决方案 $\Delta t$ 和 $\Delta x=0.01$. 将此数值解与您 可以找到的精确解进行比较。误差 (在数值解和精确解之间) 如何随着 $\Delta t ?$ 对于小, $\Delta t$ , 误差应该很小。如果不是, 那么你的代码有错误。
第 3 步: 一旦您对自己的代码充满信心, 就可以针对不同的值讨论该方案的行为 $\Delta x$ 和 $\Delta t$ 对于初始条件 $u(x, 0)=0$ 为了 $0 \leq x<\frac{1}{2}$, 和 $u(x, 0)=1$ 为了 $\frac{1}{2}<x \leq 1$ 与边 界条件 $u(0, t)=u(1, t)=0$. 见图 9.5.6。虽然你可以拿相当大的 $\Delta t$, 会发生什么? 步骤2中是否出现了类似的问题? 解释你的结果。 16 兹万等人。 ${ }^{17}$ 在数学金融的 BlackScholes 方程 (另一个拋物线偏微分方程) 的数值积分中报告了类似的问题。

数学代写|Matlab代考|Saulyev’s Explicit Methods for the Heat Equation


1957 年 VK Saulyev ${ }^{18}$ 建议方程式9.5.3被替换为
$$
\frac{\partial^2 u\left(x_m, t_n\right)}{\partial x^2}=\frac{u_{m+1}^n-u_m^n-u_m^{n+1}+u_{m-1}^{n+1}}{(\Delta x)^2}
$$
如果我们在左侧有 Dirichlet 条件, 或者
$$
\frac{\partial^2 u\left(x_m, t_n\right)}{\partial x^2}=\frac{u_{m+1}^{n+1}-u_m^{n+1}-u_m^n+u_{m-1}^n}{(\Delta x)^2}
$$
如果我们在右侧有 Dirichlet 条件。因此, 方程 $9.5 .4$ 成为
$$
(1+\theta) u_m^{n+1}=\theta u_{m-1}^{n+1}+(1-\theta) u_m^n+\theta u_{m+1}^n
$$
在第一种情况下, 和
$$
(1+\theta) u_m^{n+1}=\theta u_{m+1}^{n+1}+(1-\theta) u_m^n+\theta u_{m-1}^n
$$
在第二种情识下。这里 $\theta=a^2 \Delta t /(\Delta x)^2$. 这些实际上是显式方案, 因为值为 $u_{m-1}^{n+1}$ 或 者 $u_{m+1}^{n+1}$ 要么从边界条件中获知, 要么刚囘计算出来。可以证明 ${ }^{19}(1)$ 这些方案是无条件 稳定的 (2) 一致性要求 $\Delta t$ 趋于 0 比 $\Delta x$.

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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