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数学代写|抽象代数作业代写Abstract Algebra代考|Historical Background
We now come to the El Dorado of finite group theory-the simple groups. Simple group theory is a vast and difficult subject; we call it the El Dorado of group theory because of the enormous effort put forth by hundreds of mathematicians over many years to discover and classify all finite simple groups. Let’s begin our discussion with the definition of a simple group and some historical background.
Definition Simple Group
A group is simple if its only normal subgroups are the identity subgroup and the group itself.
The notion of a simple group was introduced by Galois about 190 years ago. The simplicity of $A_5$, the group of even permutations on five symbols, played a crucial role in his proof that there is not a solution by radicals of the general fifthdegree polynomial (i.e., there is no “quintic formula”). But what makes simple groups important in the theory of groups? They are important because they play a role in group theory somewhat analogous to that of primes in number theory or the elements in chemistry; that is, they serve as the building blocks for all groups. These building blocks may be determined in the following way. Given a finite group $G$, choose a proper normal subgroup $G_1$ of $G=G_0$ of largest order. Then the factor group $G_0 / G_1$ is simple, and we next choose a proper normal subgroup $G_2$ of $G_1$ of largest order. Then $G_1 / G_2$ is also simple, and we continue in this fashion until we arrive at $G_n={e}$. The simple groups $G_0 / G_1, G_1 / G_2, \ldots, G_{n-1} / G_n$ are called the composition factors of $G$. More than 100 years ago, Jordan and Hölder proved that these factors are independent of the choices of the normal subgroups made in the process described. In a certain sense, a group can be reconstructed from its composition factors, and many of the properties of a group are determined by the nature of its composition factors. This and the fact that many questions about finite groups can be reduced (by induction) to questions about simple groups make clear the importance of determining all finite simple groups.
数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|Nonsimplicity Tests
In view of the fact that simple groups are the building blocks for all groups, it is surprising how scarce the non-Abelian simple groups are. For example, $\mathrm{A}_5$ is the only one whose order is less than 168; there are only five non-Abelian simple groups of order less than 1000 and only 56 of order less than 1,000,000. In this section, we give a few theorems that are useful in proving that a particular integer is not the order of a non-Abelian simple group. Our first such result is an easy arithmetic test that comes from combining Sylow’s Third Theorem and the fact that groups of prime-power order have nontrivial centers.
heorem 24.1. Sylow Test for Nonsimplicity
Let $\boldsymbol{n}$ be a positive integer that is not prime, and let $p$ be a prime divisor of $n$. If 1 is the only divisor of $n$ that is equal to 1 modulo $p$, then there does not exist a simple group of order $n$.
PROOF If $n$ is a prime-power, then a group of order $n$ has a nontrivial center and, therefore, is not simple. If $n$ is not a prime-power, then every Sylow subgroup is proper, and, by Sylow’s Third Theorem, we know that the number of Sylow $p$ subgroups of a group of order $n$ is equal to 1 modulo $p$ and divides $n$. Since 1 is the only such number, the Sylow $p$-subgroup is unique, and therefore, by the corollary to Sylow’s Third Theorem, it is normal.
How good is this test? Well, applying this criterion to all the nonprime integers between 1 and 200 would leave only the following integers as possible orders of finite non-Abelian simple groups: 12, 24, 30, 36, 48, 56, 60, 72, 80, 90, 96, 105, $108,112,120,132,144,150,160,168,180$, and 192. (In fact, computer experiments have revealed that for large intervals, say, 500 or more, this test eliminates more than $90 \%$ of the nonprime integers as possible orders of simple groups.
Our next test rules out 30,90 , and 150 .
抽象代数代写
数学代写|抽象代数作业代写Abstract Algebra代 考|Historical Background
我们现在来到有限群论的黄金国一一单群。简单群论是一门庞大而困难的学科。我们称 它为群论的黄金国, 因为数百名数学家多年来为发现和分类所有有限单群付出了巨大努 力。让我们从简单组的定义和一些历史背景开始我们的讨论。
定义简单群
一个群是简单群, 如果它的正规子群只有恒等子群和群本身。
大约 190 年前, 伽罗瓦提出了单群的概念。的简单性 $A_5$, 五个符号的偶排列群, 在他 证明一般五次多项式的根无解 (即没有 “五次公式”) 的过程中发挥了至关重要的作用。 但是什么使单群在群论中如此重要呢? 它们之所以重要, 是因为它们在群论中的作用有 点类似于数论中的素数或化学中的元素; 也就是说, 它们是所有群体的基石。这些构建 块可以按以下方式确定。给定一个有限群 $G$, 选择合适的正态子群 $G_1$ 的 $G=G_0$ 最大订 单。然后是因子组 $G_0 / G_1$ 很简单, 接下来我们选择一个合适的正态子群 $G_2$ 的 $G_1$ 最大 订单。然后 $G_1 / G_2$ 也很简单, 我们以这种方式继续, 直到我们到达 $G_n=e$. 简单群 $G_0 / G_1, G_1 / G_2, \ldots, G_{n-1} / G_n$ 称为组成因子 $G .100$ 多年前, Jordan 和 Hölder 证 明了这些因素独立于在所描述的过程中所做的正态子群的选择。从某种意义上说, 一个 群可以从它的组成因素中重构出来, 而一个群的许多性质是由它的组成因素的性质决定 的。这一点以及许多关于有限群的问题可以(通过归纳法)简化为关于单群的问题这一 事实清楚地表明了确定所有有限单群的重要性。
数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|Nonsimplicity Tests
鉴于单群是所有群的基石, 非阿贝尔单群的稀缺程度令人惊讶。例如, $\mathrm{A}_5$ 是唯一一个阶 数小于 168 的; 阶数小于 1000 的非阿贝尔单群只有 5 个, 阶数小于 $1,000,000$ 的非阿 贝尔单群只有 56 个。在本节中, 我们给出一些定理, 这些定理可用于证明特定整数不 是非阿贝尔单群的阶。我们的第一个这样的结果是一个简单的算术测试, 它结合了 Sylow 第三定理和素幂阶群具有非平凡中心的事实。
定理 24.1。
非单性让的 Sylow 检验 $\boldsymbol{n}$ 是一个非质数的正整数, 并且让 $p$ 是的主要约数 $n$. 如果 1 是唯 一的除数 $n$ 等于 1 模 $p$, 则不存在单阶群 $n$.
证明如果 $n$ 是素莫, 则群阶 $n$ 有一个不平凡的中心, 因此不简单。吝果 $n$ 不是素数莫, 则 每个 Sylow 子群都是适当的, 并且根据 Sylow 第三定理, 我们知道 Sylow 的数 $p$ 一组 顺序的子组 $n$ 等于 1 模 $p$ 并划分 $n$. 由于 1 是唯一这样的数, 因此 Sylow $p$-subgroup 是 唯一的, 因此, 根据 Sylow 第三定理的推论, 它是正规的。
这个测试有多好? 那么, 将此准则应用于 1 到 200 之间的所有非素数整数将只留下以下 整数作为有限非阿贝尔单群的可能阶数: $12 、 24 、 30 、 36 、 48 、 56 、 60 、 72 、 80 、 90$ , 96, 105,108, 112, 120, 132, 144, 150, 160, 168, 180, 和 192. (事实上, 计算机实 验表明, 对于较大的间隔, 例如 500 或更多, 此测试消除了超过 $90 \%$ 非质数整数作为 单群的可能阶数。
我们的下一个测试排除了 30,90 和 150 。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微观经济学代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种微观经济学代写Microeconomics相关的作业也就用不着 说。
机器学习代写
机器学习(ML)是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域,也就是说,利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据(称为训练数据)建立模型,以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中,如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉,在这些应用中,开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关,统计学专注于使用计算机进行预测,但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。
统计推断代写
统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多,包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。
微积分代写
微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。