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有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算，再加上其相对容易实现，使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天，FDM与有限元方法一样，是数值解决PDE的最常用方法之一。
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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|HIGH ORDER ONE-DIMENSIONAL ELEMENTS
For truss members that are free of body forces, there is no need to use higher order elements, as the linear element can already give the exact solution, as shown in Example 4.1. However, for truss members subjected to body forces arbitrarily distributed in the truss elements along its axial direction, higher order elements can be used for more accurate analysis. The procedure for developing such high order one-dimensional elements is the same as for the linear elements. The only difference is the shape functions.
In deriving high order shape functions, we usually use the natural coordinate $\xi$, instead of the physical coordinate $x$. The natural coordinate $\xi$ is defined as
$$
\xi=2 \frac{x-x_c}{l_e}
$$
where $x_c$ is the physical coordinate of the mid point of the one-dimensional element. In the natural coordinate system, the element is defined in the range of $-1 \leq \xi \leq 1$. Figure $4.7$ shows a one-dimensional element of $n$th order with $(n+1)$ nodes. The shape function of the element can be written in the following form using so-called Lagrange interpolants:
$$
N_k(\xi)=l_k^n(\xi)
$$
where $l_k^n(x)$ is the well-known Lagrange interpolants, defined as
$$
l_k^n(\xi)=\frac{\left(\xi-\xi_0\right)\left(\xi-\xi_1\right) \cdots\left(\xi-\xi_{k-1}\right)\left(\xi-\xi_{k+1}\right) \cdots\left(\xi-\xi_n\right)}{\left(\xi_k-\xi_0\right)\left(\xi_k-\xi_1\right) \cdots\left(\xi_k-\xi_{k-1}\right)\left(\xi_k-\xi_{k+1}\right) \cdots\left(\xi_k-\xi_n\right)}
$$
数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|REVIEW QUESTIONS
- What are the characteristics of the joints in a truss structure and what are the effects of this on the deformation and stress properties in a truss element?
- How many DOFs does a two-nodal, planar truss element have in its local coordinate system, and in the global coordinate system? Why is there a difference in DOFs in these two coordinate systems?
- How many DOFs does a two-nodal, space truss element have in its local coordinate system, and in the global coordinate system? Why is there such a difference?
- Write down the expression for the element stiffness matrix, $\mathbf{k}_e$, with Young’s modulus, $E$, length, $l_e$, and cross-sectional area, $A=0.02 x+0.01$. (Note: non-uniform cross-sectional area.)
- Write down the expression for the element mass matrix, $\mathbf{m}_e$, with the same properties as that in question 4 above.
- Work out the displacements of the truss structure shown in Figure 4.9. All the truss members are of the same material $(E=69.0 \mathrm{GPa})$ and with the same cross-sectional area of $0.01 \mathrm{~m}^2$.
有限元代写
数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|HIGH ORDER ONEDIMENSIONAL ELEMENTS
对于没有体积力的桁架构件, 不需要使用高阶单元, 因为线性单元已经可以给出精确解, 如例 $4.1$ 所示。然 而, 对于受体积力作用且沿其轴向任意分布在桁架单元中的桁架构件, 可以采用高阶单元进行更准确的分 析。开发这种高阶一维单元的过程与开发线性单元的过程相同。唯一的区别是形函数。
在推导高阶形函数时, 我们通常使用自然坐标 $\xi$, 而不是物理坐标 $x$. 自然坐标 $\xi$ 定义为
$$
\xi=2 \frac{x-x_c}{l_e}
$$
在哪里 $x_c$ 是一维单元中点的物理坐标。在自然坐标系中, 元素定义在范围内 $-1 \leq \xi \leq 1$. 数字 $4.7$ 显示一 维元素 $n$ 第顺序与 $(n+1)$ 节点。可以使用所谓的拉格朗日揷值将单元的形状函数写成以下形式:
$$
N_k(\xi)=l_k^n(\xi)
$$
在哪里 $l_k^n(x)$ 是众所周知的拉格朗日揷值, 定义为
$$
l_k^n(\xi)=\frac{\left(\xi-\xi_0\right)\left(\xi-\xi_1\right) \cdots\left(\xi-\xi_{k-1}\right)\left(\xi-\xi_{k+1}\right) \cdots\left(\xi-\xi_n\right)}{\left(\xi_k-\xi_0\right)\left(\xi_k-\xi_1\right) \cdots\left(\xi_k-\xi_{k-1}\right)\left(\xi_k-\xi_{k+1}\right) \cdots\left(\xi_k-\xi_n\right)}
$$
数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|REVIEW QUESTIONS
- 桁架结构中节点的特征是什么? 这对桁架单元的变形和应力特性有何影响?
- 双节点平面桁架单元在其局部坐标系和全局坐标系中有多少自由度? 为什么这两个坐标系中的 自由度不同?
- 双节点空间桁架单元在其局部坐标系和全局坐标系中有多少自由度? 为什么会有这样的差异?
- 写下单元刚度矩阵的表达式, $\mathbf{k}_e$, 与杨王模量, $E$, 长度, $l_e$ 和横截面积, $A=0.02 x+0.01$
(注意：横截面积不均匀。) - 写下元素质量矩阵的表达式， $\mathbf{m}_e$ ，具有与上述问题 4 相同的属性。
- 计算出图 4.9 所示桁架结构的位移。所有的桁架构件都是相同的材料 $(E=69.0 \mathrm{GPa})$ 并且具 有相同的横截面积 $0.01 \mathrm{~m}^2$.
数学代写|有限元代写Finite Element Method代考 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。
微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。