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有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算，再加上其相对容易实现，使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天，FDM与有限元方法一样，是数值解决PDE的最常用方法之一。
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数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Solution Process
Let us now try to relate the information provided in the input file with what is formulated in this chapter. The first part of the ABAQUS input normally describes the nodes and their coordinates (position). These lines are often called ‘nodal cards ${ }^1$. The second part of the input file are the so-called ‘element cards’. Information regarding the definition of the elements using nodes is provided. For example, element 1 is formed by nodes 1 and 2 . The element cards give the connectivity of the element or the order of the nodal number that forms the element. The connectivity is very important, because a change in the order of the nodal numbers may lead to a breakdown of the computation. The connectivity is also used as the index for the direct assembly of the global matrices (see Example 4.2). This element and nodal information is required for determining the stiffness matrix (Eq. (5.21)) and the mass matrix (Eq. (5.23)).
The property cards define the properties (type of element, cross-sectional property, etc.) of the elements, as well as the material which the element is made of. The cross-section of the element is defined here as it is required for computation of the moment of area about the $z$-axis, which is in turn used in the stiffness matrix. The material properties defined are also a necessity for the computation of both the stiffness (elastic properties) and mass matrices (density).
The boundary cards (BC cards) define the boundary conditions for the model. In ABAQUS, a node of a general beam element (equivalent to the frame element, to be discussed in the next chapter) in the $X Y$ plane has three DOFs: translational displacements in the $x$ and $y$ directions $(1,2)$, and the rotation about the $z$-axis (6). To model just the transverse displacements and rotation as depicted in the formulation in this chapter, the $x$-displacement DOFs are constrained here. Hence it can be seen from the input file that the DOF ‘ 1 ‘ is constrained for all nodes. In addition to this, the two nodes at the ends, nodes 1 and 11, also have their ‘ 2 ‘ and ‘6’ DOFs constrained to simulate clamped ends. Just as in the worked example previously, constraining these DOFs would effectively reduce the dimension of the matrix.
数学代写|有限元代写Finite Element Method代考|Result and Discussion
Using the above input file, an analysis to calculate the eigenvalues, and hence the natural resonant frequencies of the bridge structure, is carried out using ABAQUS. Other than the 10 -element mesh as shown in Figure 5.6, which is also depicted in the input file, a simple convergence test is carried out. Hence, there are similar uniform meshes using 20,40 and 60 elements. All the frequencies obtained are given in Table 5.3. Because the clampedclamped beam structure is a simple problem, it is possible to evaluate the natural frequencies analytically. The results obtained from analytical calculations are also shown in Table $5.3$ for comparison.
From the table, it can be seen that the finite element results give very good approximations as compared to the analytical results. Even with just 10 elements, the error of mode 1 frequency is about $0.016 \%$ from the analytical calculations. It can also be seen that as the number of elements increases, the finite element results gets closer and closer to the analytical calculations, and converges such that the results obtained for 40 and 60 elements show no difference up to the fourth decimal place. What this implies is that in finite element analyses, the finer the mesh or the greater the number of elements used, the more accurate the results. However, using more elements will use up more computer resources, and it will take a longer time to execute. Hence, it is advised to use the minimum number of elements which give the results of desired accuracy.
Other than the resonant frequencies, the mode shapes can also be obtained. Mode shapes can be considered to be the way in which the structure vibrates at a particular natural frequency. It corresponds to the eigenvector of the finite element equation, just like the resonant frequencies corresponds to the eigenvalues of the finite element equation. Mode shapes can be important in some applications, where the points of zero displacements, like the centre of the beam in Figure 5.8, need to be identified for the installation of devices which should not undergo huge vibration.
有限元代写
数学代写|有限元代写|有限元方法代考|求解过程
现在让我们试着将输入文件中提供的信息与本章中的内容联系起来。ABAQUS输入文件的第一部分通常描述节点和它们的坐标（位置）。这些线条通常被称为 “节点卡 $${}^{\wedge} 1 \$$. 输入文件的第二部分是所谓的 “元素卡”。提供了关于使用节点的元素定义的信息。例如，元素1是由节点1和2组成的。元素卡给出了元素的连接性或形成元素的节点数的顺序。连通性是非常重要的，因为节点数顺序的改变可能导致计算的崩溃。连接性也被用作直接组装全局矩阵的索引（见例4.2）。这些元素和节点信息对于确定刚度矩阵（公式（5.21））和质量矩阵（公式（5.23））是必需的。
属性卡定义了元素的属性（元素类型，截面属性等），以及元素的材料。元素的横截面在此定义，因为它是计算面积对$$ z #$轴的力矩所需要的，而这又是用于刚度矩阵的。定义的材料属性也是计算刚度（弹性属性）和质量矩阵（密度）的必要条件。
边界卡（BC卡）定义了模型的边界条件。在ABAQUS中，一般梁元素（相当于框架元素，将在下一章讨论）在$$ X Y $平面上的节点有三个DOF：$$ X$和$$ Y $方向上的平移位移$$(1,2)$，以及围绕$$ Z `$轴的旋转(6)。为了建立本章公式中所描述的横向位移和旋转模型，$$时代$$位移DOFs在这里受到约束。因此，从输入文件中可以看出，所有节点的DOF’1’都受到约束。除此之外，两端的两个节点，节点1和11，也有它们的’2’和’6’DOFs被约束，以模拟夹紧的末端。就像之前的工作例子一样，约束这些DOF将有效地减少矩阵的尺寸。
数学代写-有限元代写-有限元方法代考-结果与讨论
使用上述输入文件，使用ABAQUS进行分析，计算特征值，从而计算出桥梁结构的自然共振频率。除了图5.6所示的10元网格外，还进行了简单的收敛测试，这也是输入文件中所描述的。因此，有类似的统一网格，使用20、40和60元素。所有获得的频率在表5.3中给出。因为夹持梁结构是一个简单的问题，所以可以用分析法评估自然频率。从分析计算得到的结果也显示在表$5.3中，以便进行比较。
从表中可以看出，与分析结果相比，有限元结果给出了非常好的近似值。即使只有10个元素，模式1频率的误差与分析计算结果相比大约为0.016美元 （backslash \% \$$）。还可以看到，随着元素数量的增加，有限元的结果越来越接近分析计算结果，并且趋于一致，40和60个元素得到的结果在小数点后第四位没有差别。这意味着在有限元分析中，网格越细或使用的元素数量越多，结果就越精确。然而，使用更多的元素会占用更多的计算机资源，而且执行时间也会更长。因此，建议使用最小数量的元素来获得所需的精度。
除了共振频率外，还可以得到模态形状。模态形状可以被认为是结构在一个特定的自然频率下的振动方式。它对应于有限元方程的特征向量，就像共振频率对应于有限元方程的特征值。模态振型在某些应用中是很重要的，零位移点，如图5.8中的梁中心，需要确定，以便安装不应发生巨大振动的设备。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。