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数学分析Mathematical Analysis MTH131LR这些理论通常是在实数和复数及函数的背景下研究的。分析学是从微积分演变而来的，它涉及到分析学的基本概念和技术。分析可以区别于几何学；然而，它可以应用于任何有近似性定义的数学对象空间（拓扑空间）或对象之间的特定距离（公制空间）。
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数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|The Spectral Theorem
The discussion so far shows that compact operators, like self-adjoint operators, share some properties with operators on finite-dimensional spaces. When we limit our attention to compact, self-adjoint operators, we obtain results that directly extend those of the finite-dimensional case.
Lemma 7.4.16. If $T$ is a nonzero compact, self-adjoint operator on a separable Hilbert space, then $|T|$ or $-|T|$ is an eigenvalue of T. In particular, every nonzero compact, self-adjoint operator has a nonzero eigenvalue.
Proof. By the proof of theorem 7.3.8, there exists a real number $\lambda$ and a sequence of unit vectors $\left(y_n\right)$ such that $|\lambda|=|T|$ and $\lim _n T y_n-\lambda y_n=0$. Since T is compact, $\left(y_n\right)$ contains a subsequence $\left(u_n\right)$ such that $\left(T u_n\right)$ is convergent. It follows that $\left(u_n\right)$ is convergent (it is the difference between the two convergent sequences $\frac{1}{\lambda} T u_n$ and $\left.\frac{1}{\lambda}\left[T u_n-\lambda u_n\right]\right)$. Let $u=\lim _n u_n$. Now $\lim _n T u_n-\lambda u_n=0$; hence Tu $-\lambda u=0$. Since $u \neq 0, \lambda$ is an eigenvalue of $T$.
In light of theorems 7.3.8 and 7.4.13, $r(T)=|T|=\left|\lambda_1\right|$ (the largest eigenvalue of T). Thus the previous lemma is, in fact, redundant. However, we decided to include it here in order to make this subsection self-contained and independent of the Fredholm theory.
数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Compact Operators on Banach Spaces
The reader may have observed that the definition of a compact operator makes perfectly good sense for an operator on a Banach space. We state the definition again. A linear operator on a Banach space $X$ is compact if it maps bounded subsets of $X$ into relatively compact subsets of $X$. All the results in theorems $7.4 .1$ through 7.4.15 are valid for compact operators on Banach spaces. All the proofs we presented for theorems $7.4 .1$ through $7.4 .15$, are valid without alteration for compact operators on Banach spaces, with the exception of theorems 7.4.5, 7.4.6, and 7.4.15. The proofs of theorems 7.4.1 through 7.4.15 (with the exceptions noted above) were deliberately made more general than is needed for Hilbert spaces. For example, we used Riesz’s theorem at several places when a simpler alternative was available. As an illustration, in the proof of lemma 7.4.10, we could simply choose a unit vector $u_n \in N_{L^{n+1}}$ such that $u_n \perp N_{L^n}$. Another place where the proof could be simplified is theorem $7.4 .9$, where we could have used the orthogonal complement $N_L^{\perp}$ instead of a complement $X_1$ of $N_L$. We now furnish the proofs of theorems 7.4.5, 7.4.6, and 7.4.15 for compact operators on Banach spaces.
Lemma 7.5.1. Let $T_n$ be a sequence of bounded operators on a Banach space $X$, and let $T$ be a bounded operator on $X$ such that $\lim _n T_n(x)=T(x)$ for every $x \in X$. Then, for every compact subset $K$ of $X, T_n$ converges uniformly to $T$ on $K$.
Proof. By the Banach-Steinhaus theorem, $\sup _n\left|T_n\right|<\infty$. Choose a constant $M>0$ such that $M>|T|$ and $M>\sup _n\left|T_n\right|$. Suppose, for a contradiction, that there exists a compact subset $K$ of $X$ on which $\left(T_n\right)$ does not converge uniformly to $T$. Then there exists a sequence $\left(x_n\right)$ of $K$, a subsequence $\left(S_n\right)$ of $\left(T_n\right)$, and a positive number $\epsilon$ such that $\left|S_n\left(x_n\right)-T\left(x_n\right)\right|>\epsilon$ for every $n \in \mathbb{N}$. By the compactness of $K,\left(x_n\right)$ contains a convergent subsequence $\left(y_n\right)$. Let $y=\lim _n y_n$. Now $\left|S_n\left(y_n\right)-T\left(y_n\right)\right| \leq\left|S_n(y)-T(y)\right|+\left|\left(S_n-T\right)\left(y_n-y\right)\right| \leq$ $\left|S_n(y)-T(y)\right|+2 M\left|y_n-y\right| \rightarrow 0$. This contradicts $\left|S_n\left(y_n\right)-T\left(y_n\right)\right| \geq \epsilon$ and concludes the proof.
数学分析代写
数学代写|数学分析作业代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|The Spectral Theorem
到目前为止的讨论表明, 刹算子, 如自伴算子, 与有限维空间上的算子共享一些性质。当我们将注意力限制 在紧凑的自伴随算子上时, 我们会得到直接扩展有限维情况的结果。
引理 7.4.16。如果 $T$ 是可分离 Hilbert 空间上的非零紧自伴随算子, 则 $T \mid$ 或者 $-|T|$ 是 $\mathrm{T}$ 的特征值。特别 是, 每个非零紧致自伴算子都有一个非䨐特征值。
证明。由定理7.3.8的证明, 存在实数 $\lambda$ 和一系列单位向量 $\left(y_n\right)$ 这样 $|\lambda|=|T|$ 和 $\lim _n T y_n-\lambda y_n=0$. 由 于 $\mathrm{T}$ 是紧致的, $\left(y_n\right)$ 包含子序列 $\left(u_n\right)$ 这样 $\left(T u_n\right)$ 是收敛的。它遵循 $\left(u_n\right)$ 是收敛的 (它是两个收敛序列之 间的差异 $\frac{1}{\lambda} T u_n$ 和 $\left.\frac{1}{\lambda}\left[T u_n-\lambda u_n\right]\right)$. 让 $u=\lim _n u_n$. 现在 $\lim _n T u_n-\lambda u_n=0$; 你在哪里 $-\lambda u=0$. 自从 $u \neq 0, \lambda$ 是的特征值 $T$.
根据定理 7.3.8 和 7.4.13, $r(T)=|T|=\left|\lambda_1\right|$ ( $\mathrm{T}$ 的最大特征值)。因此, 先前的引理实际上是多余的。 然而, 我们决定将其包括在这里, 以使本小节独立于 Fredholm 理论。
数学代写|数学分析作暃代㝍MATHEMATICAL ANALYSIS代 考|Compact Operators on Banach Spaces
读者可能已经观察到, 紧算子的定义对于 Banach 空间上的算子来说非常有意义。我们再次陈述定义。 Banach 空间上的线性算子 $X$ 如果它映射的有界子集是紧凑的 $X$ 成相对紧凑的子集 $X$. 定理中的所有结果 7.4.1到 7.4.15 对 Banach 空间上的紧算符有效。我们为定理提出的所有证明7.4.1通过 7.4.15, 对于 Banach 空间上的紧致运算符无需更改即可有效, 定理 7.4.5、7.4.6和 $7.4 .15$ 除外。定理 7.4.1 到 $7.4 .15$ 的 证明 (除了上面提到的例外) 被故意做得比 Hilbert 空间所需的更一般。例如, 当有更简单的替代方案可用 时, 我们在多个地方使用了 Riesz 定理。例如, 在引理 $7.4 .10$ 的证明中, 我们可以简单地选择一个单位向 量 $u_n \in N_{L^{n+1}}$ 这样 $u_n \perp N_{L^n}$. 另一个可以简化证明的地方是定理 $7.4 .9$, 我们可以在这里使用正交补码 $N_L^{\perp}$ 而不是补语 $X_1$ 的 $N_L$. 我们现在为 Banach 空间上的紧算子提供定理 7.4.5、7.4.6 和 7.4.15 的证明。
引理 7.5.1。让 $T_n$ 是 Banach 空间上的一系列有界算子 $X$, 然后让 $T$ 是一个有界算子 $X$ 这样 $\lim _n T_n(x)=T(x)$ 每一个 $x \in X$. 然后, 对于每个紧凑子集 $K$ 的 $X, T_n$ 一致地收敛于 $T$ 在 $K$.
证明。根据 Banach-Steinhaus 定理, $\sup _n\left|T_n\right|<\infty$. 选择一个常量 $M>0$ 这样 $M>|T|$ 和 $M>\sup _n\left|T_n\right|$. 假设, 对于一个矛盾, 存在一个紧凑的子集 $K$ 的 $X$ 在哪个 $\left(T_n\right)$ 不一致地收敛到 $T$. 那么 存在一个序列 $\left(x_n\right)$ 的 $K$, 一个子序列 $\left(S_n\right)$ 的 $\left(T_n\right)$, 和一个正数 $\epsilon$ 这样 $\left|S_n\left(x_n\right)-T\left(x_n\right)\right|>\epsilon$ 每一个 $n \in \mathbb{N}$. 通过紧凑性 $K,\left(x_n\right)$ 包含收敛子序列 $\left(y_n\right)$. 让 $y=\lim _n y_n$. 现在 $\left|S_n\left(y_n\right)-T\left(y_n\right)\right| \leq\left|S_n(y)-T(y)\right|+\left|\left(S_n-T\right)\left(y_n-y\right)\right| \leq$ $\left|S_n(y)-T(y)\right|+2 M\left|y_n-y\right| \rightarrow 0$. 这矛盾 $\left|S_n\left(y_n\right)-T\left(y_n\right)\right| \geq \epsilon$ 并得出结论。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。