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随机过程Stochastic Porcesses应用和对现象的研究反过来又激发了新的随机过程的提出。这类随机过程的例子包括维纳过程或布朗运动过程，路易-巴舍利耶用来研究巴黎证券交易所的价格变化，以及A.K.埃朗用来研究一定时期内发生的电话数量的泊松过程。 这两个随机过程被认为是随机过程理论中最重要和最核心的，并且在巴切莱特和埃朗之前和之后，在不同的环境和国家中被反复和独立地发现了。
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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Analysis of returns
Given the previous conclusion that the assumption of stationary prices is often difficult to justify in today’s commodity markets, we will shift our focus to the analysis of empirical price properties relevant for non-stationary price models. The goal of this section is to gain an understanding if a simple non-stationary model such as GBM is capable of reproducing the (most relevant) statistical properties of past prices in future simulations. If this is not the case, it needs to be understood where deviations between standard model assumptions and reality occur so that solutions can be proposed in later sections.
Please note that all subsequent analyses focus on the behaviour of returns instead of price levels. This is convenient, because the study of any time series with the goal to generalise the identified properties to other time periods or the parametrisation of simulation models requires stationarity of data (Gujarati, 2003). While we have already seen that prices mostly do not fulfil this requirement, Cont (2001) suggests that the distributional properties of returns are more persistent over time. Clearly, prices and returns are just the flipside of the same quantity, however, the study of returns allows us to extract valuable information from the past more readily (Mantegna \& Stanley, 2000).
The remainder of this subsection is organised as follows. In the first part, some of the empirical properties of commodity returns are investigated. This involves preliminary tests on return stationarity and independence, as well as tests on the normality of return distributions. The second part is aimed at making a link between the identified statistical properties of returns and stochastic price models. In other words, we will try to identify more explicitly how the empirical findings can be captured by stochastic processes.
数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Stylised properties
While the list of stylised return properties one can test is long (Cont, 2001; Cont \& Tankov, 2004), we will limit our focus to an investigation of those properties that are directly relevant for our purpose of stochastic price modelling in the next section. To begin with, let us define $r_t$ as the log return at time $t$ given by $r_t=\ln \left(P_t / P_{t-1}\right)$. Please note that log returns are used due to their convenient multiplicative properties and common use in financial theory (Hull, 2009).
As a first step, we will verify whether returns are indeed stationary so that the distributional properties of $r$ remain similar over time. To see why this is necessary, imagine we want to calibrate a stochastic process to past return data and use the resulting parameters for future price simulations as we did in fig. 3. Clearly, for the results to be meaningful, the distribution of $r$ must remain largely unchanged during the calibration and analysis period. Now, to test stationarity we will resort to the ADF test and run it on past weekly returns. As this test has already been discussed before, we jump directly to the results shown in table 4. In line with expectations, a unit root can be rejected for all commodities at the one per cent confidence level so that the above postulated requirement is satisfied.
Next, it is analysed if returns are independent. This is a common assumption in many (non-stationary) stochastic processes and it is intimately linked to economic theory. In other words, if markets are efficient, we would expect current prices to reflect all available and predictable information. What remains to drive prices must be unpredictable new information that is by definition random (Fama, 1965; Samuelson, 1964). If this is so, we would expect the absence of any systematic link between today’s and tomorrow’s prices, i.e. we would expect returns to be independent random shocks. To verify this conjecture, we check for autocorrelation in historical returns (Brigo, Dalessandro, Neugebauer, \& Triki, 2007). For this purpose, the Ljung-Box (LB) test proposed by Ljung and Box (1978), and the Autocorrelation Function (ACF) and Partial Autocorrelation Function (PACF) advocated by Brigo et al. (2007) are used.
随机过程代写
数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Analysis of returns
鉴于先前的结论，即在当今的商品市场中，固定价格的假设通常很难证明是合理的，我们将把重点转移到与非固定价格模型相关的经验价格属性的分析上。本节的目标是了解 GBM 等简单的非平稳模型是否能够在未来的模拟中再现过去价格的（最相关的）统计特性。如果不是这种情况，则需要了解标准模型假设与现实之间发生偏差的位置，以便在后面的部分中提出解决方案。
请注意，所有后续分析都集中在回报行为而不是价格水平上。这很方便，因为研究任何时间序列的目的是将已识别的属性推广到其他时间段或模拟模型的参数化需要数据的平稳性（古吉拉特语，2003 年）。虽然我们已经看到价格大多不满足这一要求，但 Cont (2001) 表明随着时间的推移，收益的分布特性更加持久。显然，价格和回报只是同一数量的反面，然而，对回报的研究使我们能够更容易地从过去提取有价值的信息 (Mantegna\& Stanley, 2000)。
本小节的其余部分组织如下。在第一部分中，研究了商品收益的一些实证属性。这涉及对收益平稳性和独立性的初步检验，以及对收益分布正态性的检验。第二部分旨在将确定的收益统计属性与随机价格模型联系起来。换句话说，我们将尝试更明确地确定随机过程如何捕获实证结果。
数学代写|随机过程代写Stochastic Porcesses代考|Stylised properties
虽然可以测试的程式化回报属性列表很长 (Cont, 2001; Cont \& Tankov, 2004), 但我们将把重点放在 调查那些与我们的随机价格建模目的直接相关的属性上部分。首先, 让我们定义 $r_t$ 作为日志返回时间 $t$ 由 $r_t=\ln \left(P_t / P_{t-1}\right)$. 请注意, 使用对数回报是因为它们具有方便的乘法特性并且在金融理论中很常见 (Hull, 2009) 。
作为第一步, 我们将验证收益是否确实平稳, 以便 $r$ 随着时间的推移保持相似。为了了解为什么这是必要 的, 假设我们想要校准一个随机过程以适应过去的回报数据, 并将得到的参数用于末来的价格模拟, 就像我 们在图 1 中所做的那样。3. 显然, 为了使结果有意义, 分布 $r$ 在校准和分析期间必须基本保持不变。现在, 为了测试平稳性, 我们将求助于 ADF 测试并在过去的每周回报上运行它。由于之前已经讨论过这个检验, 我们直接跳到表4所示的结果。符合预期, 在百分之一的置信水平下, 可以拒绝所有商品的单位根, 从而满 足上述假设要求。
接下来, 分析收益是否独立。这是许多 (非平稳) 随机过程中的常见假设, 并且与经济理论密切相关。换句 话说, 如果市场是有效的, 我们会期望当前价格反映所有可用和可预测的信息。剩下来驱动价格的必须是不 可预测的新信息, 这些信息根据定义是随机的（Fama, 1965 年; Samuelson, 1964 年)。如果是这 样, 我们将预期今天和明天的价格之间不存在任何系统性联系, 即我们将预期回报是独立的随机冲击。为了 验证这一猜想, 我们捡查了历史回报中的自相关性 (Brigo、Dalessandro、Neugebauer、 $\ \&$ Triki, 2007 年)。为此, Ljung 和 Box (1978) 提出的 Ljung-Box (LB) 检验, 以及Brigo等人提倡的自相关函数 （ACF）和偏自相关函数（PACF）。（2007）被使用。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。