如果你也在 怎样代写希尔伯特空间Hilbert Space MATH318这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。希尔伯特空间Hilbert Space在数学中，希尔伯特空间（以大卫-希尔伯特命名）允许将线性代数和微积分的方法从（有限维）欧几里得向量空间推广到可能是无限维的空间。希尔伯特空间在数学和物理学中自然而然地经常出现，通常作为函数空间。从形式上看，希尔伯特空间是一个配备有内积的向量空间，内积定义了一个距离函数，对于该空间来说，它是一个完整的度量空间。
希尔伯特空间Hilbert Space最早的希尔伯特空间是由大卫-希尔伯特（David Hilbert）、埃哈德-施密特（Erhard Schmidt）和弗里吉斯-里兹（Frigyes Riesz）在20世纪的第一个十年从这个角度研究的。它们是偏微分方程、量子力学、傅里叶分析（包括应用于信号处理和热传递）和遍历理论（构成热力学的数学基础）等理论中不可缺少的工具。约翰-冯-诺依曼（John von Neumann）为许多这些不同的应用所依据的抽象概念创造了希尔伯特空间这一术语。希尔伯特空间方法的成功为函数分析开创了一个非常富有成效的时代。除了经典的欧几里得向量空间之外，希尔伯特空间的例子还包括平方不可捉摸函数的空间、序列的空间、由广义函数组成的索博列夫空间和全形函数的哈代空间。
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数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Partial Isometries
Proposition 3.11 Let $v \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$. Then the following conditions are equivalent:
(1) $v^* v$ is a projection,
(2) $v v^* v=v$,
(3) $v^* v v^=v^$,
(4) $v v^$ is a projection. Proof (1) and (4) are equivalent by Proposition $1.4$ and remarks at the beginning of $\triangleright$ Sect. 3.2. More precisely $\sigma\left(v^ v\right)$ is contained in ${0,1}$ if and only if so is $\sigma\left(v v^\right)$, and furthermore both $v^ v$ and $v v^$ are self-adjoint. It follows that $v^ v$ is a projection if and only if $v v^$ is a projection. (1) $\Rightarrow$ (2): the support of any projection $e$ is equal to $e$. Therefore, setting $e=v^ v$ we obtain
$$
v^* v=\mathbf{s}\left(v^* v\right)=\mathbf{r}(v)
$$
by Proposition 3.10. In particular $v v^* v=v$.
(2) $\Rightarrow$ (3): taking adjoints of both sides of the equality $v v^* v=v$ we arrive at $v^* v v^=v^$.
(3) $\Rightarrow$ (4): multiplying both sides of $v^* v v^=v^$ by $v$ from the left we get $v v^* v v^=v v^$, i.e. the self-adjoint operator $v v^$ satisfies $\left(v v^\right)^2=v v^*$.
数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Polar Decomposition
Theorem $3.13$
Let $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$. Then there exists a unique pair of operators $(v, a)$ such that
(1) $x=v a$,
(2) a is positive,
(3) $v^* v=\mathbf{s}(a)$.
Proof
We begin by proving existence of a pair $(v, a)$ satisfying conditions (1)-(3). Let $a=\left(x^* x\right)^{\frac{1}{2}}$. For any $\xi \in \mathcal{H}$ we have
$$
|a \xi|^2=\left\langle\left(x^* x\right)^{\frac{1}{2}} \xi \mid\left(x^* x\right)^{\frac{1}{2}} \xi\right\rangle=\left\langle\xi \mid x^* x \xi\right\rangle=\langle x \xi \mid x \xi\rangle=|x \xi|^2 .
$$
It follows that there exists a linear map $v_{00}: a \mathcal{H} \rightarrow x \mathcal{H}$ such that for any $\xi \in \mathcal{H}$
$$
v_{00} a \xi=x \xi
$$
(indeed: if $\eta \in a \mathcal{H}$, then there exists $\xi \in \mathcal{H}$ such that $\eta=a \xi$ and the vector $x \xi$ depends only on $\eta$ because if $\eta=a \xi^{\prime}$ for another $\xi^{\prime} \in \mathcal{H}$ then $\left|x \xi^{\prime}-x \xi\right|=\left|x\left(\xi-\xi^{\prime}\right)\right|=\left|a\left(\xi-\xi^{\prime}\right)\right|=$ $|\eta-\eta|=0$ ). It is clear that $v_{00}$ is an isometric map, and so it extends uniquely to an isometry $v_0: \overline{a \mathcal{H}} \rightarrow \mathcal{H}$. Now let $v$ be the partial isometry defined as follows:
$$
v \xi= \begin{cases}v_0 \xi, & \xi \in \overline{a \mathcal{H}}, \ 0, & \xi \in(a \mathcal{H})^{\perp}\end{cases}
$$
希尔伯特空间代写
数学代写|希尔伯特空间代㝍希尔伯特空间代考|部分等价物
命题3.11$ 让$v\in\mathrm{B}(\mathcal{H})$。那么下列条件是等价的。
(1) $v^* v$是一个投影。
(2) $v v^* v=v$。
(3) $mathrm{v}^{\wedge }. \mathrm{v} \mathrm{v}^{\wedge}=\mathrm{v}^{\wedge}$, (4) $v v^{\wedge}$ 是一个投影。根据命题1.4$和$triangleright$章节开头的注释，证明（1）和（4）是等价的。3.2. 更确切地说，$sigma\left(v^v\right)$包含在0,1中，当且仅当$sigma \left( $left(\mathrm{v} \mathrm{v}^{\wedge}\backslash\right.$ right)，并且$v^v$和$backslash \mathrm{v}^{\wedge}$是自交的。由此可见，当且仅当$v v^{\wedge}$是一个投影时，$v^v$才是一个投影。(1) $\Rightarrow(2)$ : 任何投影$e$的支持都等于$e$。因此，设定$e=v^v$，我们得到 $$ v^ v=\mathbf{s}\left（v^* v\right）=\mathbf{r}(v)
$$
根据命题3.10。特别是$v v^* v=v$。
(2) $\Rightarrow$ (3): 对等式$v v^* v=v$的两边进行邻接，我们得出$mathrm{v}^{\wedge }。\mathrm{v} \mathrm{v}^{\wedge}=\mathrm{v}^{\wedge}$. (3) $\Rightarrow$ (4): 将$v^{n^} v v^{\wedge}=v^{\wedge}$的两边从左边乘以$v$，我们得到$v v^{\wedge} v v^{\wedge}=v v^{\wedge}$，即。 即自交运算符$quad v v^{\wedge}$满足$backslash \operatorname{left}\left(v v^{\wedge}\backslash \text { right }\right)^{\wedge}。2=v v^{wedge}$。
数学代写|希尔伯特空间代写|希尔伯特空间代考|极点分解
定理3.13$
让$x\在mathrm{B}(\mathcal{H})$。那么存在一对唯一的算子$(v, a)$，使得
(1) $x=v a$。
(2) a为正数。
(3) $v^* v=\mathbf{s}(a)$。
证明
我们首先证明满足条件(1)-(3)的一对$(v, a)$的存在。让$a==left(x^* x\right)^{\frac{1}{2}}$。
对于任意$xi\在mathcal{H}$我们有
$$
|a \xi|^2=\left\langle\left(x^* x\right)^{frac{1}{2}}。`xi\mid\left(x^* x\right)^{{frac{1}{2}}。\xxi\right\rangle=left\langle\xi mid x^* xxi\right\rangle=langle x ximid x xi\rangle=|xxi|^2 。
$$
由此可见，存在一个线性映射$v_{00}: a \mathcal{H} \rightarrow x mathcal{H}$ 这样，对于任何 $xi\inmathcal{H}$
$$
v_{00} a xi=xxi
$$
(实际上。If $\eta\in a mathcal{H}$, 那么存在$xi\in \mathcal{H}$，这样$\eta=a\xi$，并且向量$x\xi$只依赖于$\eta$，因为如果$\eta=a \xi^{prime}$对于另一个$xi^{prime} \in \mathcal{H}$，那么$\left|x \xi^{prime}- x \xi\right|=left|x\left(\xi-\xi^{prime}\right)\right|=left|a\left(\xi-\xi^{prime}\right)\right|=$|eta-\eta|=0$ ）。很明显，$v_{00}$是一个等距映射，所以它唯一地延伸到一个等距$v_0: overline{a\mathcal{H}}。\Rightarrow\mathcal{H}$。现在让$v$成为定义如下的部分等值线。 $$ v\xi=left\{v_0\xi, \quad\xi\in overline{amathcal{H}}, 0, \quad\xi\in(a`mathcal{H})^{perp}\right.
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。