如果你也在 怎样代写数论Number theory STAT7604学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory(或旧时的算术或高等算术)是纯数学的一个分支,主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯(1777-1855)说:”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象(例如有理数)或定义为整数的概括(例如代数整数)的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身,也可以被视为方程的解(刁藩几何)。数论中的问题通常最好通过研究分析对象(例如黎曼Zeta函数)来理解,这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性(分析数论)。人们也可以研究实数与有理数的关系,例如,由后者逼近的实数(Diophantine逼近)。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|Generating a random prime
Suppose we are given an integer $M \geq 2$, and want to generate a random prime between 2 and $M$. One way to proceed is simply to generate random numbers until we get a prime. This idea will work, assuming the existence of an efficient algorithm IsPrime that determines whether or not a given integer $n>1$ is prime.
Now, the most naive method of testing if $n$ is prime is to see if any of the numbers between 2 and $n-1$ divide $n$. Of course, one can be slightly more clever, and only perform this divisibility check for prime numbers between 2 and $\sqrt{n}$ (see Exercise 1.1). Nevertheless, such an approach does not give rise to a polynomial-time algorithm. Indeed, the design and analysis of efficient primality tests has been an active research area for many years. There is, in fact, a deterministic, polynomial-time algorithm for testing primality, which we shall discuss later, in Chapter 22. For the moment, we shall just assume we have such an algorithm, and use it as a “black box.”
Our algorithm to generate a random prime between 2 and $M$ runs as follows:
Algorithm RP:
repeat
$\quad n \leftarrow R{2, \ldots, M}$
until IsPrime $(n)$
output $n$
We now wish to analyze the running time and output distribution of Algorithm $\mathrm{RP}$ on input $M$. Let $k:=\operatorname{len}(M)$.
First, consider a single iteration of the main loop of Algorithm RP, viewed as a stand-alone probabilistic experiment. For any fixed prime $p$ between 2 and $M$, the probability that the variable $n$ takes the value $p$ is precisely $1 /(M-1)$. Thus, every prime is equally likely, and the probability that $n$ is a prime is precisely $\pi(M) /(M-1)$.
Let us also consider the expected running time $\mu$ of a single loop iteration. To this end, define $W_n$ to be the running time of algorithm IsPrime on input n. Also, define
$$
W_M^{\prime}:=\frac{1}{M-1} \sum_{n=2}^M W_n
$$
数学代写|数论代写Number Theory代考|Using a probabilistic primality test
In the above analysis, we assumed that IsPrime was a deterministic, polynomial-time algorithm. While such an algorithm exists, there are in fact simpler and more efficient algorithms that are probabilistic. We shall discuss such an algorithm in greater depth later, in Chapter 10. This algorithm (like several other algorithms for primality testing) has one-sided error in the following sense: if the input $n$ is prime, then the algorithm always outputs true; otherwise, if $n$ is composite, the output may be true or false, but the probability that the output is true is at most $c$, where $c<1$ is a constant. In the terminology of $\S 7.2$, such an algorithm is essentially a Monte Carlo algorithm for the language of composite numbers. If we want to reduce the error probability for composite inputs to some very small value $\epsilon$, we can iterate the algorithm $t$ times, with $t$ chosen so that $c^t \leq \epsilon$, outputting true if all iterations output true, and outputting false otherwise. This yields an algorithm for primality testing that makes errors only on composite inputs, and then only with probability at most $\epsilon$.
Let us analyze the behavior of Algorithm RP under the assumption that IsPrime is implemented by a probabilistic algorithm (such as described in the previous paragraph) with an error probability for composite inputs bounded by $\epsilon$. Let us define $W_n$ to be the expected running time of IsPrime on input $n$, and as before, we define
$$
W_M^{\prime}:=\frac{1}{M-1} \sum_{n=2}^M W_n
$$

数论代写
数学代写|数论代写数论代考|生成一个随机素数
假设我们得到一个整数$M\geq 2$,并想在2和$M$之间产生一个随机素数。一种方法是简单地生成随机数,直到我们得到一个素数。假设存在一种有效的算法IsPrime来确定给定的整数$n>1$是否是素数,那么这种想法就会奏效。
现在,测试$n$是否为素数的最天真方法是看2和$n-1$之间的任何数字是否能除以$n$。当然,我们可以稍微聪明一点,只对2和$sqrt{n}$之间的素数进行这种可除性检验(见练习1.1)。然而,这种方法并不能产生一个多项式时间算法。事实上,多年来,设计和分析高效的素数检验一直是一个活跃的研究领域。事实上,有一种确定的、多项式时间的算法来测试原始性,我们将在后面的第22章中讨论这个算法。目前,我们只是假设我们有这样一种算法,并将其作为一个 “黑盒子”。
我们生成2和$M$之间随机素数的算法如下。
算法RP。
重复
$n \leftarrow R 2, \ldots, M$ 直到IsPrime $(n)$为止
输出$n$
我们现在想分析一下算法$mathrm{RP}$在输入$M$上的运行时间和输出分布。让$k:=operatorname{len}(M)$。
首先,考虑RP算法主循环的一次迭代,将其视为一个独立的概率实验。对于2和M之间的任何固定素数$p$,变量$n$取值$p$的概率正好是1/(M-1)$。因此,每个素数的可能性都是一样的,$n$是素数的概率正好是$pi(M)/(M-1)$。
让我们也考虑一下单个循环迭代的预期运行时间$mu$。为此,定义$W_n$为IsPrime算法在输入$mathrm{n}$的运行时间。同时,定义
$$
W_M^{prime}:=\frac{1}{M-1} \sum_{n=2}^M W_n
$$
数学代写|数论代写数论代考|使用概率原始性测试
在上面的分析中,我们假设IsPrime是一个确定性的、多项式时间的算法。虽然这样的算法存在,但事实上还有更简单、更有效的概率算法。我们将在后面的第10章中更深入地讨论这种算法。这种算法(就像其他几种首要性检验的算法一样)在以下意义上具有单边误差:如果输入的$n$是素数,那么该算法总是输出为真;否则,如果$n$是复合的,输出可能是真,也可能是假,但输出为真的概率最多是$c$,其中$c<1$是一个常数。用$7.2$的术语来说,这样的算法本质上是复合数语言的蒙特卡洛算法。如果我们想把复合输入的错误概率降低到某个非常小的值$epsilon$,我们可以把算法迭代$t$次,选择$t$使$c^t \leq \epsilon$,如果所有迭代都输出真值,则输出假值。这就产生了一个只在复合输入上出错的初等性检验算法,而且概率最多为$epsilon$。
让我们分析一下算法RP的行为,假设IsPrime是由一个概率算法(如上一段所述)实现的,复合输入的错误概率以$epsilon$为界。让我们将$W_n$定义为IsPrime在输入$n$上的预期运行时间,和之前一样,我们定义
$$
W_M^{prime}:=\frac{1}{M-1} \sum_{n=2}^M W_n
$$

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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。