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复分析Complex analysis一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。皮卡德定理描述了全形函数在基本奇点附近的显著行为。只有极点而没有基本奇点的函数被称为经态函数。劳伦特级数是与泰勒级数相当的复值级数，但可以通过更容易理解的函数（如多项式）的无限和来研究奇点附近的函数行为。
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复分析代考_Complex analysis代考_The twisted 𝜕-complex and Schrödinger operators
We will consider the twisted $\bar{\partial}$-complex
$$
L^2(\Omega) \stackrel{T}{\longrightarrow} L_{(0,1)}^2(\Omega) \stackrel{S}{\longrightarrow} L_{(0,2)}^2(\Omega)
$$
for operators $T=\bar{\partial} \circ \sqrt{\tau}$ and $S=\sqrt{\tau} \circ \bar{\partial}$, where $\tau \in \mathcal{C}^2(\bar{\Omega})$ and $\tau>0$ on $\Omega$ (Section 11.2). It turns out that this approach leads to generalized basic estimates which are seminal for the applications. In Section $11.3$ we derive the basic estimates (10.48) from the theorem on the twisted $\bar{\partial}$-complex and the density result (Theorem 10.61).
Next we investigate the basic properties of the $\bar{\partial}$-operator on weighted $L^2$-spaces on the whole of $\mathbb{C}^n$ (Section 11.4) and apply the results to construct entire functions with a given growth behavior at infinity (Section 11.5). It will turn out that the behavior of the $\bar{\partial}$-operator essentially depends on the properties of the Levi-matrix of the weight function. For $n=1$, there is an interesting connection between $\bar{\partial}$ and the theory of Schrödinger operators with magnetic fields, for $n \geq 2$, the corresponding concept is the Witten Laplacian (Section 11.7). The corresponding density result from the last chapter is much easier to handle in the weighted case, therefore also the basic estimate and existence of the $\bar{\partial}$-Neumann operator. Nevertheless, we need some facts from spectral analysis of unbounded self-adjoint operators, in particular consequences of the spectral theorem, and Persson’s Lemma about the bottom of the essential spectrum, where all the details and proofs are beyond the scope of this book. We collect all necessary information for this in Section 11.6.
复分析代考_Complex analysis代考_An exact sequence of unbounded operators
First we prove a general result about operators like $T$ and $S$ from (11.1).
Theorem 11.1. Let $H_1, H_2, H_3$ be Hilbert spaces and $T: H_1 \longrightarrow H_2$ and $S: H_2 \longrightarrow H_3$ densely defined closed linear operators such that $S(T(f))=0$, for each $f \in \operatorname{dom}(T)$, and let $\mathrm{P}: \mathrm{H}_2 \longrightarrow \mathrm{H}_2$ be a positive invertible operator such that
$$
|P u|_2^2 \leq\left|T^* u\right|_1^2+|S u|_3^2,
$$
for all $u \in \operatorname{dom}(S) \cap \operatorname{dom}\left(T^\right)$, where $$ \operatorname{dom}\left(T^\right)=\left{u \in H_2:\left|(u, T f)_2\right| \leq C|f|_1 \text { for all } f \in \operatorname{dom}(T)\right} .
$$
Suppose (11.2) holds and let $\alpha \in H_2$ be such that $S \alpha=0$. Then there exists $\sigma \in H_1$ such that (i) $T(\sigma)=\alpha$ and (ii) $|\sigma|_1^2 \leq\left|P^{-1} \alpha\right|_2^2$.
Proof. Since $P$ is positive, it follows that $P=P^$. Now let $\alpha \in H_2$ be such that $S \alpha=0$. We consider the linear functional $T^ u \mapsto(u, \alpha)_2$ for $u \in \operatorname{dom}\left(T^*\right)$. We show that this linear functional is well-defined and continuous. If $u \in \operatorname{ker} S$, then
$$
\begin{aligned}
\left|(u, \alpha)_2\right| & =\left|\left(P u, P^{-1} \alpha\right)_2\right| \leq|P u|_2\left|P^{-1} \alpha\right|_2 \leq\left(\left|T^* u\right|_1^2+|S u|_3^2\right)^{1 / 2}\left|P^{-1} \alpha\right|_2 \
& =\left|T^* u\right|_1\left|P^{-1} \alpha\right|_2,
\end{aligned}
$$
if $u \perp_2 \operatorname{ker} S$, then $(u, \alpha)_2=0$. In addition, we have that $T^* w=0$ for all $w \perp_2 \operatorname{ker} S$, this follows from the assumption that $T f \in \operatorname{ker} S$, so $0=(w, T f)_2 \leq C|f|_1$, which means that $w \in \operatorname{dom}\left(T^\right)$ and $T^ w=0$, since $\left(T^* w, f\right)_1=(w, T f)_2=0$ for all $f \in \operatorname{dom}(T)$. If $T^* u=$ 0 , it follows from the above estimate that $(u, \alpha)_2=0$, which implies that the linear functional $T^* u \mapsto(u, \alpha)_2$ for $u \in \operatorname{dom}\left(T^*\right)$ is well-defined and continuous.
We apply the Hahn-Banach Theorem, where we keep the constant for the estimate of the functional and the Riesz representation theorem to get $\sigma \in H_1$ such that $\left(T^* u, \sigma\right)_1=(u, \alpha)_2$, which implies that $\sigma \in \operatorname{dom}\left(T^{* }\right)$. By Lemma 10.7, we have $T=T^{ }$, so we get $(u, T \sigma)_2=(u, \alpha)_2$, for all $u \in \operatorname{dom}\left(T^\right)$. Since dom $\left(T^*\right)$ is dense in $H_2$, we obtain $T \sigma=\alpha$ and, again by the above estimate $|\sigma|_1 \leq\left|P^{-1} \alpha\right|_2$.
复分析代写
复分析代考Complex analysis代考 _The twisted $\partial$-complex and Schrödinger operators
我们将考虑扭曲 $\bar{\partial}$-复杂的 $$ L^2(\Omega) \stackrel{T}{\longrightarrow} L{(0,1)}^2(\Omega) \stackrel{S}{\longrightarrow} L_{(0,2)}^2(\Omega)
$$
对于运荣商 $T=\bar{\partial} \circ \sqrt{\tau}$ 和 $S=\sqrt{\tau} \circ \bar{\partial}$, 在哪里 $\tau \in \mathcal{C}^2(\bar{\Omega})$ 和 $\tau>0$ 在 $\Omega$ (第 $11.2$ 节)。事实证明, 这 种方法导致了对应用程序具有开创性的广义基本估计。在节 $11.3$ 我们从扭曲的定理推导出基本估计 (10.48) $\bar{\partial}$-复数和密度结果（昰理 10.61）。
接下来我们研究的基本属性 $\bar{\partial}$-加权运算符 $L^2$ – 整体上的空间 $\mathbb{C}^n$ (第 $11.4$ 节) 并应用结果来构造在无穷远 处具有给定增长行为的整个函数 (第 $11.5$ 节)。事实证明, $\bar{\partial}$-operator 本质上取决于权重函数的 Levi 矩 阵的属性。为了 $n=1$, 之间有一个有趣的联系 $\bar{\partial}$ 和具有磁㔹的薛定谔算子的理论, 对于 $n \geq 2$, 对应的概 念是 Witten Laplacian (第 $11.7$ 节) 。上一章相应的密度结果在加权情况下更宮易处理, 因此基本估计和 存在 $\bar{\partial}$-Neumann 算子。然而, 我们需要一些来自无界自伴算子的谱分析的事实, 特别是谱定理的结果, 以及关于本质谱底部的 Persson 引理, 所有细节和证明都超出了本书的范围。我们在第 $11.6$ 节中为此收集 了所有必要的信息。
复分析代考_Complex analysis代考 _An exact sequence of unbounded operators
首先我们证明一个关于算子的一般结果 $T$ 和 $S$ 来自 (11.1)。
定理 11.1。让 $H_1, H_2, H_3$ 是希尔伯特空间和 $T: H_1 \longrightarrow H_2$ 和 $S: H_2 \longrightarrow H_3$ 密集定义的封闭线性算 子使得 $S(T(f))=0$, 对于每个 $f \in \operatorname{dom}(T)$, 然后让 $\mathrm{P}: \mathrm{H}_2 \longrightarrow \mathrm{H}_2$ 是正可逆算子使得
$$
|P u|_2^2 \leq\left|T^* u\right|_1^2+|S u|_3^2,
$$
对所有人 u \in \operatorname ${\mathrm{dom}}(\mathrm{S}) \backslash$ \cap \operatorname ${\mathrm{dom}} \backslash \mathrm{eft}\left(\mathrm{T}^{\wedge} \backslash\right.$ right $)$, 在哪里
假设 (11.2) 成立并今 $\alpha \in H_2$ 是这样的 $S \alpha=0$. 那么存在 $\sigma \in H_1$ 这样 (一) $T(\sigma)=\alpha$ (ii)
$$
|\sigma|_1^2 \leq\left|P^{-1} \alpha\right|_2^2 \text {. }
$$
证明。自从 $P$ 是正的, 因此 $\mathrm{P}=\mathrm{P}^{\wedge}$. 现在让 $\alpha \in H_2$ 是这样的 $S \alpha=0$. 我们考虑线性泛函 $T^u \mapsto(u, \alpha)_2$ 为 $了 u \in \operatorname{dom}\left(T^\right)$. 我们表明此线性泛函是定义明确且连续的。如果 $u \in \operatorname{ker} S$, 然后 $$ \left|(u, \alpha)_2\right|=\left|\left(P u, P^{-1} \alpha\right)_2\right| \leq|P u|_2\left|P^{-1} \alpha\right|_2 \leq\left(\left|T^ u\right|_1^2+|S u|_3^2\right)^{1 / 2}\left|P^{-1} \alpha\right|_2 \quad=\left|T^* u\right|_1\left|P^{-1} \alpha\right|_2
$$
如果 $u \perp_2 \operatorname{ker} S$, 然后 $(u, \alpha)_2=0$. 此外, 我们有 $T^* w=0$ 对所有人 $w \perp_2 \operatorname{ker} S$, 这是从以下假设得 和 $T^w=0$, 自从 $\left(T^* w, f\right)_1=(w, T f)_2=0$ 对所有人 $f \in \operatorname{dom}(T)$. 如果 $T^* u=0$, 从上面的估计可 以得出 $(u, \alpha)_2=0$, 这意味着线性泛函 $T^* u \mapsto(u, \alpha)_2$ 为了u $u \in \operatorname{dom}\left(T^\right)$ 是定义明确且连续的。 我们应用 Hahn-Banach 定理, 其中我们保持函数估计的常数和 Riesz 表示定理以获得 $\sigma \in H_1$ 这样 $\left(T^ u, \sigma\right)_1=(u, \alpha)_2$, 这意味着 $\sigma \in \operatorname{dom}\left(T^*\right)$. 根据引理 $10.7$, 我们有 $T=T$, 所以我们得到 我们获得 $T \sigma=\alpha$ 并且, 再次根据上述估计 $|\sigma|_1 \leq\left|P^{-1} \alpha\right|_2$.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。