数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|MA1510 Spherical t-designs that are obtained as shells of a lattice

如果你也在 怎样代写组合数学Combinatorial Mathematics MA1510这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。组合学Combinatorics是数学的一个领域,主要涉及计数(作为获得结果的手段和目的)以及有限结构的某些属性。主要涉及计数,作为获得结果的手段和目的,以及有限结构的某些属性。它与数学的许多其他领域密切相关,有许多应用,从逻辑学到统计物理学,从进化生物学到计算机科学。

组合数学 Combinatorial Mathematics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域,特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中,以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上被孤立地考虑,对某个数学背景下出现的问题给出一个临时性的解决方案。然而,在二十世纪后期,强大而普遍的理论方法被开发出来,使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论,它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中,组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。

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数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|Spherical t-designs that are obtained as shells of a lattice

In addition to the spherical $t$-designs which are obtained as orbits of a finite subgroup $G$ in $\mathrm{O}(n)$, there is another natural method for the construction of the spherical $t$-designs obtained as shells of a lattice.

Let us fix some notation. A subset $L$ of $\mathbb{R}^n$ is called a lattice if there exists a basis $\left{v_1, v_2, \ldots, v_n\right}$ of the real vector space $\mathbb{R}^n$ and $L$ is the set of linear combinations of $\left{v_1, v_2, \ldots, v_n\right}$ with integral coefficients. We call $\left{v_1, v_2, \ldots, v_n\right}$ a generator of $L$. A lattice $L$ is a free Abelian group of rank $n$. For the important examples of lattices, the reader is referred to basic references on lattices, Conway and Sloane [147] or Ebeling [175]. (In what follows, $\left{e_1, e_2, \ldots, e_n\right}$ is the standard orthonormal basis of $L$.)

Let $\mathbb{Z}^n$ be the set of all integer points: $\left{\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \mid x_i \in \mathbb{Z}, 1 \leq i \leq n\right}$.

The $A_n$-lattice is $\left{\left(a_1, a_2, \ldots, a_{n+1}\right) \mid a_i \in \mathbb{Z}, a_1+\cdots+a_n+a_{n+1}=2\right}$. (Note that for the hyperplane $H$, we have $H=\left{\left(a_1, \ldots, a_n, a_{n+1}\right) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid a_1+\cdots+\right.$ $\left.a_n+a_{n+1}=2\right} \cong \mathbb{R}^n$.) In particular, the $A_2$-lattice is called the hexagonal lattice, as shown below.

The $D_n$-lattice is the free Abelian group generated by the set $\left{\pm e_i \pm e_j \mid 1 \leq i\right.$, $j \leq n, i \neq j$, with all the choices of $\pm}=\left{\left(a_1, \ldots, a_n\right) \in \mathbb{R}^n \mid a_1+\cdots+a_n \equiv 0(\bmod 2)\right.$, $\left.a_i \in \mathbb{Z}, 1 \leq i \leq n\right}$.

The $E_n$-lattices $(n=6,7,8)$.
The $E_8$-lattice is defined as the set of integral linear combinations of the vectors $\left{\pm e_i \pm e_j \mid 1 \leq i, j \leq 8, i \neq j\right.$ with all possible choices of signs $} \cup\left{\frac{1}{2}\left(\pm e_1 \pm e_2 \pm\right.\right.$ $\left.\cdots \pm e_8\right) \mid$ with an even number of minus signs $}$. This is equivalent to the $D_8^{+}$lattice defined as the union of the $D_8$-lattice and the set $\left{D_8+\frac{1}{2}\left(e_1+e_2+\cdots+e_8\right)\right}$. So, it is $\left{\left(a_1, a_2, \ldots, a_8\right) \mid a_1+a_2+\cdots+a_8 \equiv 0(\bmod 2), a_i \in \mathbb{Z}\right.$ or $\left.a_i \in \mathbb{Z}+\frac{1}{2}, 1 \leq i \leq 8\right}$. The $E_7$-lattice is isomorphic to the subset (of the $E_8$-lattice) consisting of the vectors perpendicular to any fixed vector of length $\sqrt{2}$ of the $E_8$-lattice. (So, it is a lattice in $\mathbb{R}^7$.)
The $E_6$-lattice is isomorphic to the lattice (in $\mathbb{R}^6$ ) which is the subset of the $E_8$-lattice consisting of the vectors perpendicular to a pair of two vectors of length $\sqrt{2}, 120$ degrees apart in the $E_8$-lattice.

The Leech lattice $\Lambda_{24}$ is defined as $\Lambda_{24}=\left{\frac{1}{\sqrt{8}}(\mathbf{0}+2 \mathbf{c}+4 \mathbf{x})\right} \cup\left{\frac{1}{\sqrt{8}}(\mathbf{1}+2 \mathbf{c}+4 \mathbf{y})\right}$. Here, $\mathbf{0}=(0,0, \ldots, 0), \mathbf{1}=(1,1, \ldots, 1)$, and $\mathbf{c}$ is in the Golay code (regarding the components of $\mathbf{c}$ as real numbers 0 and 1 rather than the elements of the finite field $\left.F_2\right)$. Also, $\mathbf{x}=\left(x_1, x_2, \ldots, x_{24}\right)$ and $\mathbf{y}=\left(y_1, y_2, \ldots, y_{24}\right)$ are vectors in $\mathbb{R}^{24}$ satisfying $x_i, y_i \in \mathbb{Z}, 1 \leq i \leq 24, x_1+x_2+\cdots+x_{24} \equiv 0(\bmod 2), y_1+y_2+\cdots+y_{24} \equiv 1(\bmod 2)$.

数学代写|组合数学代写Combinatorial Mathematics代考|Spherical designs appearing in physics and chemistry

Now, we list what we think interesting in an informal way. Frankly speaking, the contents here are the authors’ personal impression and also meant to be a guidance for the readers what references to look at. Of course there are many other interesting and deep relations between spherical designs and physics or chemistry that we are not aware of. So, we hope and expect that the contents could be supplemented by other experts. We will list eight references or topics (i)-(viii), and make some comments on them. The first two expository articles were already mentioned in [32]. The rest arises after the publication of [32].
(i) Saff and Kuijlaars, “Distributing many points on a sphere” [410]. (Many references mentioned there are also very useful.)
(ii) Smale, “Mathematical problems for the next century” [430].
(iii) M. Atiyah and P. Sutcliffe, “Polyhedra in Physics, Chemistry and Geometry” [7]. Milano J. math. 71 (2003), 33-58.
(iv) H. Cohn, “Order and disorder in energy minimization” [137]. Proceedings of the International Congress of Mathematics, Volume IV, Hindustan Book Agency, New Delhi (2010), 2416-2443 (see also [141]).

The main topic of papers (i) and (ii) is to find finite subsets of the sphere $S^{n-1}$ for a given potential function $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$, which have the property that among all the subsets of the same size, the energy for $f$ is minimum. For example, the most important problem is the next problem, called the Coulomb-Thomson problem. Let the potential function be $f(r)=\frac{1}{r}$ and let the energy (for the potential function $f$ ) of a subset $Y$ be defined by
$$
\sum_{x, y \in Y, x \neq y} \frac{1}{|x-y|}
$$

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组合数学代写

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除了球形 $t$-作为有限子群的轨道获得的设计 $G$ 在 $\mathrm{O}(n)$, 还有另一种构造球面的自然方法 $t$-作为格子壳获得 的设计。 间 $\mathbb{R}^n$ 和 $L$ 是线性组合的集合 $\backslash$ left{v_1, $v_{-} 2, \backslash$ ldots, $v_{-} n \backslash$ right $}$ 与积分系数。我们称之为 可以参考关于格的基本参考资料,Conway 和 Sloane [147] 或 Ebeling [175]。(接下来,
让 $\mathbb{Z}^n$ 是所有整数点的集合:
这 $A_n$ 格子是
(注意对于超平面 $H$, 我们有
.) 特别是, $A_2$-格子称为六方格子, 如下图。
这 $D_n$-lattice 是由集合生成的自由阿贝尔群
这 $E_n$-格子 $(n=6,7,8)$.
这 $E_8$-格被定义为向酉的积分线性组合的集合
. 这相当于 $D_8^{+}$晶格定义为的并集 $D_8$-格子和集合

这 $E_7$-lattice 同构于子集 (的 $E_8$-lattice) 由垂直于任何固定长度向鯉的向鯉组成 $\sqrt{2}$ 的 $E_8$-格子。(所 以, 它是一个格子 $\mathbb{R}^7$.)
的 $E_6$-lattice 与 lattice 同构 (在 $\mathbb{R}^6$ ) 这是的子集 $E_8$-由垂直于一对两个长度向荲的向锂组成的格子 $\sqrt{2}, 120$ 相隔度数 $E_8$-格子。
水蛭格子 $\Lambda_{24}$ 定义为
. 这里, $\mathbf{0}=(0,0, \ldots, 0), \mathbf{1}=(1,1, \ldots, 1)$, 和 $\mathbf{c}$ 在 Golay 代码中 (关于 $\mathbf{c}$ 作为实数 0 和 1 而不是有 限域的元素 $\left.F_2\right)$. 还, $\mathbf{x}=\left(x_1, x_2, \ldots, x_{24}\right)$ 和 $\mathbf{y}=\left(y_1, y_2, \ldots, y_{24}\right)$ 是载体 $\mathbb{R}^{24}$ 今之人满意 $x_i, y_i \in \mathbb{Z}, 1 \leq i \leq 24, x_1+x_2+\cdots+x_{24} \equiv 0(\bmod 2), y_1+y_2+\cdots+y_{24} \equiv 1(\bmod 2)$.

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现在, 我们以非正式的方式列出我们认为有趣的内容。坦率地说, 这里的内容是作者的个人感受, 也是给读 者参考看㔹么的一个指导。当然, 球形设计与物理或化学之间还有许多其他有趣而深刻的关系是我们不知道 的。因此, 我们希望并期待其他专家能指对内容进行补充。我们将列出八个参考文献或主题 (i) – (viii), 并对其进行一些评论。前两篇说明性文章已在 [32] 中提到。其余的出现在 [32] 发表之后。
(i) Saff 和 Kuijlaars, “在球体上分布许多点”[410]。 (那里提到的许多参考资料也非常有用。)
(ii) Smale, “下个世纪的数学问遈” [430]。
(iii) M. Atiyah 和 P. Sutcliffe, “物理、化学和几何中的多面体”[7]。 米兰 J. 数学。 71 (2003), 33-58。
(iv) H. Cohn, “能量最小化中的有序与无序” [137]。国际数学大会论文集, 第 IV 卷, Hindustan Book Agency, 新德里 (2010 年), 2416-2443 (另见 [141])。
论文 (i) 和 (ii) 的主题是找到球体的有限子集 $S^{n-1}$ 对于给定的㳻在功能 $f:[0,2] \rightarrow \mathbb{R}$, 它具有的属性是, 在所有相同大小的子集中, 能畫为 $f$ 是最小的。例如, 最重要的问题是下一个问题, 称为 CoulombThomson 问题。今势函数为 $f(r)=\frac{1}{r}$ 并让能酉 (对于潜在的功能 $f$ ) 的一个子集 $Y$ 被定义为
$$
\sum_{x, y \in Y, x \neq y} \frac{1}{|x-y|}
$$

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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