计算机代写|算法代写Algorithm代考|CS341 Algorithm 7 Correctly Implements Prim’s Algorithm

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算法Algorithm被用作进行计算和数据处理的规范。更高级的算法可以进行自动推理(被称为自动推理),并使用数学和逻辑测试来转移代码执行的各种路线(被称为自动决策)。以隐喻的方式将人类的特征作为机器的描述符,艾伦-图灵已经用 “记忆”、”搜索 “和 “刺激 “等术语进行了实践。相比之下,启发式是一种解决问题的方法,它可能没有被完全指定,或者不能保证正确或最佳的结果,特别是在没有明确定义的正确或最佳结果的问题领域。作为一种有效的方法,算法可以在有限的空间和时间内表达出来,并以一种定义明确的形式语言来计算一个函数。从一个初始状态和初始输入(也许是空的)开始,指令描述一个计算,当执行时,经过有限个定义明确的连续状态,最终产生 “输出”并终止于一个最终的终止状态。从一个状态到下一个状态的转换不一定是确定的;一些算法,即所谓的随机算法,包含了随机输入。

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计算机代写|算法代写Algorithm代考|CS341 Algorithm 7 Correctly Implements Prim’s Algorithm

计算机代写|算法代写Algorithm代考|Algorithm 7 Correctly Implements Prim’s Algorithm

Prim’s algorithm works by, at a given iteration, adding a light edge with exactly one endpoint in the component containing the source vertex. We proposed an implementation of Prim’s algorithm with Algorithm 7. In this section, we show that Algorithm 7 adds at each iteration a light edge with exactly one endpoint in the component containing the source vertex. That is, we show that Algorithm 7 correctly implements Prim’s algorithm. We are not showing in this section that Prim’s algorithm returns a minimum-weight spanning tree; those details will be covered in the next section.

We first show that Algorithm 7 only adds edges to the priority queue where at least one endpoint is contained in same component as the source vertex.

Lemma 74. Prior to the start of iteration $i \geq 0$ of the while loop on line 9 of Algorithm 7 , the priority queue $Q$ only contains edges where at least one endpoint is in the same connected component as the source vertex.
Proof. The proof is by induction on the number of iterations of the while loop on line 9 .

Base Case: Prior to the start of the while loop, the edges incident to the source vertex are placed in the priority queue (see lines 6-7). So the priority queue contains edges where at exactly one endpoint is in the same connected component as the source vertex.

Inductive Hypothesis: Fix $k \geq 0$. Suppose that prior to the start of iteration $k$ of the while loop on line 9 , that the priority queue $Q$ contains only edges where at least one endpoint of each edge belongs to the same connected component as the source vertex.

Inductive Step: Let $e={u, v}$ be the edge polled at iteration $k$ of the while loop. By the inductive hypothesis, at least one endpoint of $e$ belongs to the same connected component as the source vertex. We have two cases.

Case 1: Suppose both $u$ and $v$ belong to the same connected component as the source vertex. In this case, the condition of the if statement on line 13 is not satisfied. So $e$ is not added to $\mathcal{F}$ and no new edges are added to the priority queue $Q$. By the inductive hypothesis, $Q$ contains only edges where at least one endpoint of each edge belongs to the same connected component as the source vertex, which remains true prior to the start of iteration $k+1$ of the while loop.

Case 2: Suppose exactly one endpoint of $e$ belongs to the same connected component as the source vertex. Let $T_u$ and $T_v$ be the components of $\mathcal{F}$ containing $u$ and $v$ respectively. As exactly one endpoint of $e$ belongs to the same connected component as the source vertex, we have that $T_u \neq T_v$. So the condition of the if statement on line 13 is satisfied. Thus, Algorithm 7 adds $e$ to $\mathcal{F}$. Now if source is on the same component as $u$ (that is, source $\in T_u$ ), then the algorithm adds the unprocessed edges incident to $v$ to the priority queue (provided said edges are not already in the priority queue). By similar argument, if instead source $\in T_v$, then the algorithm adds the unprocessed edges incident to $u$ to the priority queue (provided said edges are not already in the priority queue). In either case, $Q$ contains only edges where at least one endpoint of each edge belongs to the same connected component as the source vertex, which remains true prior to the start of iteration $k+1$ of the while loop.

计算机代写|算法代写Algorithm代考|Prim’s Algorithm: Proof of Correctness

In this section, we establish the correctness of Prim’s algorithm. That is, we show that Prim’s algorithm returns a minimum-weight spanning tree. Just as with Kruskal’s algorithm, we need to show the following.
(a) Prim’s algorithm terminates.
(b) Prim’s algorithm returns a spanning tree.
(c) The tree that Prim’s algorithm returns is of minimum-weight.
We begin by showing that Prim’s algorithm terminates.
Proposition 77. Let $G(V, E, w)$ be a connected, weighted graph. Prim’s algorithm terminates, when applied to $G$.

Proof. Prim’s algorithm examines each edge of $G$ at most once. As $G$ has finitely many edges, the algorithm terminates.

We next show that Prim’s algorithm returns a spanning tree. We do this in two parts. First, we show that Prim’s algorithm returns a spanning forest. Second, we show that the spanning forest is connected.

Proposition 78. Let $G(V, E, w)$ be a connected, weighted graph. Prim’s algorithm returns a spanning forest of $G$.

Proof. Prim’s algorithm initializes a spanning forest $\mathcal{F}$ of $G$ that has no edges (see line 2 of Algorithm 7 ). At each iteration of Prim’s algorithm, at most one edge is added to $\mathcal{F}$. As a necessary condition for Prim’s algorithm to add a given edge $e$, it must be the case that the endpoints of $e$ belong to different components of $\mathcal{F}$. Thus, if an edge $e$ is added to $\mathcal{F}$, then $\mathcal{F} \cup e$ does not contain a cycle. So the graph that Prim’s algorithm returns indeed spans $G$ and is acyclic. Thus, Prim’s algorithm returns a spanning forest of $G$, as desired.
We now show that the spanning forest $\mathcal{F}$ that Prim’s algorithm returns is indeed a tree.

计算机代写|算法代写Algorithm代考|CS341 Algorithm 7 Correctly Implements Prim’s Algorithm

算法代写

计算机代写|算法代写Algorithm代 考|Algorithm 7 Correctly Implements Prim’s Algorithm


Prim 算法的工作原理是, 在给定的迭代中, 在包含源顶点的组件中添加一条恰好有一个端点的光边。我们 提出了一种使用算法 7 的 Prim 算法的实现。在本节中, 我们将展示算法 7 在每次迭代中添加一条轻边, 该 边在包含源顶点的组件中恰好有一个端点。也就是说, 我们证明算法 7 正确地实现了 Prim 的算法。我们不 会在本节中展示 Prim 算法返回最小权重生成㳔;这些细节将在下一节中介绍。
我们首先证明算法 7 仅将边添加到优先级队列中, 其中至少一个端点包含在与源顶点相同的组件中。
引理 74. 在迭代开始之前 $i \geq 0$ 算法 7 第 9 行的 while 循环, 优先级队列 $Q$ 仅包含至少一个端点与源顶点位 于同一连通分量中的边。
证明。证明是通过归纳第 9 行的 while 循环的迭代次数。
基本情况: 在 while 循环开始之前, 入射到源顶点的边被放置在优先队列中 (参见第 6-7行)。因此, 优先 级队列包含的边恰好有一个端点与源顶点位于同一连通分量中。
归纳假设: 修复 $k \geq 0$. 假设在迭代开始之前 $k$ 在第9行的 while循环中, 优先级队列 $Q$ 仅包含边, 其中每条边 的至少一个端点属于与源顶点相同的连通分量。
归纳步骤: 让 $e=u, v$ 是迭代轮询的边缘 $k$ 的 while 循环。根据归纳假设, 至少有一个端点 $e$ 与源顶点属于 同一个连通分量。我们有两个案例。
情况 1: 假设两者 $u$ 和 $v$ 与源顶点属于同一个连通分量。在这种情况下,不满足第 13 行 if 语句的条件。所以 $e$ 没有添加到 $\mathcal{F}$ 并且没有新的边被添加到优先级队列中 $Q$. 根据归纳假设, $Q$ 仅包含边, 其中每条边的至少 $-$ 个端点属于与源顶点相同的连通分荲, 这在迭代开始之前保持为真 $k+1$ 的 while 循环。
情况 2: 假设恰好有一个端点 $e$ 与源顶点属于同一个连通分量。让 $T_u$ 和 $T_v$ 成为的组成部分 $\mathcal{F}$ 含有 $u$ 和 $v$ 分 别。作为恰好一个端点 $e$ 与源顶点属于同一个连通分量, 我们有 $T_u \neq T_v$. 所以第 13 行的 if 语句的条件是 满足的。因此, 算法 7 添加 $e$ 到 $\mathcal{F}$. 现在, 如果源与 $u$ (也就是说, 来源 $\in T_u$ ), 然后算法将末处理的边缘事 件添加到 $v$ 到优先级队列 (前提是所述边尚末在优先级队人列中)。通过类似的论点, 如果不是 source $\in T_v$ , 然后该算法将末处理的边缘事件添加到 $u$ 到优先级队列 (前提是所述边尚末在优先级队列中)。在任一情 况下, $Q$ 仅包含边, 其中每条边的至少一个端点属于与源顶点相同的连通分量, 这在連代开始之前保持为真 $k+1$ 的 while 循环。


计算机代写|算法代写Algorithm代 考|Prim’s Algorithm: Proof of Correctness


在本节中, 我们建立了 Prim 算法的正确性。也就是说, 我们展示了Prim 算法返回最小权重生成树。正如 Kruskal 算法一样, 我们需要证明以下内容。
(a) Prim 的算法终止。
(b) Prim 的算法返回生成树。
(c) Prim 算法返回的树是最小权重的。
我们首先证明 Prim 的算法终止。
77 号提案。让 $G(V, E, w)$ 是一个连通的加权图。Prim 的算法终止, 当应用于 $G$.
证明。Prim 的算法检查每条边 $G$ 最多一次。作为 $G$ 有有限多条边, 算法终止。
接下来我们展示 Prim 的算法返回生成树。我们分两部分进行。首先, 我们展示 Prim 的算法返回生成森 林。其次, 我们证明生成森林是连通的。
78 号提案。让 $G(V, E, w)$ 是一个连通的加权图。Prim 的算法返回一个生成森林 $G$.
证明。Prim 算法初始化生成森林 $\mathcal{F}$ 的 $G$ 没有边 (参见算法 7 的第 2 行) 。在 Prim 算法的每次迭代中, 最 多将一条边添加到 $\mathcal{F}$. 作为 Prim算法添加给定边的必要条件 $e$, 它的端点必须是这样的 $e$ 属于不同的组件 $\mathcal{F}$. 因 此, 如果一条边 $e$ 被添加到 $\mathcal{F}$, 然后 $\mathcal{F} \cup e$ 不包含循环。所以 Prim 算法返回的图确实跨越了 $G$ 并且是非循 环的。因此, Prim 的算法返回一个生成森林 $G$, 如预期的。 我们现在证明生成森林 FPrim 的算法返回的确实是一棵树。

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微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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