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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Morphisms of Modules
Definition (3.2.1). – Let $\mathrm{A}$ be a ring, and let $\mathrm{M}$ and $\mathrm{N}$ be two A-modules. A morphism from $\mathrm{M}$ to $\mathrm{N}$ is a map $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ such that
$$
f(m a+n b)=f(m) a+f(n) b
$$
for every $a, b \in \mathrm{A}$ and every $m, n \in \mathrm{M}$. One writes $\operatorname{Hom}_{\mathrm{A}}(\mathrm{M}, \mathrm{N})$ for the set of morphisms from $M$ to $N$.
A morphism from $\mathrm{M}$ to itself is called an endomorphism of $\mathrm{M}$. The set of all endomorphisms of an A-module $\mathrm{M}$ is denoted $\operatorname{End}_A(\mathrm{M})$.
The expressions “A-linear mapping” and “linear mapping” are synonyms for “morphism of A-modules”.
The identity map $\mathrm{id}_{\mathrm{M}}$ from an A-module $\mathrm{M}$ to itself is an endomorphism. Let $\mathrm{A}$ be a ring, and let $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ be three A-modules. If $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ and $g: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{P}$ are morphisms, then their composition $g \circ f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{P}$ is a morphism of A-modules.
We thus can say that A-modules and morphisms of A-modules form a category $\operatorname{Mod}{\mathrm{A}}$. Moreover, if $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ is a morphism of rings, viewing a B-module as an A-module furnishes a functor $f^*: \boldsymbol{M o d}{\mathrm{B}} \rightarrow \boldsymbol{M o d}_{\mathrm{A}}$.
One says that a morphism of A-modules $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ is an isomorphism if there exists a morphism $g: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{M}$ such that $f \circ g=\mathrm{id}{\mathrm{N}}$ and $g \circ f=\mathrm{id}{\mathrm{M}}$. Then, there is exactly one such morphism $g$, called the reciprocal (or inverse) of $f$. Indeed, if $f \circ g=f \circ h=\mathrm{id}{\mathrm{N}}$ and $g \circ f=h \circ f=\mathrm{id}{\mathrm{M}}$, then $h=h \circ \mathrm{id}{\mathrm{N}}=$ $h \circ(f \circ g)=(h \circ f) \circ g=\mathrm{id}{\mathrm{M}} \circ g=g$.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Operations on Modules
Proposition (3.3.1). – Let $\mathrm{A}$ be a ring, let $\mathrm{M}$ be a right $\mathrm{A}$-module and let $\left(\mathrm{N}s\right){s \in \mathrm{S}}$ be a family of submodules of $\mathrm{M}$. Then, its intersection $\mathrm{N}=\bigcap_{s \in \mathrm{S}} \mathrm{N}_s$ is a submodule of M.
Proof. – Since $0 \in \mathrm{N}_s$ for every $s$, one has $0 \in \mathrm{N}$. Let $m$ and $n$ be two elements of N. For any $s, m$ and $n$ belong to $\mathrm{N}_s$, hence so does $m+n$, so that $m+n$ belongs to $\mathrm{N}$. Finally, let $m \in \mathrm{N}$ and $a \in \mathrm{A}$. For every $s, m \in \mathrm{N}_s$, hence $m a \in \mathrm{N}_S$ and finally $m a \in \mathrm{N}$. Therefore, $\mathrm{N}$ is a submodule of $\mathrm{M}$.
Proposition (3.3.2). — Let $\mathrm{A}$ be a ring, let $\mathrm{M}$ be a right $\mathrm{A}$-module and let $\mathrm{X}$ be a subset of $\mathrm{M}$. There exists a smallest submodule $\langle X\rangle$ of $\mathrm{M}$ that contains $\mathrm{X}:$ it is the intersection of the family of all submodules of $\mathrm{M}$ which contain $\mathrm{X}$. It is also the set of sums $\sum_{x \in \mathrm{X}} x a_x$, where $\left(a_x\right){x \in X}$ runs among the set of all almost null families of elements of $\mathrm{A}$. One says that $\langle X\rangle$ is the submodule of $\mathrm{M}$ generated by $X$. Proof. – The intersection $\langle X\rangle$ of all of the submodules of $M$ that contain $X$ is a submodule of $M$; it contains $X$. By construction, $\langle X\rangle$ is contained in every submodule of $\mathrm{M}$ which contains $X$; it is therefore the smallest of them all. Let $\left(a_x\right)_x$ be an almost-null family of elements of $\mathrm{A}$; then, $\sum{x \in \mathrm{X}} x a_x$ is a linear combination of elements in $\langle X\rangle$, hence belongs to $\langle X\rangle$. This shows that the set $\langle X\rangle^{\prime}$ of all such linear combinations is contained in $\langle X\rangle$.
To obtain the other inclusion, let us first show that $\langle X\rangle^{\prime}$ is a submodule of M. First of all, $0=\sum_{x \in X} x 0$ belongs to $\langle X\rangle^{\prime}$. On the other hand, let $m$ and $n$ be two elements of $\langle X\rangle^{\prime}$, and let $\left(a_x\right)x$ and $\left(b_x\right)_x$ be two almost-null families such that $m=\sum{x \in \mathrm{X}} x a_x$ and $n=\sum_{x \in \mathrm{X}} x b_x$. Then, the family $\left(a_x+b_x\right)x$ is almost-null and one has $$ m+n=\left(\sum{x \in \mathrm{X}} x a_x\right)+\left(\sum_{x \in \mathrm{X}} x b_x\right)=\sum_{x \in \mathrm{X}} x\left(a_x+b_x\right)
$$
so that $m+n$ belongs to $\langle X\rangle^{\prime}$. Finally, let $m \in\langle X\rangle^{\prime}$ and $a \in \mathbf{A}$, let $\left(a_x\right){x \in \mathbf{X}}$ be an almost-null family such that $m=\sum{x \in X} x a_x$. Then, $m a=\sum_{x \in X} x\left(a_x a\right)$, so that $m a \in\langle X\rangle^{\prime}$. This concludes the proof that $\langle X\rangle^{\prime}$ is a submodule of $M$. Since it contains $X$, we have $\langle X\rangle \subset\langle X\rangle^{\prime}$, the other desired inclusion.
交换代数代写
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Morphisms of Modules
定义 (3.2.1)。-让 $\mathrm{A}$ 是一个环, 让 $\mathrm{M}$ 和N是两个A模块。一个态射来自 $\mathrm{M}$ 至 $\mathrm{N}$ 是一张地图 $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ 这 样
$$
f(m a+n b)=f(m) a+f(n) b
$$
每一个 $a, b \in \mathrm{A}$ 每一个 $m, n \in \mathrm{M}$. 一个写 $\operatorname{Hom}{\mathrm{A}}(\mathrm{M}, \mathrm{N})$ 对于来自的一组态射 $M$ 至 $N$. 一个态射来自 $\mathrm{M}$ 对自身称为自同态 $\mathrm{M}$. A-模的所有自同态的集合 $\mathrm{M}$ 表示为 $\operatorname{End}_A(\mathrm{M})$. 表达“A-线性映射”和“线性映射”是“A-模态射”的同义词。 身份映射id $\operatorname{li}{\mathrm{M}}$ 来自 $A$ 模块 $\mathrm{M}$ 对它自己是一个自同态。让 $\mathrm{A}$ 是一个环, 让 $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{P}$ 是三个 $\mathrm{A}$ 模块。如果 $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ 和 $g: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{P}$ 是态射, 那么它们的筫合 $g \circ f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{P}$ 是 $\mathrm{A}$ 模的态射。
因此我们可以说 $A$-模和 A-模的态射形成一个范畴Mod A. 此外, 如果 $f: A \rightarrow B$ 是环的态射, 将 B 模视 为 $\mathrm{A}$ 模提供函子 $f^*: \boldsymbol{M o d B} \rightarrow \operatorname{Mod}{\mathrm{A}}$. 有人说 $\mathrm{A}$ 模的态射 $f: \mathrm{M} \rightarrow \mathrm{N}$ 是同构如果存在态射 $g: \mathrm{N} \rightarrow \mathrm{M}$ 这样 $f \circ g=\mathrm{idN}$ 和 $g \circ f=\mathrm{idM}$. 那 么, 恰好有一个这样的太射 $g$, 称为倒数 (或倒数) $f$. 的确, 如果 $f \circ g=f \circ h=\operatorname{idN}$ 和 $g \circ f=h \circ f=\mathrm{idM}$, 然后 $h=h \circ \mathrm{idN}=h \circ(f \circ g)=(h \circ f) \circ g=\mathrm{idM} \circ g=g$.
数学代㝍|交换代数代㝍 Commutative Algebra代 耂|operations on Modules $\backslash$ mathrm
${\mathbf{S}}}$ bea familyof submodulesof $\backslash$ mathrm ${\mathrm{M}}$. Then, itsintersection $\backslash$ mathrm ${\mathrm{N}}=\backslash$ bigcap{s $\backslash$ in $\backslash m a t h r m{S}} \backslash m a t h r m{N}_{-} s \$$ 是 $M$ 的子模。
证明。 – 自从 $0 \in \mathrm{N}s$ 每一个 $s$, 一个有 $0 \in \mathrm{N}$. 让 $m$ 和 $n$ 是 $\mathrm{N}$ 的两个元素。对于任何 $s, m$ 和 $n$ 属于 $\mathrm{N}_s$, 因此 也是 $m+n$, 以便 $m+n$ 属于 $\mathrm{N}$. 最后, 让 $m \in \mathrm{N}$ 和 $a \in \mathrm{A}$. 对于每一个 $s, m \in \mathrm{N}_s$, 因此 $m a \in \mathrm{N}_S$ 最 后 $m a \in \mathrm{N}$. 所以, $\mathrm{N}$ 是一个子模块 $\mathrm{M}$. 命题（3.3.2）。-让 $\mathrm{A}$ 是一个环, 让 $\mathrm{M}$ 成为一个权利 $\mathrm{A}$-模块并让 $\mathrm{X}$ 是一个子集 $\mathrm{M}$. 存在一个最小的子模块 $\langle X\rangle$ 的 $\mathrm{M}$ 包含 $\mathrm{X}$ : 它是所有子模块家族的交集 $\mathrm{M}$ 其中包含 $\mathrm{X}$. 它也是和的集合 $\sum{x \in \mathrm{X}} x a_x$, 在哪里
$\left(a_x\right) x \in X$ 在所有几乎为空的元素族的集合中运行 $\mathrm{A}$. 有人说 $\langle X\rangle$ 是子模块 $\mathrm{M}$ 产生于 $X$. 证明。 – 十字路口 $\langle X\rangle$ 的所有子模块 $M$ 包含 $X$ 是一个子模块 $M$; 它包含 $X$. 通过建设, $\langle X\rangle$ 包含在的每个子模块中M其中包含 $X$; 因此它是其中最小的。让 $\left(a_x\right)x$ 是一个几平为空的元素族 $\mathrm{A}$; 然后, $\sum x \in \mathrm{X} x a_x$ 是元素的线性组合 $\langle X\rangle$, 因此属于 $\langle X\rangle$. 这表明集合 $\langle X\rangle^{\prime}$ 所有这些线性组合的包含在 $\langle X\rangle$. 为了获得其他包含, 让我们首先证明 $\langle X\rangle^{\prime}$ 是 M的子模块。首先, $0=\sum{x \in X} x 0$ 属于 $\langle X\rangle^{\prime}$. 另一方面, 让 $m$ 和 $n$ 是的两个元素 $\langle X\rangle^{\prime}$, 然后让 $\left(a_x\right) x$ 和 $\left(b_x\right)x$ 是两个几平为䨐的家庭, 这样 $m=\sum x \in X x a_x$ 和 $n=\sum{x \in \mathrm{X}} x b_x$. 然后, 家人 $\left(a_x+b_x\right) x$ 几平为空, 一个有
$$
m+n=\left(\sum x \in \mathrm{X} x a_x\right)+\left(\sum_{x \in \mathrm{X}} x b_x\right)=\sum_{x \in \mathrm{X}} x\left(a_x+b_x\right)
$$
以便 $m+n$ 属于 $\langle X\rangle^{\prime}$. 最后, 让 $m \in\langle X\rangle^{\prime}$ 和 $a \in \mathbf{A}$, 让 $\left(a_x\right) x \in \mathbf{X}$ 是一个几平为䨐的家庭, 这样 $m=\sum x \in X x a_x$. 然后, $m a=\sum_{x \in X} x\left(a_x a\right)$, 以便 $m a \in\langle X\rangle^{\prime}$. 这得出结论证明 $\langle X\rangle^{\prime}$ 是一个子 模块 $M$. 因为它包含 $X$, 我们有 $\langle X\rangle \subset\langle X\rangle^{\prime}$, 其他所需的包含。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。