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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Elementary Matrices
5.1.1. Elementary Matrices – Let A be a ring. The group $\mathrm{GL}n(\mathrm{~A})$ of $n \times n$ invertible matrices with entries in A contains some important elements. We write $\left(e_1, \ldots, e_n\right)$ for the canonical basis of $\mathrm{A}^n$ and $\left(e{i, j}\right)$ for the canonical basis of $\operatorname{Mat}n(\mathrm{~A})$; that is, $e{i, j}$ is the matrix of whose entries are all 0 , except the one in row $i$ and column $j$, which equals 1.
For $i, j \in{1, \ldots, n}, i \neq j$, and $a \in \mathrm{A}$, set $E_{i j}(a)=I_n+a e_{i, j}$, where, we recall, $I_n$ is the identity matrix. We have the relation
$$
E_{i j}(a) E_{i j}(b)=E_{i j}(a+b)
$$
for any $a, b \in \mathrm{A}$. Together with the obvious equality $E_{i j}(0)=\mathrm{I}n$, it implies that the matrices $E{i, j}(a)$ are invertible and that the map $a \mapsto E_{i, j}(a)$ is a morphism of groups from the additive group of $A$ to the group $G_n(A)$. We say that these matrices $E_{i, j}(a)$ (for $i \neq j$ and $a \in \mathrm{A}$ ) are elementary and write $\mathrm{E}_n(\mathrm{~A})$ for the subgroup they generate in $\mathrm{GL}_n(\mathrm{~A})$.
For $\sigma \in \Im_n$, we let $P_\sigma$ be the matrix of the linear map which sends, for every $j$, the vector $e_j$ to the vector $e_{\sigma(j)}$. Explicitly, if $P_\sigma=\left(p_{i, j}\right)$, one has $p_{i, j}=1$ if $i=\sigma(j)$ and $p_{i, j}=0$ otherwise. For all permutations $\sigma, \tau \in \Theta_n$, one has $P_{\sigma \tau}=P_\sigma P_\tau$ and $P_{\mathrm{id}}=I_n$. Consequently, the map $\sigma \mapsto P_\sigma$ is an isomorphism of groups from $\Omega_n$ to a subgroup of $\operatorname{GL}_n(\mathrm{~A})$ which we denote by $\mathrm{W}$. The group $\mathrm{W}$ is called the Weyl group of $\mathrm{GL}_n$; its elements are called permutation matrices.
Finally, for $1 \leq j \leq n$ and $a \in \mathrm{A}$, let $D_j(a)$ be the diagonal matrix $I_n+(a-1) e_{j, j}$. The entries of $D_j(a)$ off the diagonal are zero, those on the diagonal are 1 except for the entry in row $j$ and column $j$, which equals $a$. For any $a, b \in \mathrm{A}$, one has $D_j(a) D_j(b)=D_j(a b)$ and $D_j(1)=I_n ;$ if $a \in \mathrm{A}^*$, then $D_j(a)$ belongs to $\mathrm{GL}_n(\mathrm{~A})$.
Let $\mathrm{GE}n(\mathrm{~A})$ be the subgroup of $\mathrm{GL}_n(\mathrm{~A})$ generated by the elementary matrices $E{i, j}(a)$, for $i \neq j$ and $a \in \mathrm{A}$, the permutation matrices $P_\sigma$, for $\sigma \in \mathbb{\Xi}_n$, and the diagonal matrices $D_j(a)$, for $i \in{1, \ldots, n}$ and $a \in \mathrm{A}^*$. One has $\mathrm{E}_n(\mathrm{~A}) \subset \mathrm{GE}_n(\mathrm{~A})$, and the inclusion is strict in general.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Elementary operations
5.1.2. Elementary operations $-$ Let $M \in \operatorname{Mat}_{n, p}(\mathrm{~A})$ be a matrix with $n$ rows and $p$ columns with entries in A.
Multiplying $M$ on the right by elementary matrices from $\operatorname{Mat}p(\mathrm{~A})$ corresponds to the classical operations on the columns of $M$. Indeed, the matrix $M E{i, j}(a)$ is obtained by adding to the $j$ th column of $M$ its $i$ th column multiplied by $a$, an operation that we represent by writing $C_j \leftarrow C_j+C_i a$. The matrix $M P_\sigma$ is obtained by permuting the columns of $M$ : the $j$ th column of $M P_\sigma$ is the $\sigma(j)$ th column of $M$. Finally, the matrix $M D_j(a)$ is obtained by multiplying the $j$ th column of $M$ by $a$ (we write $C_j \leftarrow C_j a$ ).
Similarly, multiplying $M$ on the left by elementary matrices from $\operatorname{Mat}n(\mathrm{~A})$ amounts to performing classical operations on the rows of $M$. The matrix $E{i, j}(a) M$ is obtained by adding $a$ times the $j$ th row of $M$ to its $i$ th row (we write $R_i \leftarrow R_i+a R_j$ ); the $i$ th row of $M$ is the row of index $\sigma(i)$ of the matrix $P_\sigma M$; the rows of $D_i(a)$ are those of $M$, the row of index $i$ being multiplied by $a$ on the left (in symbols, $R_i \leftarrow a R_i$ ).
交换代数代写
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Elementary Matrices
5.1.1. 初等矩阵一一设 $\mathrm{A}$ 为环。群组 $\mathrm{GL} n(\mathrm{~A})$ 的 $n \times n$ 具有 $\mathrm{A}$ 中条目的可逆矩阵包含一些重要元素。我们 写 $\left(e_1, \ldots, e_n\right)$ 为呗范基础 $\mathrm{A}^n$ 和 $(e i, j)$ 为呗范基础 $M a t n(\mathrm{~A})$; 那是, $e i, j$ 是除行中的一项外其他项均为 0 的矩阵 $i$ 和专栏 $j$, 等于 1。
为了 $i, j \in 1, \ldots, n, i \neq j$, 和 $a \in \mathrm{A}$, 放 $E_{i j}(a)=I_n+a e_{i, j}$, 我们记得, $I_n$ 是单位矩阵。我们有 关系
$$
E_{i j}(a) E_{i j}(b)=E_{i j}(a+b)
$$
对于任何 $a, b \in \mathrm{A}$. 连同明显的平等 $E_{i j}(0)=\mathrm{I} n$, 这意味着矩阵 $E i, j(a)$ 是可逆的, 地图 $a \mapsto E_{i, j}(a)$ 是 来自加法群的群的态射 $A$ 到组 $G_n(A)$. 我们说这些矩阵 $E_{i, j}(a)$ (为了 $i \neq j$ 和 $a \in \mathrm{A}$ ) 是基本的并且写 $\mathrm{E}n(\mathrm{~A})$ 对于他们生成的子组 $\mathrm{GL}_n(\mathrm{~A})$. 为了 $\sigma \in \mathfrak{I}_n$, 涐们让 $P\sigma$ 是发送的线性映射的矩阵, 对于每个 $j$, 向量 $e_j$ 到矢量 $e_{\sigma(j)}$. 明确地, 如果 $P_\sigma=\left(p_{i, j}\right)$, 一个有 $p_{i, j}=1$ 如果 $i=\sigma(j)$ 和 $p_{i, j}=0$ 否则。对于所有排列 $\sigma, \tau \in \Theta_n$, 一个有
$P_{\sigma \tau}=P_\sigma P_\tau$ 和 $P_{\mathrm{id}}=I_n$. 因此, 地图 $\sigma \mapsto P_\sigma$ 是群的同构 $\Omega_n$ 到一个子组 $\mathrm{GL}n(\mathrm{~A})$ 我们用W. 群组W称 为Wey群 $\mathrm{GL}_n$; 它的元素称为置换矩阵。 最后, 对于 $1 \leq j \leq n$ 和 $a \in \mathrm{A}$, 让 $D_j(a)$ 是对角矩阵 $I_n+(a-1) e{j, j}$. 的条目 $D_j(a)$ 对角线外为䨐, 对角线上的为 1 , 除了行中的条目 $j$ 和专栏 $j$, 等于 $a$. 对于任何 $a, b \in \mathrm{A}$, 一个有 $D_j(a) D_j(b)=D_j(a b)$ 和 $D_j(1)=I_n$;如果 $a \in \mathrm{A}^$, 然后 $D_j(a)$ 属于 $\mathrm{GL}n(\mathrm{~A})$. 让 $\mathrm{GE} n(\mathrm{~A})$ 是的子群 $\mathrm{GL}_n(\mathrm{~A})$ 由初等矩阵生成 $E i, j(a)$, 为了 $i \neq j$ 和 $a \in \mathrm{A}$, 置换矩阵 $P\sigma$, 为了 $\sigma \in \Xi_n$, 和对角矩阵 $D_j(a)$, 为了 $i \in 1, \ldots, n$ 和 $a \in \mathrm{A}^$. 一个有 $\mathrm{E}n(\mathrm{~A}) \subset \mathrm{GE}_n(\mathrm{~A})$, 包含一般是严 格的。
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Elementary operations
5.1.2. 基本操作 $-$ 让 $M \in \operatorname{Mat}{n, p}(\mathrm{~A})$ 是一个矩阵 $n$ 行和 $p \mathrm{~A}$ 中有条目的列。
相乘 $M$ 右边的初等矩阵来自 $\operatorname{Mat} p(\mathrm{~A})$ 对应于列上的经典操作 $M$. 事实上, 矩阵 $M E i, j(a)$ 通过添加到 $j$ 第列 $M$ 它的 $i$ 第 列乘以 $a$, 我们通过写作来表示的操作 $C_j \leftarrow C_j+C_i a$. 矩阵 $M P_\sigma$ 通过排列的列获得 $M$ : 这 $j$ 第 列 $M P_\sigma$ 是个 $\sigma(j)$ 第列 $M$. 最后, 矩阵 $M D_j(a)$ 乘以 $j$ 第 列 $M$ 经过 $a$ (我们写 $C_j \leftarrow C_j a$ ).
同样, 乘以 $M$ 左边的初等矩阵来自 $\operatorname{Mat} n(\mathrm{~A})$ 相当于对行执行经典操作 $M$. 矩阵 $E i, j(a) M$ 通过添加获得 $a$ 倍 $j$ 第排 $M$ 对其 $i$ 第行 (我们写 $R_i \leftarrow R_i+a R_j$ ); 这 $i$ 第排 $M$ 是索引行 $\sigma(i)$ 矩阵的 $P_\sigma M$; 的行 $D_i(a)$ 是 那些 $M$, 索引行 $i$ 乘以 $a$ 在左边 (在符号中, $R_i \leftarrow a R_i$ ).
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。