如果你也在 怎样代写代数数论Algebraic Number Theory MA58400这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代数数论Algebraic Number Theory是数论的一个分支，它使用抽象代数的技术来研究整数、有理数及其泛化。数论问题用代数对象的属性来表达，如代数数域及其整数环、有限域和函数域。这些属性，如一个环是否允许唯一的因式分解，理想的行为，以及场的伽罗瓦群，可以解决数论中最重要的问题，如狄方达方程的解的存在。
代数数论Algebraic Number Theory费马最后定理是由皮埃尔-德-费马于1637年首次猜想出来的，著名的是在一本《算术》的空白处，他声称他有一个大到无法放入空白处的证明。尽管在这358年中，无数的数学家作出了努力，但直到1995年才有成功的证明发表。这个未解决的问题在19世纪刺激了代数数论的发展，在20世纪刺激了模块化定理的证明。
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数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Elementary Results
This section serves as preparation and introduction to the remainder of the chapter. We start by a number of standard results.
Recall that the ring $\mathcal{O}_K$ is Euclidean if given $\alpha \in K, \exists \beta \in \mathcal{O}_K$ such that $|N(\alpha-\beta)|<1$. Indeed, given $\theta, \gamma \in \mathcal{O}_K$, the fact that there exist $q, r \in \mathcal{O}_K$ with $r=\theta-q \gamma$ and
$$
|N(r)|<|N(\gamma)|
$$
is equivalent to the fact that there exists $q \in \mathcal{O}_K$ such that
$$
|N(\theta / \gamma-q)|<1 \text {. }
$$
Let $\alpha=\theta / \gamma$, let $\beta=q$, and we have
$$
|N(\alpha-\beta)|<1 .
$$
In general, $\mathcal{O}_K$ is not Euclidean, but the following results always hold:
Lemma 6.1.1 There is a constant $H_K$ such that given $\alpha \in K, \exists \beta \in \mathcal{O}_K$, and a non-zero integer $t$, with $|t| \leq H_K$, such that
$$
|N(t \alpha-\beta)|<1 .
$$
Proof. Let $\left{\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n\right}$ be an integral basis of $\mathcal{O}K$. Given any $\alpha \in K$, there exists $m \in \mathbb{Z}$ such that $m \alpha \in \mathcal{O}_K$, so $\alpha$ can be written as $$ \alpha=\sum{i=1}^n c_i \omega_i
$$
with $c_i \in \mathbb{Q}$ for all $i=1,2, \ldots, n$.
Let $L$ be a natural number. Partition the interval $[0,1]$ into $L$ parts, each of length $1 / L$. This induces a subdivision of $[0,1]^n$ into $L^n$ subcubes. Consider the $\operatorname{map} \varphi: \alpha \mathbb{Z} \longrightarrow[0,1]^n$ defined by
$$
t \alpha \stackrel{\varphi}{\longrightarrow}\left(\left{t c_1\right},\left{t c_2\right}, \ldots,\left{t c_n\right}\right),
$$
where $t \in \mathbb{Z}$, and ${a}$ denotes the fractional part of $a \in \mathbb{R}$. Let $t$ run from 0 to $L^n$ (the number of subcubes in $[0,1]^n$ ). The number of choices for $t$ is then $L^n+1$, which is one more than the number of subcubes. There must be two distinct values of $t$, say $t_1$ and $t_2$, so that $t_1 \alpha$ and $t_2 \alpha$ get mapped to the same subcube of $[0,1]^n$. Let
$$
\beta=\sum_{i=1}^n\left(\left[t_1 c_i\right]-\left[t_2 c_i\right]\right) \omega_i,
$$
where $[a]$ denotes the integer part of $a \in \mathbb{R}$. Then,
$$
\left(t_1-t_2\right) \alpha-\beta=\sum_{i=1}^n\left(\left{t_1 c_i\right}-\left{t_2 c_i\right}\right) \omega_i
$$
数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Finiteness of the Ideal Class Group
The concept of the ideal class group arose from Dedekind’s work in establishing the unique factorization theory for ideals in the ring of algebraic integers of a number field. Our main aim of this section is to prove that the ideal class group is finite. We start by introducing an equivalence relation on ideals.
We proved in Exercise 5.3.7 that any fractional ideal $\mathcal{A}$ can be written uniquely in the form
$$
\mathcal{A}=\frac{\wp_1 \cdots \wp_s}{\wp_1^{\prime} \cdots \wp_r^{\prime}},
$$
where the $\wp_i, \wp_i^{\prime}$ are primes in $\mathcal{O}_K$, and no $\wp_i$ is a $\wp_j^{\prime}$ (recall that we write $\left.1 / \wp=\wp^{-1}\right)$. In particular, we can always write any fractional ideal $\mathcal{A}$ in the form
$$
\mathcal{A}=\frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{c}},
$$
where $\mathfrak{b}, \mathfrak{c}$ are two integral ideals.
Two fractional ideals $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ in $K$ are said to be equivalent if there exist $\alpha, \beta \in \mathcal{O}_K$ such that $(\alpha) \mathcal{A}=(\beta) \mathcal{B}$. In this case, we write $\mathcal{A} \sim \mathcal{B}$.
Notice that if $\mathcal{O}_K$ is a principal ideal domain then any two ideals are equivalent.
Exercise 6.2.1 Show that the relation $\sim$ defined above is an equivalence relation.
Theorem 6.2.2 There exists a constant $C_K$ such that every ideal $\mathfrak{a} \subseteq \mathcal{O}_K$ is equivalent to an ideal $\mathfrak{b} \subseteq \mathcal{O}_K$ with $N(\mathfrak{b}) \leq C_K$.
Proof. Suppose $\mathfrak{a}$ is an ideal of $\mathcal{O}_K$. Let $\beta \in \mathfrak{a}$ be a non-zero element such that $|N(\beta)|$ is minimal.
For each $\alpha \in \mathfrak{a}$, by Exercise $6.1 .2$, we can find $t \in \mathbb{Z},|t| \leq H_K$, and $w \in \mathcal{O}_K$ such that
$$
|N(t \alpha-w \beta)|<|N(\beta)|
$$
代数数论代写
数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Elementary Results
本节作为本章其余部分的准备和介绍。我们从一些标准结果开始。
回想一下戒指 $\mathcal{O}K$ 是㧜几里得如果给定 $\alpha \in K, \exists \beta \in \mathcal{O}_K$ 这样 $|N(\alpha-\beta)|<1$. 的确, 鉴于 $\theta, \gamma \in \mathcal{O}_K$, 存在的事实 $q, r \in \mathcal{O}_K$ 和 $r=\theta-q \gamma$ 和 $$ |N(r)|<|N(\gamma)| $$ 相当于存在的事实 $q \in \mathcal{O}_K$ 这样 $$ |N(\theta / \gamma-q)|<1 . $$ 让 $\alpha=\theta / \gamma$, 让 $\beta=q$, 我们有 $$ |N(\alpha-\beta)|<1 . $$ 一般来说, $\mathcal{O}_K$ 不是欧几里得, 但下面的结果总是成立: 引理 6.1.1 有一个常数 $H_K$ 这样给定 $\alpha \in K, \exists \beta \in \mathcal{O}_K$, 和一个非零整数 $t$, 和 $|t| \leq H_K$, 这样 $$ |N(t \alpha-\beta)|<1 . $$ $\alpha \in K$, 那里存在 $m \in \mathbb{Z}$ 这样 $m \alpha \in \mathcal{O}_K$, 所以 $\alpha$ 可以写成 $$ \alpha=\sum i=1^n c_i \omega_i $$ 和 $c_i \in \mathbb{Q}$ 对所有人 $i=1,2, \ldots, n$. 让 $L$ 是一个自然数。划分区间 $[0,1]$ 进入 $L$ 䨑件, 每个长度 $1 / L$. 这导致了细分 $[0,1]^n$ 进入 $L^n$ 子立方体。考 虑map $\varphi: \alpha \mathbb{Z} \longrightarrow[0,1]^n$ 被定义为 在哪里 $t \in \mathbb{Z}$ ，和 $a$ 表示的小数部分 $a \in \mathbb{R}$. 让 $t$ 从跑到 $L^n$ (子立方体的数埋 $[0,1]^n$ ). 选择的数量 $t$ 然后是 $L^n+1$, 比子立方体的数量多一。必须有两个不同的值 $t$, 说 $t_1$ 和 $t_2$, 以便 $t_1 \alpha$ 和 $t_2 \alpha$ 映射到相同的子立 方体 $[0,1]^n$. 让 $$ \beta=\sum{i=1}^n\left(\left[t_1 c_i\right]-\left[t_2 c_i\right]\right) \omega_i,
$$
在哪里 $[a]$ 表示的整数部分 $a \in \mathbb{R}$. 然后，
数学代写|代数数论代写Algebraic Number Theory代考|Finiteness of the Ideal Class Group
理想类群的概念源于 Dedekind 为数域的代数整数环中的理想建立唯一因式分解理论的工作。本节的主要 目的是证明理想类群是有限的。我们首先介绍理想的等价关系。
涐们在练习 5.3.7 中证明了任何分数理想 $\mathcal{A}$ 可以唯一地写成这样的形式
$$
\mathcal{A}=\frac{\wp_1 \cdots \wp_s}{\wp_1^{\prime} \cdots \wp_r^{\prime}},
$$
在哪里 $\wp_i, \wp_i^{\prime}$ 是素数 $\mathcal{O}_K$, 和不 $\wp_i$ 是一个 $\wp_j^{\prime}$ （回想一下我们写的 $1 / \wp=\wp^{-1}$ ). 特别地, 我们总是可以写 出任何分数理想 $\mathcal{A}$ 在形式
$$
\mathcal{A}=\frac{\mathfrak{b}}{\mathfrak{c}},
$$
在哪里 $\mathfrak{b}, \mathfrak{c}$ 是两个不可或柇的理想。
两个分数理想 $\mathcal{A}$ 和 $\mathcal{B}$ 在 $K$ 被认为是等价的, 如果存在 $\alpha, \beta \in \mathcal{O}_K$ 这样 $(\alpha) \mathcal{A}=(\beta) \mathcal{B}$. 在这种情况下, 我们 写 $\mathcal{A} \sim \mathcal{B}$.
腈注意, 如果 $\mathcal{O}_K$ 是主理想域，则任意两个理想等价。
拣习 6.2.1 证明关系 ～上面定义的是等价关系。
昰理 6.2.2 存在常数 $C_K$ 这样每一个理想 $\mathfrak{a} \subseteq \mathcal{O}_K$ 相当于一个理想 $\mathfrak{b} \subseteq \mathcal{O}_K$ 和 $N(\mathfrak{b}) \leq C_K$.
证明。认为 $\mathfrak{a}$ 是一个理想的 $\mathcal{O}_K$. 让 $\beta \in \mathfrak{a}$ 是一个非零元素使得 $|N(\beta)|$ 是最小的。
对于每个 $\alpha \in \mathfrak{a}$, 通过练习6.1.2, 我们可以找 $t \in \mathbb{Z},|t| \leq H_K$, 和 $w \in \mathcal{O}_K$ 这样
$$
|N(t \alpha-w \beta)|<|N(\beta)|
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。