数学代写|抽象代数作业代写Abstract Algebra代考|Math4120 Historical Discussion of Geometric Constructions

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抽象代数abstract algebra代数这个词不仅用于命名数学的一个领域和一些子领域,它还用于命名一些种类的代数结构,如一个场上的代数,通常称为代数。有时,同一短语也用于一个子领域及其主要代数结构;例如,布尔代数和布尔代数。一个专门研究代数的数学家被称为代数学家。

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数学代写|抽象代数作业代写Abstract Algebra代考|Historical Discussion of Geometric Constructions

The ancient Greeks were fond of geometric constructions. They were especially interested in constructions that could be achieved using only a straightedge without markings and a compass. They knew, for example, that any angle can be bisected, and they knew how to construct an equilateral triangle, a square, a regular pentagon, and a regular hexagon. But they did not know how to trisect every angle or how to construct a regular seven-sided polygon (heptagon). Another problem that they attempted was the duplication of the cube-that is, given any cube, they tried to construct a new cube having twice the volume of the given one using only an unmarked straightedge and a compass. Legend has it that the ancient Athenians were told by the oracle at Delos that a plague would end if they constructed a new altar to Apollo in the shape of a cube with double the volume of the old altar, which was also a cube. Besides “doubling the cube,” the Greeks also attempted to “square the circle”- to construct a square with area equal to that of a given circle. They knew how to solve all these problems using other means, such as a compass and a straightedge with two marks, or an unmarked straightedge and a spiral, but they could not achieve any of the constructions with a compass and an unmarked straightedge alone. These problems vexed mathematicians for over 2000 years. The resolution of these perplexities was made possible when they were transferred from questions of geometry to questions of algebra in the 19th century.
The first of the famous problems of antiquity to be solved was that of the construction of regular polygons. It had been known since Euclid that regular polygons with a number of sides of the form $2^k, 2^k \cdot 3,2^k \cdot 5$, and $2^k \cdot 3 \cdot 5$ could be constructed, and it was believed that no others were possible. In 1796, while still a teenager, Gauss proved that the 17 -sided regular polygon is constructible. In 1801, Gaussbio]Gauss, Carl asserted that a regular polygon of $n$ sides is constructible if and only if $n$ has the form $2^k p_1 p_2 \cdots p_i$, where the $p$ ‘s are distinct primes of the form $2^{2^s}+1$. We provide a proof of this statement in Theorem 31.5.

数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|Constructible Numbers

With the field theory we now have, it is an easy matter to solve the following problem: Given an unmarked straightedge, a compass, and a unit length, what other lengths can be constructed? To begin, we
call a real number $\alpha$ constructible if, by means of an unmarked straightedge, a compass, and a line segment of length 1, we can construct a line segment of length $|\alpha|$ in a finite number of steps. It follows from plane geometry that if $\alpha$ and $\beta(\beta \neq 0)$ are constructible numbers, then so are $\alpha+\beta, \alpha-\beta, \alpha \cdot \beta$, and $\alpha / \beta$. (See the exercises for hints.) Thus, the set of constructible numbers contains $Q$ and is a subfield of the real numbers. What we desire is an algebraic characterization of this field. To derive such a characterization, let $F$ be any subfield of the reals. Call the subset $\left{(x, y) \in R^2 \mid x, y \in F\right}$ of the real plane the plane of $F$, call any line joining two points in the plane of $F$ a line in $F$, and call any circle whose center is in the plane of $F$ and whose radius is in $F$ a circle in $F$. Then a line in $F$ has an equation of the form
$$
a x+b y+c=0, \quad \text { where } a, b, c \in F,
$$
and a circle in $F$ has an equation of the form
$$
x^2+y^2+a x+b y+c=0, \quad \text { where } a, b, c \in F \text {. }
$$

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抽象代数代写

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古希腊入喜欢几何结构。他们对只用没有标记的直尺和圆呗就能完成的结构特别感兴诹。例如, 他们知道任 何角都可以平分, 他们知道如何构造等边三角形、正方形、正五边形和正六边形。但他们不知道如何三等分 每个角或如何构造规则的七边形 (七边形) 。他们尝试的另一个问题是立方体的复制-也就是说, 给定任 何立方体, 他们试图仅使用末标记的直尺和圆规来构建一个体积是给定立方体两倍的新立方体。传说古代雅 典人被提洛岛的神谕告知, 如果他们为阿波罗建造一个新的立方体祭坛, 其体积是旧祭坛的两倍, 而旧祭坛 也是立方体, 那么瘨疫就会结束。除了“加倍立方体”之外, 希腊入还尝试“化圆为方”一构造一个面积等于 给定圆的面积的正方形。他们知道如何使用其他方法解决所有这些问题, 例如圆规和带两个标记的直尺, 或 无标记直尺和螺旋线, 但他们无法单独使用圆规和无标记直尺完成任何构造。这些问题困扰了数学家 2000 多年。当这些难题在 19 世纪从几何问题转移到代数问题时, 解决这些难题成为可能。
古代要解决的第一个著名问题是构造正多边形。自从欧几里德以来人们就知道具有许多边的正多边形 $2^k, 2^k \cdot 3,2^k \cdot 5$, 和 $2^k \cdot 3 \cdot 5$ 可以建造, 而且据信没有其他的可能。1796年, 十几岁的高斯证明了 17 边正多边形是可构造的。1801年, Gaussbio]高斯, 卡尔继言正多边形为 $n$ sides 是可构造的当且仅当 $n$ 有 形式 $2^k p_1 p_2 \cdots p_i$ , 其中 $p$ 是形式的不同素数 $2^{2^s}+1$. 我们在定理 $31.5$ 中提供了这个陈述的证明。


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有了现在的场论, 解决下面的问题就很容易了:给定一根没有标记的直尺、一个圆规和一个单位长度, 还可 以构造出哪些其他长度? 自先, 我们
调用一个实数 $\alpha$ 可构造如果通过末标记的直尺、圆规和长度为 1 的线段, 我们可以构造长度为 $|\alpha|$ 在有限的 步骤中。从平面几何可以得出, 如果 $\alpha$ 和 $\beta(\beta \neq 0)$ 是可构造的数字, 那么也是 $\alpha+\beta, \alpha-\beta, \alpha \cdot \beta$, 和 $\alpha / \beta$. (有关提示, 请参见练习。) 因此, 可构造数字集包含 $Q$ 并且是实数的子域。我们想要的是这个领域 的代数特征。为了得出这样的特征, 让 $F$ 是实数的任何子域。调用子集
$\backslash \operatorname{left}\left{(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \backslash\right.$ in $\mathrm{R}^{\wedge} 2 \backslash \mathrm{mid} \mathrm{x}, \mathrm{y} \backslash \mathrm{in} \mathrm{F} \backslash$ right $}$ 直实平面的平面 $F$, 称连接平面中两点的任何线 $F$ 一条线 $F$, 并称 任何圆心在平面上 $F$ 其半径在 $F$ 一个圆圈 $F$. 然后一行 $F$ 有一个形式的方程
$a x+b y+c=0, \quad$ where $a, b, c \in F$,
和一个圆圈 $F$ 有一个形式的方程
$$
x^2+y^2+a x+b y+c=0, \quad \text { where } a, b, c \in F .
$$

数学代写|抽象代数作业代写Algebra代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微观经济学代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种微观经济学代写Microeconomics相关的作业也就用不着 说。

机器学习代写

机器学习(ML)是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域,也就是说,利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据(称为训练数据)建立模型,以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中,如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉,在这些应用中,开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关,统计学专注于使用计算机进行预测,但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。



统计推断代写

统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多,包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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