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抽象代数abstract algebra代数这个词不仅用于命名数学的一个领域和一些子领域，它还用于命名一些种类的代数结构，如一个场上的代数，通常称为代数。有时，同一短语也用于一个子领域及其主要代数结构；例如，布尔代数和布尔代数。一个专门研究代数的数学家被称为代数学家。
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数学代写|抽象代数作业代写Abstract Algebra代考|Classification of Finite Fields
In this, our final chapter on field theory, we take up one of the most beautiful and important areas of abstract algebra-finite fields. Finite fields were first introduced by Galois in 1830 in his proof of the unsolvability of the general quintic equation. When Cayley invented matrices a few decades later, it was natural to investigate groups of matrices over finite fields. To this day, matrix groups over finite fields are among the most important classes of groups. In the past 70 years, there have been important applications of finite fields in computer science, coding theory, information theory, and cryptography. Recently finite fields of orders 4 and 16 have been used in analyzing strings of DNA. But, besides the many uses of finite fields in pure and applied mathematics, there is yet another good reason for studying them. They are just plain fun!
The most striking fact about finite fields is the restricted nature of their order and structure. The proofs of our results will utilize properties of finite Abelian groups, integral domains, vector spaces, and finite extensions of fields.
Our first theorem characterizes the orders of finite fields.
Theorem 21.8 Classification of Finite Fields
For each prime $p$ and each positive integer $n$, there is, up to isomorphism, a unique finite field of order $p^n$.
PROOF Consider the splitting field $E$ of $f(x)=x^{p^n}-x$ over $Z_p$. We will show that $|E|=p^n$. Since $f(x)$ splits in $E$, we know that $f(x)$ has exactly $p^n$ zeros in $E$, counting multiplicity. Moreover, by Theorem 19.5, every zero of $f(x)$ has multiplicity 1 . Thus, $f(x)$ has $p^n$ distinct zeros in $E$. On the other hand, the set of zeros of $f(x)$ in $E$ is closed under addition, subtraction, multiplication, and division by nonzero elements (see Exercise 39), so that the set of zeros of $f(x)$ is itself an extension field of $Z_p$ in which $f(x)$ splits. Thus, the set of zeros of $f(x)$ is $E$ and, therefore, $|E|=p^n$.
数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|Structure of Finite Fields
The next theorem tells us the additive and multiplicative group structure of a field of order $p^n$.
Theorem 21.9 Structure of Finite Fields
As a group under addition, $G F\left(p^n\right)$ is isomorphic to
$$
\underset{n \text { factors }}{Zp \oplus Z_p \oplus \ldots \oplus Z_p} . $$ As a group under multiplication, the set of nonzero elements of $G F\left(p^n\right)$ is isomorphic to $Z{p^n-1}$ ( and is, therefore, cyclic).
PROOF Since GF $\left(p^m\right)$ has characteristic $p$ (Theorem 13.3), every nonzero element of GF $\left(p^n\right)$ has additive order $p$. Then by the Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups, $\operatorname{GF}\left(p^m\right)$ under addition is isomorphic to a direct product of $n$ copies of $Z_p$.
To see that the multiplicative group $\operatorname{GF}\left(p^n\right)^$ of nonzero elements of $\operatorname{GF}\left(p^n\right)$ is cyclic, we first note that by the Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups (Theorem 11.1), $\operatorname{GF}\left(p^n\right)^$ is isomorphic to a direct product of the form $Z_{n_1} \oplus Z_{n_2} \oplus \cdots \oplus Z_{n_m}$. If the orders of these components are pairwise relatively prime, then it follows from Corollary 1 of Theorem $8.2$ that $\mathrm{GF}\left(p^n\right)^$ is cyclic. Hence we may assume that there is an integer $d>1$ that divides the orders of two of the components. From the Fundamental Theorem of Cyclic Groups (Theorem 4.3) we know that each of these components has a subgroup of order $d$. This means that $\operatorname{GF}\left(p^n\right)^$ has two distinct subgroups of order $d$, call them $H$ and $K$. But then every element of $H$ and $K$ is a zero of $x^d-1$, which contradicts the fact that a polynomial of degree $d$ over a field can have at most $d$ zeros (Theorem 16.3).
抽象代数代写
数学代写|抽象代数作业代写Abstract Algebra代考|Classification of Finite Fields
在此, 我们关于场论的最后一章, 我们将讨论抽象代数中最美丽和最重要的领域之一ー一有限域。 1830 年, 伽罗瓦在证明一般五次方程的不可解性时首先引入了有限域。几十年后凯莱发明矩阵时, 研究有限域上 的矩阵群是很自然的事。时至今日, 有限域上的矩阵群是最重要的群类之一。在过去的 70 年里, 有限域在 计算机科学、编码论、信息论和密码学等领域都有重要的应用。最近, 4 阶和 16 阶有限域已被用于分析 DNA 串。但是, 除了有限域在纯数学和应用数学中的许多用途之外, 还有另一个研究它们的充分理由。 关于有限域最显着的事实是它们的顺序和结构的限制性。我们结果的证明将利用有限阿贝尔群、积分域、向 量空间和域的有限扩展的性质。 我们的第一个定理刻画了有限域的阶。 定理 $21.8$ 有限域的分类 对于每个素数 $p$ 和每个正整数 $n$, 直到同构, 存在唯一的有限有序域 $p^n$.
证明考虑分割域 $E$ 的 $f(x)=x^{p^n}-x$ 超过 $Z_p$. 我们将表明 $|E|=p^n$. 自从 $f(x)$ 分裂 $E$, 我们知道 $f(x)$ 恰好有 $p^n$ 归零 $E$, 计数多重性。此外, 根据定理 19.5, 每个䨐 $f(x)$ 具有多重性 1 。因此, $f(x)$ 有 $p^n$ 不同的 䨐 $E$. 另一方面, 零的集合 $f(x)$ 在 $E$ 在非零元素的加法、减法、乘法和除法下是封闭的（见习题 39), 因此 的零集 $f(x)$ 本身就是一个扩展域 $Z_p$ 其中 $f(x)$ 分裂。因此, 零的集合 $f(x)$ 是 $E$ 因此, $|E|=p^n$.
数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|Structure of Finite Fields
下一个定理告诉我们序域的加法和乘法群结构 $p^n$.
定理 $21.9$ 有限域的结构
作为一个加法群, $G F\left(p^n\right)$ 同构于 $\$ \$$ 群，非零元素的集合 $G F\left(p^n\right)$ 同构于 $Z p^n-1$ (因此是循环的)。
GF 以来的证明 $\left(p^m\right)$ 有特点 $p$ (定理 13.3), GF 的每个非䨐元素 $\left(p^n\right)$ 有加法顺序 $p$. 则由有限阿贝尔群 基本定理, $\mathrm{GF}\left(p^m\right)$ 在加法下同构于的直积 $n$ 副本 $Z_p$.
看到乘法群 $\backslash$ 运营商名称 ${\mathrm{GF}} \backslash l \operatorname{lt}\left(\mathrm{p}^{\wedge} \mathrm{n} \backslash \mathrm{right}\right)^{\wedge}$ 的非雲元素 $\mathrm{GF}\left(p^n\right)$ 是循环的, 我们首先注意到有限阿贝尔群 的基本定理 (定理 11.1), \运营商名称 ${\mathrm{GF}} \backslash \mathrm{left}\left(\mathrm{p}^{\wedge} \mathrm{n} \backslash \text { right }\right)^{\wedge}$ 同构于形式的直积
$Z_{n_1} \oplus Z_{n_2} \oplus \cdots \oplus Z_{n_m}$. 如果这些分量的阶数是成对互质的, 则可以从定理的推论 1 中得出8.2那
$\backslash \operatorname{mathrm}{\mathrm{GF}} \backslash \backslash \mathrm{eft}\left(\mathrm{p}^{\wedge} \mathrm{n} \backslash \mathrm{right}\right)^{\wedge}$ 是循环的。因此我们可以假设有一个整数 $d>1$ 将两个组件的顺序分开。从 循环群的基本定理 (定理 4.3) 我们知道这些分䵡中的每一个都有阶的子群 $d$. 这意味着
\运营商名称 ${\mathrm{GF}} \backslash \mathrm{eft}\left(\mathrm{p}^{\wedge} \mathrm{V} \backslash \mathrm{right}\right)^{\wedge}$ 有两个不同的顺序子群 $d$, 给他们打电话 $H$ 和 $K$. 但随后的每一个元素 $H$ 和 $K$ 是雾 $x^d-1$, 这与阶多项式的事实相矛盾 $d$ 在一个字段上最多可以有 $d$ 雲点（定理 16.3）。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微观经济学代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种微观经济学代写Microeconomics相关的作业也就用不着 说。
机器学习代写
机器学习（ML）是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域，也就是说，利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据（称为训练数据）建立模型，以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中，如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉，在这些应用中，开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关，统计学专注于使用计算机进行预测，但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。
统计推断代写
统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多，包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。