如果你也在 怎样代写测度与积分Measure And Integration MATH30360这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。测度与积分Measure And Integration在数学中，一个非负的单变量函数的积分，在最简单的情况下，可以被视为该函数的图形与X轴之间的面积。以法国数学家亨利-勒贝斯格（Henri Lebesgue）命名的勒贝斯格积分（Lebesgue integral）将积分扩展到更多的函数类别。它还扩展了这些函数可以被定义的领域。
测度与积分Measure And Integration早在20世纪之前，数学家们就已经明白，对于具有足够平滑图形的非负函数–如封闭有界区间上的连续函数–曲线下的面积可以被定义为积分，并通过多边形的区域近似技术进行计算。然而，当需要考虑更多的不规则函数时–例如，由于数学分析和概率的数学理论的限制过程–显然需要更仔细的近似技术来定义一个合适的积分。此外，人们可能希望在比实线更普遍的空间上进行积分。Lebesgue积分为此提供了必要的抽象。
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数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Measurability on Complete Measure Spaces
Measurability on Complete Measure Spaces. In this subsection we will discuss a couple of measurability results concerning completions of measure spaces. We will first need to introduce the notion of simple functions.
Definition 7.31. A function $f:(X, \mathcal{M}) \rightarrow \mathbb{C}$ is a simple function if $f$ is measurable and the range of $f$ is finite, i.e. $#(f(X))<\infty$.
A function $f:(X, \mathcal{M}) \rightarrow \mathbb{C}$ is a characteristic function if $f$ is measurable and $f(X)={0,1}$. If we let $A:=f^{-1}({1})$, we will write
$$
f(x)=1_A(x)=\left{\begin{array}{lc}
1 & \text { if } \
0 & \text { otherwise. }
\end{array} \quad x \in A\right.
$$
If $f$ is simple function then $f$ may be written as a finite linear combination of characteristic functions:
$$
f=\sum_{z \in \mathbb{C}} z 1_{f^{-1}({z})}
$$
where the above sum is really a finite since the range of $f$ is a finite set.
数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Appendix: Special cases of the Product Theorems
Theorem 7.35. Suppose that $X_1$ and $X_2$ are sets, $\tau_1 \subset \mathcal{P}\left(X_1\right)$ and $\tau_2 \subset \mathcal{P}\left(X_2\right)$ are topologies, $\mathcal{M}_1 \subset \mathcal{P}\left(X_1\right)$ and $\mathcal{M}_2 \subset \mathcal{P}\left(X_2\right)$ are $\sigma$ – algebras and $\mathcal{E}_1 \subset \mathcal{P}\left(X_1\right)$ and $\mathcal{E}_2 \subset \mathcal{P}\left(X_2\right)$ are such that $X_1 \in \mathcal{E}_1, X_2 \in \mathcal{E}_2, \tau_1=\tau\left(\mathcal{E}_1\right), \tau_2=\tau\left(\mathcal{E}_2\right), \mathcal{M}_1=\sigma\left(\mathcal{E}_1\right)$, and $\mathcal{M}_2=\sigma\left(\mathcal{E}_2\right)$. Then
(1) $\mathcal{M}_1 \otimes \mathcal{M}_2=\sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$, i.e. $\sigma\left(\sigma\left(\mathcal{E}_1\right) \times \sigma\left(\mathcal{E}_2\right)\right)=\sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$.
(2) $\tau_1 \otimes \tau_2=\tau\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$, i.e. $\tau\left(\left(\tau\left(\mathcal{E}_1\right) \times \tau\left(\mathcal{E}_2\right)\right)=\tau\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)\right.$.
(3) If we further assume that $\mathcal{E}_1$ and $\mathcal{E}_2$ are countable and let $\mathcal{B}_1=\sigma\left(\tau_1\right)$ and $\mathcal{B}_2=\sigma\left(\tau_2\right)$ then
(a) $\mathcal{B}_1=\sigma\left(\mathcal{E}_1\right)=\mathcal{M}_1$ and $\mathcal{B}_2=\sigma\left(\mathcal{E}_2\right)=\mathcal{M}_2$.
(b) $\sigma\left(\tau_1 \otimes \tau_2\right)=\sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)=\mathcal{M}_1 \otimes \mathcal{M}_2=\mathcal{B}_1 \otimes \mathcal{B}_2$. That is the Borel $\sigma$ – algebra on $X_1 \times X_2$ with the product topology is the product of the Borel $\sigma$-algebras on $X_1$ and $X_2$.
Proof. Since $\mathcal{M}_1 \otimes \mathcal{M}_2=\sigma\left(\mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2\right) \supset \mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2 \supset \mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2$ it follows that $\mathcal{M}_1 \otimes \mathcal{M}_2 \supset \sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$. For the reverse inclusion, let
$$
\mathcal{M}:=\left{A \in \mathcal{M}_1: A \times X_2 \in \sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)\right}
$$
It is routine to check that $\mathcal{M} \subset \mathcal{P}\left(X_1\right)$ is $\sigma$ – algebra on $X_1$ and that $\mathcal{E}_1 \subset \mathcal{M}$. Therefore $\mathcal{M}_1=\sigma\left(\mathcal{E}_1\right) \subset \mathcal{M}$, i.e. we have shown that $A \times X_2 \in \sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$ for all $A \in \mathcal{M}_1$. By symmetry, we may show that $X_1 \times B \in \sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$ for all $B \in \mathcal{M}_2$ and therefore
$$
A \times B=\left(A \times X_2\right) \cap\left(X_1 \times B\right) \in \sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right) \forall A \in \mathcal{M}_1 \text { and } B \in \mathcal{M}_2
$$
Therefore $\mathcal{M}_1 \otimes \mathcal{M}_2 \subset \sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$ and we have proved item 1. Item 2. is proved in exactly the same way.
Item 3a. was already proved in Proposition 3.14. Similarly, by Item 2. $\tau_1 \otimes \tau_2=$ $\tau\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$ by item 1 . and because $\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2$ is still countable, we may apply Proposition $3.14$ to shows that $\sigma\left(\tau_1 \otimes \tau_2\right)=\sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$. The other assertions in Item 3b. now follow from the previous assertions in the Theorem.
测度与积分代写
数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Measurability on Complete Measure Spaces
完整测度空间的可测性。在本小节中, 我们将讨论关于测量空间完成的几个可测荲性结果。我们首先需要介 绍简单函数的概念。
定义 7.31。一个函数 $f:(X, \mathcal{M}) \rightarrow \mathbb{C}$ 是一个简单的函数, 如果 $f$ 是可测量的, 范围 $f$ 是有限的, 即 $#(f(x))<\backslash$ infty.
一个函数 $f:(X, \mathcal{M}) \rightarrow \mathbb{C}$ 是特征函数, 如果 $f$ 是可测量的并且 $f(X)=0,1$. 如果我们让 $A:=f^{-1}(1)$, 涐们将写成
$\$ \$$
$$
f(x)=1_{-} A(x)=\backslash l \text { left }{
$$
1 if 0 otherwise.
\quad $\mathrm{x} \backslash$ in $\mathrm{A} \backslash$ right。
If $\$ f$ \$issimplefunctionthen $\$ f \$$ maybewrittenasafinitelinearcombinationofcharacteristic fun
$\mathrm{f}=\backslash$ sum ${z \backslash$ in $\backslash$ mathbb ${C}} z_{-} 1_{-}\left{f^{\wedge}{-1}({z})\right}$
$\$ \$$
其中上面的总和实际上是有限的, 因为范围是 $f$ 是有限集。
数学代写|测度与积分代写Measure And Integration代考|Appendix: Special cases of the Product Theorems
定理 7.35。假设 $X_1$ 和 $X_2$ 是集合, $\tau_1 \subset \mathcal{P}\left(X_1\right)$ 和 $\tau_2 \subset \mathcal{P}\left(X_2\right)$ 是拓扑, $\mathcal{M}_1 \subset \mathcal{P}\left(X_1\right)$ 和 $\mathcal{M}_2 \subset \mathcal{P}\left(X_2\right)$ 是 $\sigma$-代数和 $\mathcal{E}_1 \subset \mathcal{P}\left(X_1\right)$ 和 $\mathcal{E}_2 \subset \mathcal{P}\left(X_2\right)$ 是这样的
$X_1 \in \mathcal{E}_1, X_2 \in \mathcal{E}_2, \tau_1=\tau\left(\mathcal{E}_1\right), \tau_2=\tau\left(\mathcal{E}_2\right), \mathcal{M}_1=\sigma\left(\mathcal{E}_1\right)$, 和 $\mathcal{M}_2=\sigma\left(\mathcal{E}_2\right)$. 然后
$(1) \mathcal{M}_1 \otimes \mathcal{M}_2=\sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right), \quad$ IE $\sigma\left(\sigma\left(\mathcal{E}_1\right) \times \sigma\left(\mathcal{E}_2\right)\right)=\sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$
(2) $\tau_1 \otimes \tau_2=\tau\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right), \quad \operatorname{IE} \tau\left(\left(\tau\left(\mathcal{E}_1\right) \times \tau\left(\mathcal{E}_2\right)\right)=\tau\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)\right.$.
(3) 如果我们进一步假设 $\mathcal{E}_1$ 和 $\mathcal{E}_2$ 是可数的并且让 $\mathcal{B}_1=\sigma\left(\tau_1\right)$ 和 $\mathcal{B}_2=\sigma\left(\tau_2\right)$ 然后
（乙 $\sigma\left(\tau_1 \otimes \tau_2\right)=\sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)=\mathcal{M}_1 \otimes \mathcal{M}_2=\mathcal{B}_1 \otimes \mathcal{B}_2$. 那就是宝来 $\sigma$ – 代数是 $X_1 \times X_2$ 与产 品拓扑结构是 Borel 的产品 $\sigma$-代数是 $X_1$ 和 $X_2$.
证明。自从 $\mathcal{M}_1 \otimes \mathcal{M}_2=\sigma\left(\mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2\right) \supset \mathcal{M}_1 \times \mathcal{M}_2 \supset \mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2$ 它遵循 $\mathcal{M}_1 \otimes \mathcal{M}_2 \supset \sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$. 对于反向包含, 让
检查是例行的 $\mathcal{M} \subset \mathcal{P}\left(X_1\right)$ 是 $\sigma$ – 代数是 $X_1$ 然后 $\mathcal{E}_1 \subset \mathcal{M}$. 所以 $\mathcal{M}_1=\sigma\left(\mathcal{E}_1\right) \subset \mathcal{M}$, 即我们已经证明 $A \times X_2 \in \sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$ 对所有人 $A \in \mathcal{M}_1$. 通过对称性, 我们可以证明 $X_1 \times B \in \sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$ 对所有 人 $B \in \mathcal{M}_2$ 因此
$$
A \times B=\left(A \times X_2\right) \cap\left(X_1 \times B\right) \in \sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right) \forall A \in \mathcal{M}_1 \text { and } B \in \mathcal{M}_2
$$
所以 $\mathcal{M}_1 \otimes \mathcal{M}_2 \subset \sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$ 并且我们已经证明了项目 1。项目 2.以完全相同的方式被证明。 $\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2$ 仍然是可数的, 我们可以应用命题 $3.14$ 表明 $\sigma\left(\tau_1 \otimes \tau_2\right)=\sigma\left(\mathcal{E}_1 \times \mathcal{E}_2\right)$. 项目 $3 \mathrm{~b}$ 中的其他断 言。现在遵循定理中的先前断言。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。