数学代写|椭圆曲线代考Elliptic Curves代考|MATH7304 Arithmetic Invariants in Iwasawa Theory

如果你也在 怎样代写椭圆曲线Elliptic Curves MATH7304这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。椭圆曲线Elliptic Curves是一个非线性品种–也就是说,它有一个代数定义的群法,就其而言,它是一个非线性群–而$O$作为身份元素。
如果$y^2=P(x)$,其中$P$是$x$的任何三度多项式,没有重复的根,解集是属一的非星形平面曲线,即椭圆曲线。如果$P$有四度且无平方,这个方程又描述了一条属一的平面曲线;然而,它没有自然选择的特征元素。更一般地说,任何属的代数曲线椭圆曲线,例如嵌入三维投影空间的两个四维曲面的交点,被称为椭圆曲线,条件是它有一个标记点作为标识。

蒙特卡罗模拟Monte Carlo Method在数学中,椭圆曲线是一条属一的平滑、投影、代数曲线,其上有一个指定的点$O$。椭圆曲线定义在一个场$K$上,描述$K^2$中的点,即$K$与自身的笛卡尔积。如果字段的特征不同于2和3,那么该曲线可以被描述为一条平面代数曲线,它由以下的解$(x, y)$组成。
$$
y^2=x^3+a x+b
$$
对于$K$中的一些系数$a$和$b$。该曲线被要求是非星形的,这意味着该曲线没有尖峰或自交点。(这相当于条件4 a^3+27 b^2\neq 0$,即在$x$中无平方。) 人们总是理解,曲线实际上是坐在投影平面内,点$O$是无限大的唯一点。许多资料都把椭圆曲线定义为由这种形式的方程给出的曲线。(当系数场的特征为2或3时,上述方程还不够普遍,不能包括所有非星形的立方曲线;见下文$S$一般场上的椭圆曲线。)

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数学代写|椭圆曲线代考Elliptic Curves代考|MATH7304 Arithmetic Invariants in Iwasawa Theory

数学代写|椭圆曲线代考Elliptic Curves代考|Arithmetic Invariants in Iwasawa Theory

Here we give prototypical examples of our object of study: arithmetic invariants. We consider the group scheme $\mathbb{G}m$ (see Chap. 4 for a survey of the theory of schemes and group schemes). For each commutative ring $A$, we put $\mathbb{G}_m(A)=\operatorname{Hom}{\text {alg }}\left(\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right], A\right.$ ) (the set of all ring homomorphisms from $\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right]$ into $\left.A\right)$, which is canonically isomorphic to $A^{\times}$by sending an algebra homomorphism $\phi: \mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right] \rightarrow A$ to its value $\phi(t) \in A^{\times}$. Here $\mathbb{Z}[t]$ is the polynomial ring of one variable $t$ with integer coefficients, and $\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right]=\bigcup_n t^{-n} \mathbb{Z}[t]$ (the ring of fractions $t$ inverted). Thus, we may regard $\mathbb{G}_m$ as a functor from the category of commutative algebras to the category of groups sending each algebra $A$ to its multiplicative group $A^{\times}$. See Sect. 4.1.2 for categories and Sect. 4.1.3 for a precise definition of functors.

If the reader is not familiar with group schemes, for the moment, just take $\mathbb{G}_m$ to be an association $A \mapsto \mathbb{G}_m(A)=A^{\times}$for any commutative ring $A$. Each algebra homomorphism $\phi: A \rightarrow A^{\prime}$ automatically induces the homomorphism of groups $A^{\times}=\mathbb{G}_m(A) \ni a \mapsto \phi(a) \in \mathbb{G}_m\left(A^{\prime}\right)=A^{\prime \times}$ without changing the direction of the arrow. We call a covariant functor such an association keeping the direction of the arrows. This type of functor is called a “group” functor (as it has values in the category of groups), and if such a group functor is defined in purely an algebraic fashion, such as $\mathbb{G}_m$, it has a lot of structure useful for answering number-theoretic questions.

Since the ring $\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right]$ defines $\mathbb{G}m$, we write $\mathbb{G}_m=\operatorname{Spec}\left(\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right]\right)$ and $\operatorname{Spec}\left(\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right)(A):=\operatorname{Hom}{\text {alg }}\left(\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right], A\right)=\mathbb{G}m(A)\right.$ (see Sect. $4.1 .4$ for the spectrum of rings). We also denote $\mathcal{O}{\mathbb{G}m}=\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right]$, which is called the affine ring of $\mathbb{G}_m$. Similarly, we could consider $\mathbb{G}_a(A)=\operatorname{Hom}{\mathrm{alg}}(\mathbb{Z}[T], A) \cong A$ by $(\phi: \mathbb{Z}[T] \rightarrow A) \mapsto \phi(T) \in A$, which is again a covariant group functor (sending a ring $A$ to its additive group). Each element $\phi(t) \in \mathcal{O}{\mathbb{G}_m}$ induces a function $\mathbb{G}_m(A) \ni a \mapsto \phi(a)=\left.\phi(t)\right|{t=a} \in A=\mathbb{G}_a(A)$; hence, we may regard $\phi: \mathbb{G}_m \rightarrow \mathbb{G}_a$ as a morphism of functors (and hence a morphism of schemes; see Lemma 4.17).

Here is another example of group functors: Fix a base ring $B$ (for $\mathbb{G}m$, we have taken $B$ to be the ring of integers $\mathbb{Z}$ ). For a positive integer $N>1$, let $\mu_N$ be the group of $N$ th power roots of unity; so, for any $B$-algebra $A$, we can think of $\mu_N(A)=\left{\zeta \in A \mid \zeta^N=1\right}$, which is again canonically a group (a multiplicative group). This association of a group $\mu_N(A)$ to a $p$-adic $B$-algebra $A$ is a functor; thus, $\mu_N$ is a group functor from the category of $B$-algebras to groups. For a prime $p$, we write $\mu{p^{\infty}}(A)=\bigcup_n \mu_{p^n}(A)$, which is again a group functor from the category of $B$-algebras to groups. Note that $\mu_N$ is the kernel of $x \mapsto x^N$ in $\mathbb{G}{m / B}$ (in aggregate indexed by $B$-algebras $A$ ). Clearly, $\mu_N(A) \cong \operatorname{Hom}{\text {alg }}\left(\mathbb{Z}[t] /\left(t^N-1\right), A\right)$ by sending $t$ to the image of $t$ by an algebra homomorphism $\mathbb{Z}[t] /\left(t^N-1\right) \rightarrow A$. Here $\mathbb{Z}[t] /\left(t^N-1\right)$ is the residue ring $\mathbb{Z}[t]$ modulo the principal ideal $\left(t^N-1\right)$. In this sense, $\mu_N=\operatorname{Spec}\left(\mathbb{Z}[t] /\left(t^N-1\right)\right)$, and $\mathcal{O}_{\mu_N}=\mathbb{Z}[t] /\left(t^N-1\right)$. Abusing the language, we often write $\mathbb{Q}\left(\mu_N\right)$ for the subfield of $\mathbb{C}$ generated by all $N$ th roots of unity.

数学代写|椭圆曲线代考Elliptic Curves代考|Iwasawa Invariant

Let $p$ and $l$ be primes. Studying the $p$-primary part $p^{e_n}$ of the “minus” part $h_n^{-}$of the class number $h_n$ of the cyclotomic field $\mathbb{Q}\left(\mu_{l^n}\right)$ is a classic problem. When $p=l$, there is a formula by Iwasawa (cf. [ICF] Theorem 7.14):
$e_n=\lambda n+\mu p^n+\nu$ for three integers $\lambda, \mu$, and $\nu$.
In 1979 , Ferrero and Washington proved a conjecture of Iwasawa, asserting $\mu=0([\mathrm{FW}]$ and $[\mathrm{ICF}]$ Chap. 7$)$.

The Kubota-Leopoldt $p$-adic $L$-function $L_p(s, \chi)$ for each nontrivial character $\chi:(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})^{\times} /{\pm 1} \rightarrow \overline{\mathbb{Q}}p^{\times}$was originally defined as a continuous function of $s \in \mathbb{Z}_p$ interpolating Dirichlet $L$-values in the following sense: $$ L_p\left(1-k, \chi \omega^k\right)=\left(1-\chi \omega^k(p) p^{k-1}\right) L\left(1-k, \chi \omega^k\right) $$ for all positive integers $k$. Iwasawa showed this function to be analytic of the form $L_p(s, \chi)=\Phi\chi\left(\gamma^s-1\right)$ for a power series $\Phi_\chi(T) \in \mathbb{Z}p[[T]]$, where $\gamma=1+p$ $(p>2)$ and $(1+p)^s$ is given by the $p$-adic limit $\sum{n=0}^{\infty}\left(\begin{array}{c}s \ n\end{array}\right) p^n$. The product $\Phi(T)=\prod_{\chi \neq 1 ; \chi(-1)=1} \Phi_\chi(T)$ can be decomposed into $p^m \phi(T)$ in $\mathbb{Z}_p[[T]]$ with $p \nmid \phi(T)$. By Weierstrass’s preparation theorem, $\phi(T)$ has finitely many zeros $\alpha_j$ in $\overline{\mathbb{Q}}_p$ with multiplicity $m_j$. By the class number formula, we conclude $\lambda=\sum_j m_j$ and $\mu=m$. See [EDM] Sect. 5 and [ICF] for more details.

Once a $p$-adic $L$-function $s \mapsto L_p\left(\gamma^s-1\right)$ for a power series $L_p(T)$ interpolating good $L$-values is given, we may ask what the $\mu$-invariant and $\lambda$-invariant of the power series $L_p(T) \in W[[T]]$ are. Here we allow a more general coefficient ring $W$, which is a complete discrete valuation ring over $\mathbb{Z}_p$. In this book, we study the vanishing of the $\mu$-invariant for some $p$-adic $L$-functions [other than $L_p(s, \chi)$ ]. The vanishing of Iwasawa’s $\mu$-invariant is nonvanishing modulo $p \mathbb{Z}_p[[T]]$ of $\Phi(T)$; thus, this is a nontriviality problem for $\Phi(T)$ modulo $p$.

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椭圆曲线代考

数学代写|椭圆曲线代考Elliptic Curves 代考|Arithmetic Invariants in Iwasawa Theory


在这里, 我们给出了我们研究对象的原型示例 : 算术不变荲。我们考虑组方案 $\mathbb{G} m$ 〈参见第 4 章对方案和群 体方案理论的䶿览) 。对于每个交换环 $A$, 我们把 $\mathbb{G}m(A)=\operatorname{Homalg}\left(\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right], A\right.$ ) (来自的所有环 同态的集合 $\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right]$ 进入 $\left.A\right)$, 呗范同构于 $A^{\times}$通过发送一个代数同态 $\phi: \mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right] \rightarrow A$ 到它的价值 $\phi(t) \in A^{\times}$. 这里 $\mathbb{Z}[t]$ 是一个变量的多项式环 $t$ 具有整数系数, 并且 $\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right]=\bigcup_n t^{-n} \mathbb{Z}[t]$ (分数环 $t$ 倒)。因此, 我们可以认为 $\mathbb{G}_m$ 作为从交换代数范畴到发送每个代数的群范畴的函子 $A$ 对其乘法群 $A^{\times}$. 见教 派。4.1.2 对于类别和 Sect。4.1.3 对函子的精确定义。 如果读者不孰悉组方安, 目前, 只需要 $\mathbb{G}_m$ 成为协会 $A \mapsto \mathbb{G}_m(A)=A^{\times}$对于任何交换环 $A$. 每个代数同 态 $\phi: A \rightarrow A^{\prime}$ 自动导出群的同态 $A^{\times}=\mathbb{G}_m(A) \ni a \mapsto \phi(a) \in \mathbb{G}_m\left(A^{\prime}\right)=A^{\prime \times}$ 不改变箭头的方 向。我们将这种保持箭头方向的关联称为协变函子。这种类型的函子被称为“群”函子 (因为它在群的范畴中 有值), 如果这样的群函子纯粹以代数方式定义, 例如 $\mathrm{G}_m$, 它有很多结构可用于回答数论问题。 自环 $\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right]$ 定义 $\mathbb{G} m$, 我们写 $\mathbb{G}_m=\operatorname{Spec}\left(\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right]\right)$ 和 $\operatorname{Spec}\left(\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right)(A):=\operatorname{Hom} \operatorname{alg}\left(\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right], A\right)=\mathbb{G} m(A)\right.$ (见节。4.1.4环的光谱)。我们地表 示 $\mathcal{O} \mathbb{G} m=\mathbb{Z}\left[t, t^{-1}\right]$, 称为仿射环 $\mathbb{G}_m$. 同样, 我们可以考虑 $\mathbb{G}_a(A)=\operatorname{Hom} \operatorname{alg}(\mathbb{Z}[T], A) \cong A$ 经过 $(\phi: \mathbb{Z}[T] \rightarrow A) \mapsto \phi(T) \in A$, 这又是一个协变群函子 (发送环 $A$ 到它的附加组)。每个元素 $\phi(t) \in \mathcal{O} \mathbb{G}_m$ 诱导一个函数 $\mathbb{G}_m(A) \ni a \mapsto \phi(a)=\phi(t) \mid t=a \in A=\mathbb{G}_a(A)$; 因此, 我们可以考 虑 $\phi: \mathbb{G}_m \rightarrow \mathbb{G}_a$ 作为函子的态射 (因此是方案的态射; 见引理 4.17)。 这是群函子的另一个例子: 固定一个基环 $B$ (为了 $\mathbb{G} m$, 我们采取了 $B$ 成为整数环 $\mathbb{Z}$ ). 对于正整数 $N>1$, 让 $\mu_N$ 成为一群 $N$ 统一的帛根; 所以, 对于任何 $B$-代数 $A$, 我们可以想到 协会 $\mu_N(A)$ 到一个 $p$-那是 $B$-代数 $A$ 是一个函子; 因此, $\mu_N$ 是来自类别的群函子 $B$-代数到组。对于质数 $p$ , 我们写 $\mu p^{\infty}(A)=\bigcup_n \mu{p^n}(A)$, 这又是来自类别的哊函子 $B$-代数到组。注意 $\mu_N$ 是内核 $x \mapsto x^N$ 在 $\mathbb{G} m / B$ (总计索引 $B$-代数 $A$ ). 清楚地, $\mu_N(A) \cong \operatorname{Homalg}\left(\mathbb{Z}[t] /\left(t^N-1\right), A\right)$ 通过发送 $t$ 的形象 $t$ 通过代数同态 $\mathbb{Z}[t] /\left(t^N-1\right) \rightarrow A$. 这里 $\mathbb{Z}[t] /\left(t^N-1\right)$ 是残环 $\mathbb{Z}[t]$ 模主要理想 $\left(t^N-1\right)$. 在这个意义 上, $\mu_N=\operatorname{Spec}\left(\mathbb{Z}[t] /\left(t^N-1\right)\right)$, 和 $\mathcal{O}{\mu_N}=\mathbb{Z}[t] /\left(t^N-1\right)$. 滥用语言, 我们经常写 $\mathbb{Q}\left(\mu_N\right)$ 对于 子字段 $\mathbb{C}$ 由所有人产生 $N$ 团结的根源。

数学代写|椭圆曲线代考E|iptic Curves 代考|Iwasawa Invariant

让 $p$ 和l是质数。学习 $p$-主要部分 $p^{e_n}$ “负”部分的 $h_n^{-}$班级编号 $h_n$ 分圆场 $\mathbb{Q}\left(\mu{l^n}\right)$ 是一个经典问题。什么时候 $p=l$, Iwasawa 有一个公式 (参见 [ICF] 定理 7.14):
$e_n=\lambda n+\mu p^n+\nu$ 对于三个整数 $\lambda, \mu$, 和 $\nu$.
1979年, 费雷罗和华盛顿证明了岩泽的一个猜想, 斩言 $\mu=0([\mathrm{FW}]$ 和 $[\mathrm{ICF}]$ 第一章 7).
久保田利奥波德 $p$ – 那是 $L-$ 功能 $L_p(s, \chi)$ 对于每个重要字符 $\chi:(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})^{\times} / \pm 1 \rightarrow \overline{\mathbb{Q}} p^{\times}$最初被定义为连续 函数 $s \in \mathbb{Z}p$ 揷值狄利克雷 $L$ – 以下意义上的价值: $$ L_p\left(1-k, \chi \omega^k\right)=\left(1-\chi \omega^k(p) p^{k-1}\right) L\left(1-k, \chi \omega^k\right) $$ 对于所有正整数 $k$. Iwasawa 证明了这个函数是对形式的解析 $L_p(s, \chi)=\Phi \chi\left(\gamma^s-1\right)$ 对于帛级数 $\Phi\chi(T) \in \mathbb{Z} p[[T]]$, 在哪里 $\gamma=1+p(p>2)$ 和 $(1+p)^s$ 由 $p$-一也就是极限 $\sum n=0^{\infty}(s n) p^n$. 产品 $\Phi(T)=\prod_{\chi \neq 1 ; \chi(-1)=1} \Phi_\chi(T)$ 可以分解成 $p^m \phi(T)$ 在 $\mathbb{Z}_p[[T]]$ 和 $p \nmid \phi(T)$. 根据 Weierstrass 的准 备定理, $\phi(T)$ 有有限多个零 $\alpha_j$ 在 $\bar{Q}_p$ 具有多重性 $m_j$. 通过类数公式, 我们得出结论 $\lambda=\sum_j m_j$ 和 $\mu=m$ .参见 [EDM] 节。 5 和 [ICF] 了解更多详情。
一旦 $p$ – 那是 $L$-功能 $s \mapsto L_p\left(\gamma^s-1\right)$ 对于帛级数 $L_p(T)$ 内揷好 $L$-values 是给定的, 我们可能会问什么 $\mu$ -不变的和 $\lambda$ – 帛级数的不变量 $L_p(T) \in W[[T]]$ 是。这里我们允许一个更一般的系数环 $W$, 这是一个完整 的离散估值环 $\mathbb{Z}_p$. 在这本书中, 我们研究了消失的 $\mu$-对某些人不变 $p$ – 那是 $L$-功能[除了 $\left.L_p(s, \chi)\right]$. 岩泽的 消失 $\mu$-不变罿是非消失模 $p \mathbb{Z}_p[[T]]$ 的 $\Phi(T)$; 因此, 这是一个非平凡的问题 $\Phi(T)$ 模块 $p$.

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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