计算机代写|机器学习代写MACHINE LEARNING代考|CITS5508 Binomial logistic regression

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计算机代写|机器学习代写MACHINE LEARNING代考|CITS5508 Binomial logistic regression

计算机代写|机器学习代考MACHINE LEARNING代考|Binomial logistic regression

An obvious way to attempt to answer the question of interest is to fit a binomial logistic regression model, in which the outcome is the admissions rate for each row, and the input is the gender id of the corresponding group. One way to write this model is as follows:
$$
\begin{aligned}
A_i & \sim \operatorname{Bin}\left(N_i, \mu_i\right) \
\operatorname{logit}\left(\mu_i\right) & =\alpha+\beta_{\text {MALE }}[i] \
\alpha & \sim \mathcal{N}(0,10) \
\beta & \sim \mathcal{N}(0,1.5)
\end{aligned}
$$

Here male $[i]=1$ iff case $i$ refers to male admissions data. So the log odds is $\alpha$ for female cases, and $\alpha+\beta$ for male candidates. (The choice of prior for these parameters is discussed in ??.)

The above formulation is asymmetric in the genders. In particular, the log odds for males has two random variables associated with it, and hence is a priori is more uncertain. It is often better to rewrite the model in the following symmetric way:
$$
\begin{aligned}
A_i & \sim \operatorname{Bin}\left(N_i, \mu_i\right) \
\operatorname{logit}\left(\mu_i\right) & =\alpha_{\mathrm{GENDER}[i]} \
\alpha_j & \sim \mathcal{N}(0,1.5), j \in{1,2}
\end{aligned}
$$
Here Gender $[i]$ is the gender ( 1 for male, 2 for female), so the log odds is $\alpha_1$ for males and $\alpha_2$ for females.

计算机代写|机器学习代考MACHINE LEARNING代考|Beta-binomial logistic regression

In some cases, there is more variability in the observed counts than we might expect from just a binomial model, even after taking into account the observed predictors. This is called over-dispersion, and is usually due to unobserved factors that are omitted from the model. In such cases, we can use a beta-binomial model instead of a binomial model:
$$
\begin{aligned}
y_i & \sim \operatorname{BetaBinom}\left(m_i, \alpha_i, \beta_i\right) \
\alpha_i & =\pi_i \kappa \
\beta_i & =\left(1-\pi_i\right) \kappa \
\pi_i & =\boldsymbol{\sigma}\left(\boldsymbol{w}^{\top} \boldsymbol{x}_i\right)
\end{aligned}
$$

Note that we have parameterized the model in terms of its mean rate,
$$
\pi_i=\frac{\alpha_i}{\alpha_i+\beta_i}
$$
and shape,
$$
\kappa_i=\alpha_i+\beta_i
$$
We choose to make the mean depend on the inputs (covariates), but to treat the shape (which is like a precision term) as a shared constant.

As we discussed in ??, the beta-binomial distribution as a continuous mixture distribution of the following form:
$$
\operatorname{BetaBinom}(y \mid m, \alpha, \beta)=\int \operatorname{Bin}(y \mid m, \mu) \operatorname{Beta}(\mu \mid \alpha, \beta) d \mu
$$
In the regression context, we can interpret this as follows: rather than just predicting the mean directly, we predict the mean and variance. This allows for each individual example to have more variability than we might otherwise expect.

计算机代写|机器学习代写MACHINE LEARNING代考|CITS5508 Binomial logistic regression

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计算机代写|机器学习代写Machine Learning代考|Binary logistic regression


在本节中,我们付讨论用于二元逻辑回归的 $\mathrm{VI}$ 。我们的介绍道循 [Bis06, Sec10.6].
让我们首先将单个观察的可能性重写如下:
$$
p\left(y_n \mid \boldsymbol{x}n, \boldsymbol{w}\right)=\boldsymbol{\sigma}\left(\eta_n\right)^{y_n}\left(1-\boldsymbol{\sigma}\left(\eta_n\right)\right)^{1-\eta_n}=\left(\frac{1}{1+e^{-\eta_n}}\right)^{y_n}\left(1-\frac{1}{1+e^{-\eta_n}}\right)^{1-y_n}=e^{-\eta_n y_n} \frac{e^{-\eta_n}}{1+e^{-\eta_n}}=e^{-\eta_n y_n} \boldsymbol{\sigma}\left(-\eta_n\right) $$ 在哪里 $\eta_n=\boldsymbol{w}^{\top} \boldsymbol{x}_n$ 是对数。这与高斯先验不共浬。因此,我们将在 [JJ96; 中提出的 sigmoid 函数中使用以下”类高斯”变分下 界。JJ00]: $$ \boldsymbol{\sigma}\left(\eta_n\right) \geq \boldsymbol{\sigma}\left(\psi_n\right) \exp \left[\left(\eta_n-\psi_n\right) / 2-\lambda\left(\psi_n\right)\left(\eta_n^2-\psi_n^2\right)\right] $$ 在哪里 $\psi_n$ 是数据点的变分参数 $n$ ,和 $$ \lambda(\boldsymbol{\psi}) \triangleq \frac{1}{4 \boldsymbol{\psi}} \tanh (\psi / 2)=\frac{1}{2 \psi}\left[\boldsymbol{\sigma}(\boldsymbol{\psi})-\frac{1}{2}\right] $$ 我们将此称为 $J J$ 绑定,以其发明者 Jaakkola 和 Jordan 的名字伶名。见图 15.1(a) 的情节,见第6.5.4.2为推导。

计算机代写|机器学习代写Machine Learning代考|Multinomial logistic regression

在本节中,我们将讨论如何近似后验 $p(\boldsymbol{w} \mid \mathcal{D})$ 对于使用变分推理的多项式逻辑回归,扩展部分的方法15.1到多类情况。由于 [Boh92],关键思想是在多类逻辑回归似然上创建一个”类高斯”下界。然后我们可以计算封闭形式的变分后验。这将使我们能哆确 定性地优化 ELBO。 让 $\boldsymbol{y} i \in 0,1^{C{\text {是 }}}$ 个单热标签向量,并定义 logits 例如 $i$ 成为
$$
\boldsymbol{\eta} \boldsymbol{i}=\left[\boldsymbol{x}i^{\top} \boldsymbol{w}_1, \ldots, \boldsymbol{x}_i^{\top} \boldsymbol{w}_C\right] $$ 如果我们定义 $\mathbf{X} i=\mathbf{I} \otimes \boldsymbol{x}_i$ ,在哪里 $\otimes$ 是克罗内克积,并且 $\mathbf{I}$ 是 $C \times C$ 单位矩阵,那么我们可以将 logits 写为 $\boldsymbol{\eta}_i=\mathbf{X}_i \boldsymbol{w}$. 如,如畢 $C=2$ 和 $x_i=[1,2,3]$ , 我们有 $\mathbf{X}_i=[1,2,3,0,0,0 ; 0,0,0,1,2,3]$.) 那么可能性由下式後出 $$ p(\boldsymbol{y} \mid \mathbf{X}, \boldsymbol{w})=\prod i=1^N \exp \left[\boldsymbol{y}^{\top} \boldsymbol{\eta}_i-\operatorname{lse}\left(\boldsymbol{\eta}_i\right)\right] $$ 其中 Ise() 是 $\log -$ sum-exp 函数 $$ \operatorname{lse}\left(\boldsymbol{\eta}_i\right) \triangleq \log \left(\sum c=1^C \exp \left(\eta{i c}\right)\right)
$$
为了可诏别性,我们可以设置 $\boldsymbol{w} C=\mathbf{0}$ ,所以
$$
\operatorname{lse}\left(\boldsymbol{\eta}i\right)=\log \left(1+\sum m=1^M \exp \left(\eta{i m}\right)\right)
$$
在哪里 $M=C-1$. (我们减去 1 , 这样在二进制情况下, $M=1$.)

计算机代写|机器学习代考MACHINE LEARNING代写

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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