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随机微积分Stochastic Calculus IMSE760应用随机微积分的最著名的随机过程是维纳过程（为纪念诺伯特-维纳而命名），它被用来模拟路易-巴切莱特在1900年和阿尔伯特-爱因斯坦在1905年描述的布朗运动以及其他受随机力作用的粒子在空间的物理扩散过程。自20世纪70年代以来，维纳过程被广泛地应用于金融数学和经济学中，以模拟股票价格和债券利率的时间演变。
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数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|A historical note
A historical note. It a remarkable fact that BM was first used by Louis Bachelier in a doctoral thesis in finance, attempting to understand stock price movements on the Paris stock exchange, in 1900, well before a rigorous theory was available. Bachelier’s intuition was inspired, but the rigour of his mathematics was understandably lacking, so for many decades his work was obscure and unknown. But now, Bachelier’s incredible contribution is rightly acknowledged. Not only did he “invent” BM, but many financial valuation principles also saw their birth in his thesis. (The one thing he did not come up with is the crucial dynamic hedging and replication argument of Black and Scholes and Merton, which gives one justification for the resulting valuation principles.) The book by Davis and Etheridge [7] provides an account of this history, with a translation of Bachelier’s thesis. It also has some details of another remarkable historical phenomenon. At the same time as Itô [11] was developing his calculus for BM, Wolfgang Doeblin did the same, but this work remained unknown for decades (as Doeblin wrote his work while a soldier in the field in World War Two and sent it, sealed, to the French National Academy of Sciences in Paris). You can read more of the Doeblin story in Bru and Yor.
数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|BM as a scaled limit of a symmetric random walk
BM as a scaled limit of a symmetric random walk. One reason for considering $\mathrm{BM}$ as the building block of stochastic calculus is that it arises naturally as a suitable limit of a symmetric random walk. Since the random walk would naturally be used in any discretetime evolution (think of building an evolution for a stock price in discrete time by suitably composing some deterministic evolution with some weighted sequence of independent and identically distributed (i.i.d.) random variables), this is intuitively appealing.
Toss a coin infinitely many times, so that the sample space $\Omega$ is the set of all infinite sequences $\omega=\left(\omega_1 \omega_2 \ldots\right)$ of $\mathrm{H}$ (“head”) and T (“tail”), and $\omega_j \in{\mathrm{H}, \mathrm{T}}$ is the outcome of the $j^{\text {th }}$ coin toss, for $j=1,2, \ldots$ One can indeed construct a well-defined probability space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, so-called infinite coin toss space (though this is not completely trivial, as $\Omega$ is an uncountably infinite space), as well as a filtration $\left(\mathcal{F}j\right){j=0}^{\infty}$ on this space, where $\mathcal{F}_j$ denotes the $\sigma$-algebra generated by the first $j$ coin tosses. We shall not delve into the construction of infinite coin toss space here, but we take it as given that it is well-defined. Chapters 1 and 2 of Shreve [25] has a detailed account.
Assume that each toss is independent. Take $\mathbb{P}\left{\omega_j=\mathrm{H}\right}=\mathbb{P}\left{\omega_j=\mathrm{T}\right}=\frac{1}{2}$, for $j=1,2, \ldots$ On the infinite coin toss space $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ define the random variables
$$
X_j(\omega):=\left{\begin{array}{ll}
1 & \text { if } \omega_j=\mathrm{H}, \
-1 & \text { if } \omega_j=\mathrm{T},
\end{array}\right}, \quad j=1,2 \ldots
$$
So each $X_j$ has mean zero and variance 1 , (that is, $\mathbb{E}\left[X_j \mid \mathcal{F}{j-1}\right]=\mathbb{E}\left[X_j\right]=0$ and $\mathbb{E}\left[X_j^2 \mid \mathcal{F}{j-1}\right]=$ $\mathbb{E}\left[X_j^2\right]=1$ ). Thus $X_1, X_2, \ldots$ is a sequence of independent, identically distributed (i.i.d.) random variables. Define the symmetric random walk (SRW) $M=\left(M_k\right){k=0}^{\infty}$ via $$ M_0:=0, \quad M_k:=\sum{j=1}^k X_j, \quad k=1,2, \ldots
$$
First notice that the random walk has independent increments. If we choose non-negative integers $0=k_0<k_1<\cdots<k_n$, then the random variables (which are all increments of the random walk)
$$
M_{k_1}=M_{k_1}-M_{k_0}, M_{k_2}-M_{k_1}, \ldots, M_{k_n}-M_{k_{n-1}}
$$
are independent. Increments over non-overlapping time intervals are independent because they depend on different coin tosses. Moreover, each increment $M_{k_{i+1}}-M_{k_i}$ has expected value zero and variance $k_{i+1}-k_i$ :
$$
\mathbb{E}\left[M_{k_{i+1}}-M_{k_i}\right]=0, \quad \operatorname{var}\left(M_{k_{i+1}}-M_{k_i}\right)=k_{i+1}-k_i, \quad i=0,1, \ldots, n-1
$$
随机微积分代写
数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|A historical note
一个历史记录。值得注意的是, 路易斯·巴舍利尔 (Louis Bachelier) 于 1900 年在金融学博士论文中首次使 用 BM, 试图了解巴黎证券交易所的股票价格走势, 当时严格的理论还没有问世。Bachelier 的直觉受到启 发, 但他的数学严谨性是可以理解的, 因此几十年来他的工作默默无闻。但是现在, Bachelier 的不可思议 一件事是布莱克、斯科尔斯和默顿的关键动态对冲和复制论点, 它为由此产生的估值原则提供了一个理
由。) 栽维斯和埃瑟里奇 [7] 的书对此进行了说明历史, 附有 Bachelier 论文的翻译。它还包含另一个值得 注意的历史现象的一些细节。在 Itô [11] 为 BM 开发微积分的同时, 沃尔夫冈多布林 (Wolfgang Doeblin) 也在做同样的事情, 但这项工作几十年来一直鲜为人知 (因为多布林在第二次世界大战战场上当 一名士兵时写下了他的作品, 并寄出, 密封, 到巴黎的法国国家科学院）。您可以在 Bru and Yor 中阅读 更多 Doeblin 的故事。
数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|BM as a scaled limit of a symmetric random walk
BM 作为对称随机游走的缩放限制。考虑的原因之-BM因为随机微积分的基石是它自然而然地作为对称随 机游走的合适极限出现。由于随机游走自然会用于任何离散时间演化（考虑通过适当地将一些确定性演化与 一些独立且同分布 (iid) 随机变量的加权序列组合起来, 在离散时间内构建股票价格的演化), 这在直觉上 是有吸引力。
无限次抛硬币币, 使得样本空间 $\Omega$ 是所有无限序列的集合 $\omega=\left(\omega_1 \omega_2 \ldots\right)$ 的 $\mathrm{H}$ (“头”) 和 T (“尾”) , 以及 $\omega_j \in \mathrm{H}, \mathrm{T}$ 是的结果 $j^{\text {th }}$ 抛硬市, 因为 $j=1,2, \ldots$ 确实可以构建一个明确定义的䭎率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$, 所 谓的无限抛硬币空间 (虽然这不是完全微不足道的, 因为 $\Omega$ 是一个不可数的无限空间), 以及一个过滤 $\$ \backslash$ left(\mathcal ${\mathrm{F}}$ j $\backslash$ right $){\mathrm{j}=0}^{\wedge}\left{\backslash\right.$ infty}onthisspace, where $\backslash$ 数学 ${\mathrm{F}}_{-} \mathrm{j}$ denotesthe $\backslash$ 西格玛 -algebrageneratedbythefirst $\$$ 烪硬币监。我们不会在这里深入研究无限抛硬市空间的构造, 但我们认 为它是明确定义的。Shreve [25] 的第 1 章和第 2 章有详细的说明。
假设每次抛枎都是独立的。拿
$\backslash$ mathbb ${P} \backslash$ left ${\backslash 0$ emega_j= $\backslash m a t h r m{H} \backslash$ right $}=\backslash$ mathbb ${P} \backslash$ left ${\backslash 0$ egeg_j= $\backslash$ mathrm ${T} \backslash \operatorname{right}}=\backslash$ frac ${1}{2}$
, 为了 $j=1,2, \ldots$ 在无限抛硬币空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 定义随机变量
所以每个 $X_j$ 均值为零, 方差为 1 , (即 $\mathbb{E}\left[X_j \mid \mathcal{F} j-1\right]=\mathbb{E}\left[X_j\right]=0$ 和 $\mathbb{E}\left[X_j^2 \mid \mathcal{F} j-1\right]=$ $\mathbb{E}\left[X_j^2\right]=1$ ). 因此 $X_1, X_2, \ldots$ 是独立同分布 (iid) 随机变量的序列。定义对称随机游走 (SRW) $M=\left(M_k\right) k=0^{\infty}$ 通过
$$
M_0:=0, \quad M_k:=\sum j=1^k X_j, \quad k=1,2, \ldots
$$
首先注意随机游走有独立的增量。如果我们选择非贞整数 $0=k_0<k_1<\cdots<k_n$, 然后是随机变量 （它们都是随机游走的增量）
$$
M_{k_1}=M_{k_1}-M_{k_0}, M_{k_2}-M_{k_1}, \ldots, M_{k_n}-M_{k_{n-1}}
$$
是独立的。非重嗓时间间隔的增量是独立的, 因为它们取决于不同的硬币抛烪。此外, 每增加一个 $M_{k_{i+1}}-M_{k_i}$ 具有期望值零和方差 $k_{i+1}-k_i$ :
$$
\mathbb{E}\left[M_{k_{i+1}}-M_{k_i}\right]=0, \quad \operatorname{var}\left(M_{k_{i+1}}-M_{k_i}\right)=k_{i+1}-k_i, \quad i=0,1, \ldots, n-1
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。