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固定收益与信贷Fixed Income and Credit固定收益是指任何类型的投资，根据这种投资，借款人或发行人有义务按固定的时间表支付固定的金额。例如，借款人可能必须按固定利率每年支付一次利息，并在到期时偿还本金。固定收入证券–更常见的是债券–可以与股权证券–通常被称为股票和股份–形成对比，后者没有义务支付股息或任何其他形式的收入。债券对投资者有一定程度的法律保护，而股权证券则没有–在破产的情况下，债券持有人将在资产清算后得到偿还，而股票的股东往往什么也得不到。
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In this chapter we will study a special case of the general model set out in Chapter 6 . We will basically follow the arguments of Merton (1973), which only require the mathematical machinery presented in the previous chapters. For the full story see Chapter 11.
Let us therefore consider a financial market consisting of only two assets: a risk free asset with price process $B$, and a stock with price process $S$. What, then, is a risk free asset?
Definition 7.1 The price process $B$ is the price of a risk free asset if it has the dynamics
$$
d B_t=r_t B_t d t,
$$
where $r$ is any adapted process.
The defining property of a risk free asset is thus that it has no driving $d W$-term. We see that we also can write the $B$-dynamics as
$$
\frac{d B_t}{d t}=r_t B_t,
$$
so the $B$-process is given by the expression
$$
B_t=B_0 e^{\int_0^t r_s d s} .
$$
and as a notational convention we put
$$
B_0=1 .
$$
金融代写|固定收益与信贷代写Fixed Income and Credit代考|More on the Bank Account
In this section we will discuss and interpret the bank account concept in some detail. We will mainly do this in discrete time, and at the end we go to the formal continuous time limit. First we need the concept of a zero coupon bond.
Definition 7.3 A zero coupon bond with maturity $T$ (henceforth ” $T$-bond”) is an asset which pays the holder the face value 1 dollar at time $T$. The price at time $n$ of a $T$-bond is denoted by $p(n, T)$.
We assume that there exists a liquid market for bonds of all maturities, and we have the obvious no arbitrage condition
$$
p(n, n)=1, \quad n=0,1, \ldots
$$
We can now define the discrete time short rate.
Definition 7.4 The (possibly stochastic) discrete short rate $r_n$, for the period $[n, n+1]$, is defined as
$$
p(n, n+1)=\frac{1}{1+r_n}
$$
The interpretation is that the factor $\left(1+r_n\right)^{-1}$ acts as a discount factor to discount the face value 1 of the bond maturing at $n+1$ back to time $n$. It is important to notice that $r_n$ is known already at time $n$.
We can also view the existing bond market as an investment opportunity. Suppose that we have $x$ dollars to invest at time $n$. For these dollars we can afford to buy exactly $x / p(n, n+1)$ bonds maturing at $n+1$. We do this and at time $n+1$ we get 1 dollar for each bond, giving us a total of $x / p(n, n+1)$ dollars. Summing up we see that an investment of $x$ dollars at time $n$ has provided us with $x / p(n, n+1)$ dollars a time $n+1$, and the point is that this amount was known already at time $n$. In other words we have made a risk free investment, and if we denote the value of this particular portfolio with $V$, that we have
$$
V_{n+1}=\frac{1}{p(n, n+1)} V_n
$$
and using (7.6) we have
$$
V_{n+1}=\left(1+r_n\right) V_n
$$
固定收益与信贷代写
金融代写|固定收益与信贷代写Fixed Income and Credit代考|ARBITRAGE PRICING
在本章中, 我们将研究第 6 章中提出的一般模型的一个特例。我们将基本上遵循 Merton (1973) 的论点, 它只需要前面章节中介绍的数学机制。完整故事见第 11 章。
因此, 让我们考虑一个仅由两种资产组成的金融市场: 具有价格过程的无风险资产 $B$, 以及具有价格过程的 股票 $S$. 那么, 什么是无风险资产呢?
定义 $7.1$ 价格过程 $B$ 是无风险资产的价格, 如果它具有动态
$$
d B_t=r_t B_t d t,
$$
在哪里 $r$ 是任何适应的过程。
因此, 无风险资产的定义属性是它没有驱动力 $d W$-学期。我们看到我们地可以写 $B$-动力学作为
$$
\frac{d B_t}{d t}=r_t B_t,
$$
所以 $B$-process 由表达式给出
$$
B_t=B_0 e^{\int_0^t r_s d s} .
$$
作为一个符号约定, 我们把
$$
B_0=1 \text {. }
$$
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在本节中, 我们将详细讨论和解释银行账户的概念。我们会以离散时间为主来做这个, 最后会到正式的连续 时间限制。首先我们需要零息债券的概念。
定义 $7.3$ 到期的䨐息债券 $T$ (以后” $T$-bond”) 是一种资产, 它在某个时间向持有人支付面值 1 美元 $T$. 当时 的价格 $n$ 的 $T$-债券表示为 $p(n, T)$.
我们假设所有期限的债券都存在流动性市场, 并且我们有明显的无套利条件
$$
p(n, n)=1, \quad n=0,1, \ldots
$$
我们现在可以定义离散时间短期利率。
定义 $7.4$ (可能是随机的) 离散短期利率 $r_n$, 该期间 $[n, n+1]$, 定义为
$$
p(n, n+1)=\frac{1}{1+r_n}
$$
解释是因数 $\left(1+r_n\right)^{-1}$ 作为贴现因子对到期债券的面值 1 进行贴现 $n+1$ 回到过去 $n$. 重要的是要注意 $r_n$ 时 间已经知道 $n$.
我们地可以将现有的债券市场视为一个投资机会。假设我们有 $x$ 及时投资的美元 $n$. 对于这些美元, 我们可以 买得起 $x / p(n, n+1)$ 债券到期日 $n+1$. 我们这样做并且在时间 $n+1$ 每张债券我们得到 1 美元, 总共有 $x / p(n, n+1)$ 美元。总而言之, 我们看到一项投资 $x$ 美元一次 $n$ 为我们提供了 $x / p(n, n+1)$ 美元一次 $n+1$, 关键是这个数黑当时已经知道 $n$. 换句话说, 我们进行了无风险投资, 如果我们用 $V$, 我们有
$$
V_{n+1}=\frac{1}{p(n, n+1)} V_n
$$
并使用 (7.6) 我们有
$$
V_{n+1}=\left(1+r_n\right) V_n
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。