数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|MAST30011 Hamilton Cycles

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随机图论Random Graph Theory从数学角度看,随机图被用来回答有关典型图的属性问题。它的实际应用在所有需要对复杂网络进行建模的领域都可以找到–许多随机图模型因此而闻名,反映了不同领域中遇到的复杂网络的不同类型。在数学方面,随机图几乎只指Erdős-Rényi随机图模型。在其他背景下,任何图形模型都可以被称为随机图。

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This was a difficult question left open in [288]. A breakthrough came with the result of Pósa [661]. The precise theorem given below can be credited to Komlós and Szemerédi [514], Bollobás [135] and Ajtai, Komlós and Szemerédi [12].
Theorem 6.5. Let $p=\frac{\log n+\log \log n+c_n}{n}$. Then
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\mathbb{G}{n, p} \text { has a Hamilton cycle }\right)= \begin{cases}0 & \text { if } c_n \rightarrow-\infty \ e^{-e^{-c}} & \text { if } c_n \rightarrow c \ 1 & \text { if } c_n \rightarrow \infty\end{cases}
$$
Moreover,
$$
\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\mathbb{G}{n, p} \text { has a Hamilton cycle }\right)=\lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\delta\left(\mathbb{G}{n, p}\right) \geq 2\right) .
$$
Proof. We will first give a proof of the first statement under the assumption that $c_n=\omega \rightarrow \infty$ where $\omega=o(\log \log n)$. The proof of the second statement is postponed to Section 6.3. Under this assumption, we have $\delta\left(G_{n, p}\right) \geq 2$ w.h.p., see Theorem 4.3. The result for larger $p$ follows by monotonicity.

We now set up the main tool, viz. Pósa’s Lemma. Let $P$ be a path with end points $a, b$, as in Figure 6.1. Suppose that $b$ does not have a neighbor outside of $P$.

Notice that the $P^{\prime}$ below in Figure $6.2$ is a path of the same length as $P$, obtained by a rotation with vertex $a$ as the fixed endpoint. To be precise, suppose that $P=\left(a, \ldots, x, y, y^{\prime}, \ldots, b^{\prime}, b\right)$ and ${b, x}$ is an edge where $x$ is an interior vertex of $P$. The path $P^{\prime}=\left(a, \ldots, x, b, b^{\prime}, \ldots, y^{\prime}, y\right)$ is said to be obtained from $P$ by a rotation.

Now let $E N D=E N D(P)$ denote the set of vertices $v$ such that there exists a path $P_v$ from $a$ to $v$ such that $P_v$ is obtained from $P$ by a sequence of rotations with vertex $a$ fixed as in Figure 6.3.

数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Long Paths and Cycles in Sparse Random Graphs

In this section we study the length of the longest path and cycle in $\mathbb{G}{n, p}$ when $p=$ $c / n$ where $c=O(\log n)$, most importantly for $c$ is a large constant. We have seen in Chapter 1 that under these conditions, $\mathbb{G}{n, p}$ will w.h.p. have isolated vertices and so it will not be Hamiltonian. We can however show that it contains a cycle of length $\Omega(n)$ w.h.p.

The question of the existence of a long path/cycle was posed by Erdôs and Rényi in [288]. The first positive answer to this question was given by Ajtai, Komlós and Szemerédi [11] and by de la Vega [747]. The proof we give here is due to Krivelevich, Lee and Sudakov. It is subsumed by the more general results of [525].

Theorem 6.8. Let $p=c / n$ where $c$ is sufficiently large but $c=O(\log n)$. Then w.h.p.
(a) $\mathbb{G}{n, p}$ has a path of length at least $\left(1-\frac{6 \log c}{c}\right) n$. (b) $\mathbb{G}{n, p}$ has a cycle of length at least $\left(1-\frac{12 \log c}{c}\right) n$.
Proof. We prove this theorem by analysing simple properties of Depth First Search (DFS). This is a well known algorithm for exploring the vertices of a component of a graph. We can describe the progress of this algorithm using three sets: $U$ is the set of unexplored vertices that have not yet been reached by the search. $D$ is the set of dead vertices. These have been fully explored and no longer take part in the process. $A=\left{a_1, a_2, \ldots, a_r\right}$ is the set of active vertices and they form a path from $a_1$ to $a_r$. We start the algorithm by choosing a vertex $v$ from which to start the process. Then we let
$A={v}$ and $D=\emptyset$ and $U=[n] \backslash{v}$ and $r=1$.

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这是 [288] 中悬而末冾的难题。Pósa [661] 的结果带来了突破。下面给出的精确定理可以归功于 Komlós 和 Szemerédi [514]、Bollobás [135] 以及 Ajtai、Komlós 和 Szemerédi [12]。 昰理 6.5。存在 $p=\frac{\log n+\log \log n+c_n}{n}$. 然后
$\lim n \rightarrow \infty \mathbb{P}(\mathbb{G} n, p$ has a Hamilton cycle $)=\left{0 \quad\right.$ if $c_n \rightarrow-\infty e^{-e^{-c}} \quad$ if $c_n \rightarrow c 1 \quad$ if $c_n \rightarrow \infty$ 而且,
$$
\lim n \rightarrow \infty \mathbb{P}(\mathbb{G} n, p \text { has a Hamilton cycle })=\lim n \rightarrow \infty \mathbb{P}(\delta(\mathbb{G} n, p) \geq 2) .
$$
证明。我们将首先在假设下给出第一个陈述的证明 $c_n=\omega \rightarrow \infty$ 在哪里 $\omega=o(\log \log n)$. 第二个陈述的 证明推迟到第 $6.3$ 节。在这个假设下, 我们有 $\delta\left(G_{n, p}\right) \geq 2 \mathrm{whp}$, 见定理 4.3。更大的结果 $p$ 其次是单调 性。
我们现在设置主要工具, 即。Pósa 引理。让 $P$ 是一条有终点的路径 $a, b$, 如图 $6.1$ 所示。假设 $b$ 在外面没有 伶居 $P$.
请注意, $P^{\prime}$ 下图6.2是一条长度相同的路径 $P$, 通过顶点旋转得到 $a$ 作为固定端点。准确地说, 假设 $P=\left(a, \ldots, x, y, y^{\prime}, \ldots, b^{\prime}, b\right)$ 和 $b, x$ 是一条边, 其中 $x$ 是的内部顶点 $P$. 路径 $P^{\prime}=\left(a, \ldots, x, b, b^{\prime}, \ldots, y^{\prime}, y\right)$ 据说是从 $P$ 通过旋转。
现在让 $E N D=E N D(P)$ 表示顶点集 $v$ 这样就存在一条路径 $P_v$ 从 $a$ 至 $v$ 这样 $P_v$ 是从 $P$ 通过一系列带有顶 点的旋转 $a$ 如图 $6.3$ 所示固定。


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isalargeconstant. Wehaveseenin Chapter1thatundertheseconditions, $\backslash$ mathbb ${G}{\mathrm{n}, \mathrm{p}}$ willw.h.p. haveisolatedverticesandsoitwillnotbeHamiltonian. Wecanhowevershowthatitconte \Omega(n)\$ whp
Erdôs 和 Rényi 在 [288] 中提出了长路径/循环存在的问题。Ajtai、Komlós 和 Szemerédi [11] 以及 de la Vega [747] 给出了这个问题的第一个肯定答安。我们在这里给出的证明归功于 Krivelevich、Lee 和 Sudakov。它包含在 [525] 的更一般的结果中。
定理 6.8。让 $p=c / n$ 在哪里 $c$ 足够大但是 $c=O(\log n)$. 然后whp
(a) $\mathbb{G} n, p$ 至少有一条长度的路径 $\left(1-\frac{6 \log c}{c}\right) n$. (乙) $\mathbb{G} n, p$ 至少有一个长度的循环 $\left(1-\frac{12 \log c}{c}\right) n$. 证明。我们通过分析深度优先搜索 (DFS) 的简单属性来证明这个定理。这是用于探索图的组件的顶点的众 所周知的算法。我们可以用二个集合来描述这个算法的进展: $U$ 是搜索尚末到达的末捈东顶点的集合。 $D$ 是 合, 它们形成一条路径 $a_1$ 至 $a_r$. 涐们通过选择一个顶点开始算法 $v$ 从中开始该过程。然后我们让 $A=v$ 和 $D=\emptyset$ 和 $U=[n] \backslash v$ 和 $r=1$.

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微观经济学代写

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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