数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|MATH480 Finite Differences

如果你也在 怎样代写偏微分方程Partial Differential Equations MATH480这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。偏微分方程Partial Differential Equations在数学中,偏微分方程(PDE)是一个方程,它规定了一个多变量函数的各种偏导数之间的关系。常微分方程构成了偏微分方程的一个子类,对应于单变量函数。截至2020年,随机偏微分方程和非局部方程是 “PDE “概念的特别广泛研究的延伸。更为经典的课题包括椭圆和抛物线偏微分方程、流体力学、玻尔兹曼方程和色散偏微分方程,目前仍有很多积极的研究。

偏微分方程Partial Differential Equations在以数学为导向的科学领域,如物理学和工程学中无处不在。例如,它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学(薛定谔方程、保利方程等)的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑,如微分几何和变分计算;在其他值得注意的应用中,它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。部分由于这种来源的多样性,存在着广泛的不同类型的偏微分方程,并且已经开发了处理许多出现的个别方程的方法。因此,人们通常认为,偏微分方程没有 “一般理论”,专业知识在一定程度上被划分为几个基本不同的子领域。

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数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|MATH480 Finite Differences

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Finite Differences

In previous chapters we introduced several methods to solve linear first and second order PDEs and quasilinear first order hyperbolic equations. There are many problems we cannot solve by those analytic methods. Such problems include quasilinear or nonlinear PDEs which are not hyperbolic. We should remark here that the method of characteristics can be applied to nonlinear hyperbolic PDEs. Even some linear PDEs, we cannot solve analytically. For example, Laplace’s equation
$$
u_{x x}+u_{y y}=0
$$
inside a rectangular domain with a hole (see figure 63)

or a rectangular domain with one of the corners clipped off.
For such problems, we must use numerical methods. There are several possibilities, but here we only discuss finite difference schemes.

One of the first steps in using finite difference methods is to replace the continuous problem domain by a difference mesh or a grid. Let $f(x)$ be a function of the single independent variable $x$ for $a \leq x \leq b$. The interval $[a, b]$ is discretized by considering the nodes $a=x_0<x_1<\cdots<x_N<x_{N+1}=b$, and we denote $f\left(x_i\right)$ by $f_i$. The mesh size is $x_{i+1}-x_i$

and we shall assume for simplicity that the mesh size is a constant
$$
h=\frac{b-a}{N+1}
$$
and
$$
x_i=a+i h \quad i=0,1, \cdots, N+1
$$
In the two dimensional case, the function $f(x, y)$ may be specified at nodal point $\left(x_i, y_j\right)$ by $f_{i j}$. The spacing in the $x$ direction is $h_x$ and in the $y$ direction is $h_y$.

数学代写|偏微分方程代考Partial Differential Equations代写|Difference Representations of PDEs

I. Truncation error
The difference approximations for the derivatives can be expanded in Taylor series. The truncation error is the difference between the partial derivative and its finite difference representation. For example
$$
\begin{gathered}
\left.f_x\right|{i j}-\frac{1}{h_x} \Delta_x f{i j}=\left.f_x\right|{i j}-\frac{f{i+1 j}-f_{i j}}{h_x} \
=-\left.f_{x x}\right|_{i j} \frac{h_x}{2 !}-\cdots
\end{gathered}
$$
We use $O\left(h_x\right)$ which means that the truncation error satisfies $|T . E.| \leq K\left|h_x\right|$ for $h_x \rightarrow 0$, sufficiently small, where $K$ is a positive real constant. Note that $O\left(h_x\right)$ does not tell us the exact size of the truncation error. If another approximation has a truncation error of $O\left(h_x^2\right)$, we might expect that this would be smaller only if the mesh is sufficiently fine.

We define the order of a method as the lowest power of the mesh size in the truncation error. Thus Table 1 (Chapter 8) gives first through fourth order approximations of the first derivative of $f$.

The truncation error for a finite difference approximation of a given PDE is defined as the difference between the two. For example, if we approximate the advection equation
$$
\frac{\partial F}{\partial t}+c \frac{\partial F}{\partial x}=0, \quad c>0
$$
by centered differences
$$
\frac{F_{i j+1}-F_{i j-1}}{2 \Delta t}+c \frac{F_{i+1 j}-F_{i-1 j}}{2 \Delta x}=0
$$
then the truncation error is
$$
\begin{aligned}
&\text { T. E. }=\left(\frac{\partial F}{\partial t}+c \frac{\partial F}{\partial x}\right){i j}-\frac{F{i j+1}-F_{i j-1}}{2 \Delta t}-c \frac{F_{i+1 j}-F_{i-1 j}}{2 \Delta x} \
&=-\frac{1}{6} \Delta t^2 \frac{\partial^3 F}{\partial t^3}-c \frac{1}{6} \Delta x^2 \frac{\partial^3 F}{\partial x^3}-\text { higher powers of } \Delta t \text { and } \Delta x
\end{aligned}
$$

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偏微分方程代写

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在前面的章节中, 我们介绍了几种求解线性一阶和二阶 PDE 以及拟线性一阶双曲方程的方法。有很多问题 我们不能用那些分析方法来解决。此类问题包括非双曲线的拟线性或非线性 PDE。在这里我们应该指出, 特 征方法可以应用于非线性双曲 PDE。即使是一些线性偏微分方程, 我们也无法解析求解。例如, 拉普拉斯方 程
$$
u_{x x}+u_{y y}=0
$$
在带孔的矩形域内 (见图 63)
或其中一个角被剪掉的矩形区域。
对于此类问题, 我们必须使用数值方法。有几种可能性, 但这里我们只讨论有限差分格式。
使用有限差分法的第一步是用差分网格或网格代替连续问题域。让 $f(x)$ 是单个自变量的函数 $x$ 为了
$a \leq x \leq b$. 区间 $[a, b]$ 通过考虑节点来离散化 $a=x_0<x_1<\cdots<x_N<x_{N+1}=b$, 我们表示 $f\left(x_i\right)$ 经 过 $f_i$. 网格尺寸为 $x_{i+1}-x_i$
为简单起见, 我们假设网格大小是一个常数
$$
h=\frac{b-a}{N+1}
$$

$$
x_i=a+i h \quad i=0,1, \cdots, N+1
$$
在二维情况下, 函数 $f(x, y)$ 可以在节点指定 $\left(x_i, y_j\right)$ 经过 $f_{i j}$. 中的间距 $x$ 方向是 $h_x$ 并在 $y$ 方向是 $h_y$.


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一、截断误差
导数的差分近似可以在泰勒级数中展开。截断误差是偏导数与其有限差分表示之间的差异。例如
$$
f_x\left|i j-\frac{1}{h_x} \Delta_x f i j=f_x\right| i j-\frac{f i+1 j-f_{i j}}{h_x}=-\left.f_{x x}\right|{i j} \frac{h_x}{2 !}-\cdots $$ 我们用 $O\left(h_x\right)$ 这意味着䘁断误差满足 $|T . E.| \leq K\left|h_x\right|$ 为了 $h_x \rightarrow 0$, 足够小, 其中 $K$ 是正实常数。注意 $O\left(h_x\right)$ 没有告诉我们截断误差的确切大小。如果另一个近似的截断误差为 $O\left(h_x^2\right)$, 我们可能期望只有当网 格足够细时, 它才会更小。 我们将方法的顺序定义为截断误差中网格大小的最低幂。因此, 表 1 (第 8 章) 给出了的一阶导数的一阶 到四阶近似值 $f$. 给定 PDE 的有限差分近似的截断误差定义为两者之间的差值。例如, 如果我们近似平流方程 $$ \frac{\partial F}{\partial t}+c \frac{\partial F}{\partial x}=0, \quad c>0 $$ 按中心差异 $$ \frac{F{i j+1}-F_{i j-1}}{2 \Delta t}+c \frac{F_{i+1 j}-F_{i-1 j}}{2 \Delta x}=0
$$
那么截断错误是
$$
\text { T. E. }=\left(\frac{\partial F}{\partial t}+c \frac{\partial F}{\partial x}\right) i j-\frac{F i j+1-F_{i j-1}}{2 \Delta t}-c \frac{F_{i+1 j}-F_{i-1 j}}{2 \Delta x} \quad=-\frac{1}{6} \Delta t^2 \frac{\partial^3 F}{\partial t^3}-c \frac{1}{6} \Delta x^2 \frac{\partial^3 F}{\partial x^3}
$$

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机器学习代写

机器学习(ML)是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域,也就是说,利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据(称为训练数据)建立模型,以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中,如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉,在这些应用中,开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关,统计学专注于使用计算机进行预测,但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。



统计推断代写

统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多,包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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