数学代写|机器学习中的优化理论代写Optimization for Machine Learning代考|Quadratic Case

如果你也在 怎样代写机器学习中的优化理论Optimization for Machine Learningy CSC4512这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。机器学习中的优化理论Optimization for Machine Learningy是致力于解决优化问题的数学分支。 优化问题是我们想要最小化或最大化函数值的数学函数。 这些类型的问题在计算机科学和应用数学中大量存在。

机器学习中的优化理论Optimization for Machine Learningy每个优化问题都包含三个组成部分:目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时,它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数,通常表示为 f 或 z,反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。

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数学代写|机器学习中的优化理论代写Optimization for Machine Learning代考|Quadratic Case

数学代写|机器学习中的优化理论代写Optimization for Machine Learning代考|Quadratic Case

Convergence analysis for the quadratic case. We first analyze this algorithm in the case of the quadratic loss, which can be written as
$$
f(x)=\frac{1}{2}|A x-y|^2=\frac{1}{2}\langle C x, x\rangle-\langle x, b\rangle+\text { cst } \quad \text { where } \quad\left{\begin{array}{l}
C \stackrel{\text { def. }}{=} A^{\top} A \in \mathbb{R}^{p \times p}, \
b \stackrel{\text { def. }}{=} A^{\top} y \in \mathbb{R}^p
\end{array}\right.
$$
We already saw that in (9) if $\operatorname{ker}(A)={0}$, which is equivalent to $C$ being invertible, then there exists a single global minimizer $x^{\star}=\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top} y=C^{-1} u$.

Note that a function of the form $\frac{1}{2}\langle C x, x\rangle-\langle x, b\rangle$ is convex if and only if the symmetric matrix $C$ is positive semi-definite, i.e. that all its eigenvalues are non-negative (as already seen in (10)).

Proposition 4. For $f(x)=\langle C x, x\rangle-\langle b, x\rangle$ (C being symmetric semi-definite positive) with the eigen-values of $C$ upper-bounded by $L$ and lower-bounded by $\mu>0$, assuming there exists $\left(\tau_{\min }, \tau_{\max }\right)$ such that
$$
0<\tau_{\min } \leqslant \tau_{\ell} \leqslant \tilde{\tau}{\max }<\frac{2}{L} $$ then there exists $0 \leqslant \tilde{\rho}<1$ such that $$ \left|x_k-x^{\star}\right| \leqslant \tilde{\rho}^{\ell}\left|x_0-x^{\star}\right| . $$ The best rate $\tilde{\rho}$ is obtained for $$ \tau{\ell}=\frac{2}{L+\mu} \quad \Longrightarrow \quad \tilde{\rho} \stackrel{\text { def. }}{=} \frac{L-\mu}{L+\mu}=1-\frac{2 \varepsilon}{1+\varepsilon} \quad \text { where } \quad \varepsilon \stackrel{\text { def. }}{=} \mu / L .
$$
Proof. One iterate of gradient descent reads
$$
x_{k+1}=x_k-\tau_{\ell}\left(C x_k-b\right) .
$$

数学代写|机器学习中的优化理论代写Optimization for Machine Learning代考|General Case

We detail the theoretical analysis of convergence for general smooth convex functions. The general idea is to replace the linear operator $C$ involved in the quadratic case by the second order derivative (the hessian matrix).
Hessian. If the function is twice differentiable along the axes, the hessian matrix is
$$
\left(\partial^2 f\right)(x)=\left(\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant p} \in \mathbb{R}^{p \times p}
$$
Where recall that $\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}$ is the differential along direction $x_j$ of the function $x \mapsto \frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$. We also recall that $\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}=\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_j \partial x_i}$ so that $\partial^2 f(x)$ is a symmetric matrix.
A differentiable function $f$ is said to be twice differentiable at $x$ if
$$
f(x+\varepsilon)=f(x)+\langle\nabla f(x), \varepsilon\rangle+\frac{1}{2}\left\langle\partial^2 f(x) \varepsilon, \varepsilon\right\rangle+o\left(|\varepsilon|^2\right)
$$
This means that one can approximate $f$ near $x$ by a quadratic function. The hessian matrix is uniquely determined by this relation, so that if one is able to write down an expansion with some matrix $H$
$$
f(x+\varepsilon)=f(x)+\langle\nabla f(x), \varepsilon\rangle+\frac{1}{2}\langle H \varepsilon, \varepsilon\rangle+o\left(|\varepsilon|^2\right) .
$$

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机器学习中的优化理论

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二次情况的收敛性分析。我们先在二次损失的情况下分析这个算法, 可以写成 $\$ \$$ $\backslash$ text ${$ 其中 $} \backslash$ \quad $\backslash$ left {
$$
C \stackrel{\text { def. }}{=} A^{\top} A \in \mathbb{R}^{p \times p}, b \stackrel{\text { def. }}{=} A^{\top} y \in \mathbb{R}^p
$$
正确的。
$\$ \$$
我们已经在 (9) 中看到如果 $\operatorname{ker}(A)=0$, 相当于 $C$ 是可逆的, 那么存在一个全局最小化器 $x^{\star}=\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top} y=C^{-1} u$
请注意, 窻体的功能 $\frac{1}{2}\langle C x, x\rangle-\langle x, b\rangle$ 是凸的当且仅当对称矩阵 $C$ 是半正定的, 即它的所有特征值都是非 负的 (如在 (10) 中已经看到的)。
命题 4. 对于 $f(x)=\langle C x, x\rangle-\langle b, x\rangle$ (C是对称半定正数) 具有特征值 $C$ 上限为 $L$ 下界为 $\mu>0$, 假设存 在 $\left(\tau_{\min }, \tau_{\max }\right)$ 这样
$$
0<\tau_{\min } \leqslant \tau_{\ell} \leqslant \tilde{\tau} \max <\frac{2}{L}
$$
那么存在 $0 \leqslant \tilde{\rho}<1$ 这样
$$
\left|x_k-x^{\star}\right| \leqslant \tilde{\rho}^{\ell}\left|x_0-x^{\star}\right| .
$$
最优惠的价格 $\tilde{\rho}$ 获得
$$
\tau \ell=\frac{2}{L+\mu} \quad \Longrightarrow \quad \tilde{\rho} \stackrel{\text { def. }}{=} \frac{L-\mu}{L+\mu}=1-\frac{2 \varepsilon}{1+\varepsilon} \quad \text { where } \quad \varepsilon \stackrel{\text { def. }}{=} \mu / L .
$$
证明。梯度下降的一次迭代读取
$$
x_{k+1}=x_k-\tau_{\ell}\left(C x_k-b\right) .
$$


数学代写|机器学习中的优化理论代写 Optimization for Machine Learning 代考|General Case


我们详细介绍了一般光滑凸函数的收敛性理论分析。总体思路是替换线性算子 $C$ 通过二阶导数 (海森秬阵) 参与二次情况。
黑森州。如果函数沿轴可微分两次, 则 hessian 矩阵为
$$
\left(\partial^2 f\right)(x)=\left(\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant p} \in \mathbb{R}^{p \times p}
$$
哪里记得那个 $\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}$ 是沿方向的微分 $x_j$ 功能的 $x \mapsto \frac{\partial f(x)}{\partial x_i}$. 我们还记得 $\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_i \partial x_j}=\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x_j \partial x_i}$ 以便 $\partial^2 f(x)$ 是对 称矩阵。
可微函数 $f$ 据说在 $x$ 如果
$$
f(x+\varepsilon)=f(x)+\langle\nabla f(x), \varepsilon\rangle+\frac{1}{2}\left\langle\partial^2 f(x) \varepsilon, \varepsilon\right\rangle+o\left(|\varepsilon|^2\right)
$$
这意味着可以近似 $f$ 靠近 $x$ 通过二次函数。hessian 矩阵由这种关系唯一确定, 因此如果能够写下某个矩阵 的展开式 $H$
$$
f(x+\varepsilon)=f(x)+\langle\nabla f(x), \varepsilon\rangle+\frac{1}{2}\langle H \varepsilon, \varepsilon\rangle+o\left(|\varepsilon|^2\right) .
$$

数学代写|机器学习中的优化理论代写Optimization for Machine Learning代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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