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机器学习中的优化理论Optimization for Machine Learningy每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。
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数学代写|机器学习中的优化理论代写Optimization for Machine Learning代考|Derivative and gradient
If $f$ is differentiable along each axis, we denote
$$
\nabla f(x) \stackrel{\text { def. }}{=}\left(\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f(x)}{\partial x_p}\right)^{\top} \in \mathbb{R}^p
$$
the gradient vector, so that $\nabla f: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^p$ is a vector field. Here the partial derivative (when they exits) are defined as
$$
\frac{\partial f(x)}{\partial x_k} \stackrel{\text { def. }}{=} \lim _{\eta \rightarrow 0} \frac{f\left(x+\eta \delta_k\right)-f(x)}{\eta}
$$
where $\delta_k=(0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0)^{\top} \in \mathbb{R}^p$ is the $k^{\text {th }}$ canonical basis vector.
Beware that $\nabla f(x)$ can exist without $f$ being differentiable. Differentiability of $f$ at each reads
$$
f(x+\varepsilon)=f(x)+\langle\varepsilon, \nabla f(x)\rangle+o(|\varepsilon|) .
$$
Here $R(\varepsilon)=o(|\varepsilon|)$ denotes a quantity which decays faster than $\varepsilon$ toward 0 , i.e. $\frac{R(\varepsilon)}{|\varepsilon|} \rightarrow 0$ as $\varepsilon \rightarrow 0$. Existence of partial derivative corresponds to $f$ being differentiable along the axes, while differentiability should hold for any converging sequence of $\varepsilon \rightarrow 0$ (i.e. not along along a fixed direction). A counter example in 2-D is $f(x)=\frac{2 x_1 x_2\left(x_1+x_2\right)}{x_1^2+x_2^2}$ with $f(0)=0$, which is affine with different slope along each radial lines.
Also, $\nabla f(x)$ is the only vector such that the relation (7). This means that a possible strategy to both prove that $f$ is differentiable and to obtain a formula for $\nabla f(x)$ is to show a relation of the form
$$
f(x+\varepsilon)=f(x)+\langle\varepsilon, g\rangle+o(|\varepsilon|),
$$
in which case one necessarily has $\nabla f(x)=g$.
The following proposition shows that convexity is equivalent to the graph of the function being above its tangents.
数学代写|机器学习中的优化理论代写Optimization for Machine Learning代考|First Order Conditions
The main theoretical interest (we will see later that it also have algorithmic interest) of the gradient vector is that it is a necessarily condition for optimality, as stated below.
Proposition 2. If $x^{\star}$ is a local minimum of the function $f$ (i.e. that $f\left(x^{\star}\right) \leqslant f(x)$ for all $x$ in some ball around $\left.x^{\star}\right)$ then
$$
\nabla f\left(x^{\star}\right)=0 .
$$
Proof. One has for $\varepsilon$ small enough and $u$ fixed
$$
f\left(x^{\star}\right) \leqslant f\left(x^{\star}+\varepsilon u\right)=f\left(x^{\star}\right)+\varepsilon\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), u\right\rangle+o(\varepsilon) \quad \Longrightarrow \quad\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), u\right\rangle \geqslant o(1) \quad \Longrightarrow \quad\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), u\right\rangle \geqslant 0 .
$$
So applying this for $u$ and $-u$ in the previous equation shows that $\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), u\right\rangle=0$ for all $u$, and hence $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$.
Note that the converse is not true in general, since one might have $\nabla f(x)=0$ but $x$ is not a local mininimum. For instance $x=0$ for $f(x)=-x^2$ (here $x$ is a maximizer) or $f(x)=x^3$ (here $x$ is neither a maximizer or a minimizer, it is a saddle point), see Fig. 6 . Note however that in practice, if $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$ but $x$ is not a local minimum, then $x^{\star}$ tends to be an unstable equilibrium. Thus most often a gradient-based algorithm will converge to points with $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$ that are local minimizers. The following proposition shows that a much strong result holds if $f$ is convex.
Proposition 3. If $f$ is convex and $x^{\star}$ a local minimum, then $x^{\star}$ is also a global minimum. If $f$ is differentiable and convex,
$$
x^{\star} \in \underset{x}{\operatorname{argmin}} f(x) \Longleftrightarrow \nabla f\left(x^{\star}\right)=0 .
$$
Proof. For any $x$, there exist $0<t<1$ small enough such that $t x+(1-t) x^{\star}$ is close enough to $x^{\star}$, and so since it is a local minimizer
$$
f\left(x^{\star}\right) \leqslant f\left(t x+(1-t) x^{\star}\right) \leqslant t f(x)+(1-t) f\left(x^{\star}\right) \quad \Longrightarrow \quad f\left(x^{\star}\right) \leqslant f(x)
$$
and thus $x^{\star}$ is a global minimum.
For the second part, we already saw in (2) the $\Leftarrow$ part. We assume that $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$. Since the graph of $x$ is above its tangent by convexity (as stated in Proposition 1),
$$
f(x) \geqslant f\left(x^{\star}\right)+\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), x-x^{\star}\right\rangle=f\left(x^{\star}\right) .
$$
机器学习中的优化理论
数学代写|机器学习中的优化理论代写 Optimization for Machine Learning 代考|Derivative and gradient
如果 $f$ 沿每个轴可微分, 我们表示
$$
\nabla f(x) \stackrel{\text { def. }}{=}\left(\frac{\partial f(x)}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f(x)}{\partial x_p}\right)^{\top} \in \mathbb{R}^p
$$
梯度向量, 因此 $\nabla f: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^p$ 是矢量场。这里的偏导数（当它们退出时) 定义为
$$
\frac{\partial f(x)}{\partial x_k} \stackrel{\text { def. }}{=} \lim _{\eta \rightarrow 0} \frac{f\left(x+\eta \delta_k\right)-f(x)}{\eta}
$$
在哪里 $\delta_k=(0, \ldots, 0,1,0, \ldots, 0)^{\top} \in \mathbb{R}^p$ 是个 $k^{\text {th }}$ 呗范基向量。
当心那个 $\nabla f(x)$ 可以存在没有 $f$ 是可区分的。的可微性 $f$ 在每次读取
$$
f(x+\varepsilon)=f(x)+\langle\varepsilon, \nabla f(x)\rangle+o(|\varepsilon|) .
$$
这里 $R(\varepsilon)=o(|\varepsilon|)$ 表示衰减速度快于 $\varepsilon$ 趋于 0 , 即 $\frac{R(\varepsilon)}{|\varepsilon|} \rightarrow 0$ 作为 $\varepsilon \rightarrow 0$. 偏导数的存在对应于 $f$ 沿轴可 微, 而可微性应适用于任何收敛序列 $\varepsilon \rightarrow 0$ (即不沿着固定方向)。二维中的一个反例是 $f(x)=\frac{2 x_1 x_2\left(x_1+x_2\right)}{x_1^2+x_2^2}$ 和 $f(0)=0$, 沿每条径向线具有不同的斜率仿射。
还, $\nabla f(x)$ 是唯一满足关系 (7) 的向荲。这意味着一个可能的策略来证明 $f$ 是可微的, 并得到一个公式 $\nabla f(x)$ 是显示形式的关系
$$
f(x+\varepsilon)=f(x)+\langle\varepsilon, g\rangle+o(|\varepsilon|),
$$
在这种情况下, 一个人必然有 $\nabla f(x)=g$.
下面的命题表明凸性等价于函数的图形在其切线之上。
数学代写|机器学习中的优化理论代写 Optimization for Machine Learning 代考|First Order Conditions
梯度向量的主要理论意义 (我们梢后会看到它也有算法意义) 是它是最优性的必要条件, 如下所述。 命题 2. 如果 $x^{\star}$ 是函数的局部最小值 $f$ (即那个 $f\left(x^{\star}\right) \leqslant f(x)$ 对所有人 $x$ 在一些球周围 $x^{\star}$ )然后
$$
\nabla f\left(x^{\star}\right)=0 .
$$
证明。一个有 $\varepsilon$ 足够小并且 $u$ 固定的
$$
f\left(x^{\star}\right) \leqslant f\left(x^{\star}+\varepsilon u\right)=f\left(x^{\star}\right)+\varepsilon\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), u\right\rangle+o(\varepsilon) \quad \Longrightarrow \quad\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), u\right\rangle \geqslant o(1) \quad \Longrightarrow
$$
所以申请这个 $u$ 和 $-u$ 在前面的等式中表明 $\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), u\right\rangle=0$ 对所有人 $u$, 因此 $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$.
请注意, 通常情况下情况并非如此, 因为一个人可能有 $\nabla f(x)=0$ 但 $x$ 不是局部最小值。例如 $x=0$ 为了 $f(x)=-x^2$ (这里 $x$ 是最大化器) 或 $f(x)=x^3$ (这里 $x$ 既不是最大化器也不是最小化器, 它是一个鞍 点), 见图 6。但是请注意, 在实践中, 如果 $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$ 但 $x$ 不是局部最小值, 那么 $x^{\star}$ 趋于不稳定的平 衡。因此, 大多数情况下, 基于梯度的算法将收敛到具有 $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$ 是局部最小化器。下面的命题表明 如果 $f$ 是凸的。
命题 3. 如果 $f$ 是凸的并且 $x^{\star}$ 一个局部最小值, 然后 $x^{\star}$ 也是全局最小值。如果 $f$ 是可微且凸的,
$$
x^{\star} \in \underset{x}{\operatorname{argmin}} f(x) \Longleftrightarrow \nabla f\left(x^{\star}\right)=0 .
$$
证明。对于任何 $x$, 存在 $0<t<1$ 足够小以至于 $t x+(1-t) x^{\star}$ 足够接近 $x^{\star}$, 所以因为它是局部最小化 器
$$
f\left(x^{\star}\right) \leqslant f\left(t x+(1-t) x^{\star}\right) \leqslant t f(x)+(1-t) f\left(x^{\star}\right) \quad \Longrightarrow \quad f\left(x^{\star}\right) \leqslant f(x)
$$
因此 $x^{\star}$ 是全局最小值。
对于第二部分, 我们已经在 (2) 中看到了 部分。我们假设 $\nabla f\left(x^{\star}\right)=0$. 由于图 $x$ 高于其凸性切线 (如命 题 1 所述),
$$
f(x) \geqslant f\left(x^{\star}\right)+\left\langle\nabla f\left(x^{\star}\right), x-x^{\star}\right\rangle=f\left(x^{\star}\right) .
$$
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微观经济学代写
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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。