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机器学习中的优化理论Optimization for Machine Learningy每个优化问题都包含三个组成部分:目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时,它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数,通常表示为 f 或 z,反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。
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数学代写|机器学习中的优化理论代写Optimization for Machine Learning代考|Quadratic Error Surfaces and IID Data
A very common form for the cost (error) function is the quadratic:
$$
E(\mathbf{w})=\mathbf{w}^T \mathbf{A} \mathbf{w}+2 \mathbf{w}^T \mathbf{b}+c
$$
This comes up as the log probability when using Gaussians, since if the noise model is Gaussian, each of the $E_n$ is an upside-down parabola (a “quadratic bowl” in higher dimensions).
Fact: sum of parabolas (quadratics) is another parabola (quadratic)
So the overall error surface is just a quadratic bowl
It is easy to find the minimum of a quadratic bowl:
$$
\begin{aligned}
&E(w)=a+b w+c w^2 \quad \Rightarrow \quad w^=-b / 2 c \ &E(\mathbf{w})=a+\mathbf{b}^T \mathbf{C w} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{w}^=-\frac{1}{2} \mathbf{C}^{-1} \mathbf{b} \
&
\end{aligned}
$$
For linear regression with Gaussian noise:
$$
\mathbf{C}=\mathbf{X X}^T \text { and } \mathbf{b}=-2 \mathbf{X} \mathbf{y}^T
$$
Partial Derivatives of Error
Question: if we wiggle $w_k$ and keep everything else the same, does the error get better or worse?
Calculus provides the answer: $\frac{\partial E}{\partial w_k}$
Plan: use a differentiable cost function $E$ and compute partial derivatives of each parameter with respect to this error:
$$
\nabla E(\mathbf{w})=\left(\frac{\partial E}{\partial w_1}, \ldots, \frac{\partial E}{\partial w_M}\right)
$$
Use the chain rule to compute the derivatives
The vector of partial derivatives is called the gradient of the error. The negative gradient points in the direction of steepest error descent in weight space.
Three fundamental questions:
- How do we compute the gradient efficiently?
- Once we have the gradient, how do we minimize the error?
- Where will we end up in weight space?
数学代写|机器学习中的优化理论代写Optimization for Machine Learning代考|Steepest Descent
Once we have the gradient of the error function, how do we minimize the weights?
Steepest descent:
$$
\mathbf{w}^{t+1}=\mathbf{w}^t-\epsilon \nabla E(\mathbf{w})
$$
If the steps are small enough, then this is guaranteed to converge to at least a local minimum
But if we are interested in the rate of convergence, this may not be the best approach
Stepsize is a free parameter that has to be chosen carefully for each problem
The error surface may be curved differently in different directions. This means that the gradient does not necessarily point directly to the nearest local minimum.
Error Surface: Curvature
$$
\int \frac{\mathrm{dB}}{\mathrm{dW}}
$$
The local geometry of curvature is measured by the Hessian: the matrix of second-order partial derivatives: $H_{i j}=\partial^2 E / \partial w_i w_j$
Eigenvectors/eigenvalues of the Hessian describe the directions of principal curvature and the amount of curvature in each direction.
Maximum sensible stepsize is $2 / \lambda_{\max }$
Rate of convergence depends on $\left(1-2 \frac{\lambda_{\min }}{\lambda_{\max }}\right)$
机器学习中的优化理论
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成本 (误差) 函数的一种非常常见的形式是二次函数:
$$
E(\mathbf{w})=\mathbf{w}^T \mathbf{A} \mathbf{w}+2 \mathbf{w}^T \mathbf{b}+c
$$
这在使用高斯模型时作为对数概率出现, 因为如果噪声模型是高斯模型, 则每个 $E_n$ 是一条倒拋物线 (更高 维度的“二次碗”)。
事实: 抛物线 (二次) 的总和是另一个抛物线 (二次)
所以整体误差面只是一个二次碗
很容易找到二次碗的最小值:
$$
E(w)=a+b w+c w^2 \quad \Rightarrow \quad w^{=}-b / 2 c \quad E(\mathbf{w})=a+\mathbf{b}^T \mathbf{C w} \quad \Rightarrow \quad \mathbf{w}^{=}-\frac{1}{2} \mathbf{C}^{-1} \mathbf{b}
$$
对于具有高斯噪声的线性回归:
$$
\mathbf{C}=\mathbf{X} \mathbf{X}^T \text { and } \mathbf{b}=-2 \mathbf{X} \mathbf{y}^T
$$
误差的偏导数
问题: 如果我们摆动 $w_k$ 并保持其他一切不变, 错误是变得更好还是更糟?
微积分给出了答案: $\frac{\partial E}{\partial w_k}$
计划 : 使用可微的代价函数 $E$ 并计算每个参数相对于此误差的偏导数:
$$
\nabla E(\mathbf{w})=\left(\frac{\partial E}{\partial w_1}, \ldots, \frac{\partial E}{\partial w_M}\right)
$$
使用謎式法则计算导数
偏导数的向荲称为误差的梯度。负梯度指向权重空间中误差下降最陡的方向。
三个基本问题 :
我们如何有效地计算梯度?
一旦我们有了梯度, 我们如何最小化误差?
我们最终会在权重空间中到达哪里?
数学代写|机器学习中的优化理论代写 Optimization for Machine Learning 代考|Steepest Descent
一旦我们有了误差函数的梯度,我们如何最小化权重?
最陡下降:
$$
\mathbf{w}^{t+1}=\mathbf{w}^t-\epsilon \nabla E(\mathbf{w})
$$
如果步长足够小, 则可以保证至少收敛到局部最小值
但是如果我们对收敛速度感兴輙, 这可能不是最好的方法
Stepsize 是一个自由参数, 必须为每个问题仔细选择
误差表面可以在不同方向上不同地弯曲。这意味着梯度不一定直接指向最近的局部最小值。
误差面 : 曲率
$$
\int \frac{\mathrm{dB}}{\mathrm{dW}}
$$
曲率的局部几何由 Hessian 度黑 : 二阶偏导数矩阵 : $H_{i j}=\partial^2 E / \partial w_i w_j$
Hessian 矩阵的特征向鲤/特征值描述了主曲率的方向和每个方向的曲率量。
最大合理步长是 $2 / \lambda_{\max }$
收敛速度取决于 $\left(1-2 \frac{\lambda_{\min }}{\lambda_{\max }}\right)$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。