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数据分析信号处理和机器学习中的矩阵方法Matrix Methods In Data Analysis, Signal Processing, And Machine Learning程序可以在没有明确编程的情况下执行任务。它涉及到计算机从提供的数据中学习，从而执行某些任务。对于分配给计算机的简单任务，有可能通过编程算法告诉机器如何执行解决手头问题所需的所有步骤；就计算机而言，不需要学习。对于更高级的任务，由人类手动创建所需的算法可能是一个挑战。在实践中，帮助机器开发自己的算法，而不是让人类程序员指定每一个需要的步骤，可能会变得更加有效 。
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计算机代写|数据分析信号处理和机器学习中的矩阵方法代写Matrix Methods In Data Analysis, Signal Processing, And Machine Learning代考|Last Time: Convex Optimization
We discussed convex optimization problems.
Off-the-shelf solvers are available for solving medium-sized convex problems.
We discussed ways to show functions are convex:
For any $w, f(u)$ is below chord for any convex combination $u$.
$f$ is constructed from operations that preserve convexity.
Non-negative scaling, sum, max, composition with affine map.
Show that $\nabla^2 f(w)$ is positive semi-definite for all $w$,
$$
\nabla^2 f(w) \succeq 0 \text { (zero matrix) }
$$
Formally, the notation $A \succeq B$ means that for any vector $v$ we have
$$
v^T A v \geq v^T B v
$$
or equivalently “all eigenvalues of $A$ are at least as big as all eigenvalues of $B^{\prime \prime}$.
Cost of L2-Regularizd Least Squares
Two strategies from 340 for L2-regularized least squares:
(1) Closed-form solution,
$$
w=\left(X^T X+\lambda I\right)^{-1}\left(X^T y\right)
$$
which costs $O\left(n d^2+d^3\right)$.
This is fine for $d=5000$, but may be too slow for $d=1,000,000$.
(2) Run $t$ iterations of gradient descent,
$$
w^{k+1}=w^k-\alpha_k \underbrace{X^T\left(X w^k-y\right)}_{\nabla f\left(w^k\right)},
$$
which costs $O(n d t)$.
I’m using $t$ as total number of iterations, and $k$ as iteration number.
Gradient descent is faster if $t$ is not too big:
If we only do $t<\max \left{d, d^2 / n\right}$ iterations.
计算机代写|数据分析信号处理和机器学习中的矩阵方法代写Matrix Methods In Data Analysis, Signal Processing, And Machine Learning代考|Cost of Logistic Regression
Gradient descent can also be applied to other models like logistic regression,
$$
f(w)=\sum_{i=1}^n \log \left(1+\exp \left(-y^i w^T x^i\right)\right)
$$
which we can’t formulate as a linear system or linear program.
Setting $\nabla f(w)=0$ gives a system of transcendental equations.
But this objective function is convex and differentiable.
So gradient descent converges to a global optimum.
Alternately, another common approach is Newton’s method.
Requires computing Hessian $\nabla^2 f\left(w^k\right)$, and known as “IRLS” in statistics.
Digression: Logistic Regression Gradient and Hessian
With some tedious manipulations, gradient for logistic regression is
$$
\nabla f(w)=X^T r .
$$
where vector $r$ has $r_i=-y^i h\left(-y^i w^T x^i\right)$ and $h$ is the sigmoid function.
We know the gradient has this form from the multivariate chain rule.
Functions for the form $f(X w)$ always have $\nabla f(w)=X^T r$ (see bonus slide).
With some more tedious manipulations we get
$$
\nabla^2 f(w)=X^T D X .
$$
where $D$ is a diagonal matrix with $d_{i i}=h\left(y_i w^T x^i\right) h\left(-y^i w^T x^i\right)$.
The $f(X w)$ structure leads to a $X^T D X$ Hessian structure
Cost of Logistic Regression
Gradient descent costs $O(n d)$ per iteration to compute $X w^k$ and $X^T r^k$.
Newton costs $O\left(n d^2+d^3\right)$ per iteration to compute and invert $\nabla^2 f\left(w^k\right)$.
Newton typically requires substantially fewer iterations.
But for datasets with very large $d$, gradient descent might be faster.
If $t<\max \left{d, d^2 / n\right}$ then we should use the “slow” algorithm with fast iterations.
So, how many iterations $t$ of gradient descent do we need?
数据分析信号处理和机器学习中的矩阵方法代写
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Processing, And Machine Learning 代考|Last Time: Convex Optimization
我们讨论了凸优化问题。
现成的求解器可用于求解中型凸问题。
我们讨论了显示函数是凸函数的方法:
对于任何 $w, f(u)$ 低于任何凸组合的弦 $u$.
$f$ 由保甶凸性的操作构成。
非贳缩放、求和、最大值、仿射图合成。
显示 $\nabla^2 f(w)$ 对所有人都是半正定的 $w$,
$$
\nabla^2 f(w) \succeq 0 \text { (zero matrix) }
$$
形式上, 符号 $A \succeq B$ 意味着对于任何向量 $v$ 我们有
$$
v^T A v \geq v^T B v
$$
或等效地“所有特征值 $A$ 至少与的所有特征值一样大 $B^{\prime \prime}$.
L2-Regularizd 最小二乘的成本
340 中用于 L2 正则化最小二乘法的两种䇿略:
(1) 封闭形式的解冶方案,
$$
w=\left(X^T X+\lambda I\right)^{-1}\left(X^T y\right)
$$
哪些费用 $O\left(n d^2+d^3\right)$.
这很好 $d=5000$, 但可能太慢了 $d=1,000,000$.
(2) 运行 $t$ 梯度下降的迭代
$$
w^{k+1}=w^k-\alpha_k \underbrace{X^T\left(X w^k-y\right)}_{\nabla f\left(w^k\right)},
$$
哪些费用 $O(n d t)$.
我在用着 $t$ 作为迭代总数, 和 $k$ 作为迭代次数。
如果梯度下降更快 $t$ 不是太大:
如果我们只做 $t<\backslash \max \backslash \mathrm{left}\left{\mathrm{d}, \mathrm{d}^{\wedge} 2 / \mathrm{n} \backslash\right.$ right $}$ 迭代。
计算机代写|数据分析信号处理和机器学 习中的矩阵方法代写 Matrix Methods In Data Analysis, Signal Processing, And Machine Learning 代考|Cost of Logistic Regression
梯度下降也可以应用于其他模型, 如逻辑回归,
$$
f(w)=\sum_{i=1}^n \log \left(1+\exp \left(-y^i w^T x^i\right)\right)
$$
我们不能将其表示为线性系统或线性程序。
环境 $\nabla f(w)=0$ 给出超越方程组.
但是这个目标函数是凸的并且是可微的。
所以梯度下降收敛于全局最优。
或者, 另一种常见的方法是牛顿法。
需要计算 Hessian $\nabla^2 f\left(w^k\right)$, 在统计学上称为 “IRLS”。
题外话: Logistic回归梯度和Hessian
通过一些每琐的操作, 逻辑回归的梯度是
$$
\nabla f(w)=X^T r
$$
向荲在哪里 $r$ 有 $r_i=-y^i h\left(-y^i w^T x^i\right)$ 和 $h$ 是 sigmoid 函数。
我们从多元謎式法则中知道梯度具有这种形式。
表格的功能 $f(X w)$ 一直有 $\nabla f(w)=X^T r$ (见奖金幻灯片)。
通过一些更繁琐的操作, 我们得到
$$
\nabla^2 f(w)=X^T D X
$$
在哪里 $D$ 是一个对角矩阵 $d_{i i}=h\left(y_i w^T x^i\right) h\left(-y^i w^T x^i\right)$.
这 $f(X w)$ 结构导致 $X^T D X$ 麻布结构
逻辑回归的代价
梯度下降成本 $O(n d)$ 每次迭代计算 $X w^k$ 和 $X^T r^k$.
牛顿成本 $O\left(n d^2+d^3\right)$ 每次迭代计算和反转 $\nabla^2 f\left(w^k\right)$.
牛顿通常需要更少的迭代。
但是对于非常大的数据集 $d$, 梯度下降可能更快。
如果 $₫ \backslash \backslash m a x \backslash l$ eft $\left.\left{d, d^{\wedge} 2 / n \backslash r i g h t\right}\right}$ 那么我们应该使用具有快速迭代的“慢”算法。
那么, 多少次迭代 $t$ 我们需要梯度下降吗?
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。