如果你也在 怎样代写实分析Real Analysis MATH721这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。实分析Real Analysis在数学中，实分析是数学分析的一个分支，研究实数、实数序列和实数函数的行为。实分析研究的实值序列和函数的一些特殊性质包括收敛性、极限、连续性、平稳性、可微分性和可整定性。
实分析Real Analysis中的各种观点可以从实线中归纳到更广泛或更抽象的背景中。这些概括将实分析与其他学科和子学科联系起来。例如，将连续函数和紧凑性等思想从实分析中概括到公制空间和拓扑空间，将实分析与一般拓扑学领域联系起来，而将有限维欧几里得空间概括到无限维类似物，导致了巴纳赫空间和希尔伯特空间的概念，以及更广泛的函数分析。乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究，最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。
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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Proof of mean-square convergence
Consider the space $\mathcal{R}$ of integrable functions on the circle with inner product
$$
(f, g)=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f(\theta) \overline{g(\theta)} d \theta
$$
and norm $|f|$ defined by
$$
|f|^2=(f, f)=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi}|f(\theta)|^2 d \theta .
$$
With this notation, we must prove that $\left|f-S_N(f)\right| \rightarrow 0$ as $N$ tends to infinity.
For each integer $n$, let $e_n(\theta)=e^{i n \theta}$, and observe that the family $\left{e_n\right}_{n \in \mathbb{Z}}$ is orthonormal; that is,
$$
\left(e_n, e_m\right)= \begin{cases}1 & \text { if } n=m \ 0 & \text { if } n \neq m\end{cases}
$$
Let $f$ be an integrable function on the circle, and let $a_n$ denote its Fourier coefficients. An important observation is that these Fourier coefficients are represented by inner products of $f$ with the elements in the orthonormal set $\left{e_n\right}_{n \in \mathbb{Z}}$ :
$$
\left(f, e_n\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f(\theta) e^{-i n \theta} d \theta=a_n .
$$
In particular, $S_N(f)=\sum_{|n| \leq N} a_n e_n$. Then the orthonormal property of the family $\left{e_n\right}$ and the fact that $a_n=\left(f, e_n\right)$ imply that the difference $f-\sum_{|n| \leq N} a_n e_n$ is orthogonal to $e_n$ for all $|n| \leq N$. Therefore, we must have
$$
\left(f-\sum_{|n| \leq N} a_n e_n\right) \perp \sum_{|n| \leq N} b_n e_n
$$
for any complex numbers $b_n$. We draw two conclusions from this fact.
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Return to pointwise convergence
The mean-square convergence theorem does not provide further insight into the problem of pointwise convergence. Indeed, Theorem $1.1$ by itself does not guarantee that the Fourier series converges for any $\theta$. Exercise 3 helps to explain this statement. However, if a function is differentiable at a point $\theta_0$, then its Fourier series converges at $\theta_0$. After proving this result, we give an example of a continuous function with diverging Fourier series at one point. These phenomena are indicative of the intricate nature of the problem of pointwise convergence in the theory of Fourier series.
2.1 A local result
Theorem 2.1 Let $f$ be an integrable function on the circle which is differentiable at a point $\theta_0$. Then $S_N(f)\left(\theta_0\right) \rightarrow f\left(\theta_0\right)$ as $N$ tends to infinity.
Proof. Define
$$
F(t)= \begin{cases}\frac{f\left(\theta_0-t\right)-f\left(\theta_0\right)}{t} & \text { if } t \neq 0 \text { and }|t|<\pi \ -f^{\prime}\left(\theta_0\right) & \text { if } t=0 .\end{cases} $$ First, $F$ is bounded near 0 since $f$ is differentiable there. Second, for all small $\delta$ the function $F$ is integrable on $[-\pi,-\delta] \cup[\delta, \pi]$ because $f$ has this property and $|t|>\delta$ there. As a consequence of Proposition $1.4$ in the appendix, the function $F$ is integrable on all of $[-\pi, \pi]$. We know that $S_N(f)\left(\theta_0\right)=\left(f * D_N\right)\left(\theta_0\right)$, where $D_N$ is the Dirichlet kernel. Since $\frac{1}{2 \pi} \int D_N=1$, we find that
$$
\begin{aligned}
S_N(f)\left(\theta_0\right)-f\left(\theta_0\right) &=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi f\left(\theta_0-t\right) D_N(t) d t-f\left(\theta_0\right) \
&=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi\left[f\left(\theta_0-t\right)-f\left(\theta_0\right)\right] D_N(t) d t \
&=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi F(t) t D_N(t) d t .
\end{aligned}
$$
实分析代写
数学代写|实分析代写Real Analysis代 考|Proof of mean-square convergence
考虑空间 $\mathcal{R}$ 内积圆上的可积函数
$$
(f, g)=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f(\theta) \overline{g(\theta)} d \theta
$$
和呗范 $|f|$ 被定义为
$$
|f|^2=(f, f)=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi}|f(\theta)|^2 d \theta .
$$
用这个符号，我们必须证明 $\left|f-S_N(f)\right| \rightarrow 0$ 作为 $N$ 趋于无穷大。
$$
\left(e_n, e_m\right)={1 \quad \text { if } n=m 0 \quad \text { if } n \neq m
$$
让 $f$ 是圆上的可积函数, 今 $a_n$ 表示它的傅里叶系数。一个重要的观察结果是这些傅立叶系数由以下的内积表
$$
\left(f, e_n\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f(\theta) e^{-i n \theta} d \theta=a_n .
$$
$f-\sum_{|n| \leq N} a_n e_n$ 正交于 $e_n$ 对所有人 $|n| \leq N$. 因此, 涐们必须有
$$
\left(f-\sum_{|n| \leq N} a_n e_n\right) \perp \sum_{|n| \leq N} b_n e_n
$$
对于任何复数 $b_n$. 我们从这个事实中得出两个结论。
数学代写|实分析代写Real Analysis代 考|Return to pointwise convergence
均方收敛定理没有提供对逐点收敛问题的进一步洞察。确实, 定理 $1.1$ 本身并不能保证傅立叶级数收敛于任 何 $\theta$. 练习 3 有助于解释这个陈述。但是, 如果一个函数在某一点是可微的 $\theta_0$, 那么它的傅里叶级数收敛于 $\theta_0$ . 在证明了这个结果之后, 我们给出了一个在某一点具有发散傅里叶级数的连续函数的例子。这些现彖表明 了傅里叶级数理论中逐点收敛问题的复杂性。
$2.1$ 局部结果
定理 $2.1$ 让 $f$ 是在一点可微的圆上的可积函数 $\theta_0$. 然后 $S_N(f)\left(\theta_0\right) \rightarrow f\left(\theta_0\right)$ 作为 $N$ 趋于无穷大。
证明。昰义
$$
F(t)= \begin{cases}\frac{f\left(\theta_0-t\right)-f\left(\theta_0\right)}{t} & \text { if } t \neq 0 \text { and }|t|<\pi-f^{\prime}\left(\theta_0\right) \quad \text { if } t=0 .\end{cases} $$ 第一的, $F$ 被限制在 0 附近, 因为 $f$ 在那里是可微的。其次, 对于所有小 $\delta$ 功能 $F$ 可积于 $[-\pi,-\delta] \cup[\delta, \pi]$ 因为 $f$ 有这个属性和 $|t|>\delta$ 那里。作为命题的结果 $1.4$ 在附录中, 函数 $F$ 可积于所有 $[-\pi, \pi]$. 我们知道 $S_N(f)\left(\theta_0\right)=\left(f * D_N\right)\left(\theta_0\right)$, 在哪里 $D_N$ 是狄利克雷核。自从 $\frac{1}{2 \pi} \int D_N=1$, 我们发现
$$
S_N(f)\left(\theta_0\right)-f\left(\theta_0\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi f\left(\theta_0-t\right) D_N(t) d t-f\left(\theta_0\right) \quad=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi\left[f\left(\theta_0-t\right)-f\left(\theta_0\right)\right] D_2
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。