数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|MTH402 Analytic functions. Sets of uniqueness

如果你也在怎样代写多复变函数论Multivariable Complex Analysis MTH402这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我 们的24/7代写宏服。多复变函数论Multivariable Complex Analysis多青变函数理论是处理昆值函数的数学分支。研究领域的 名称和数学主题分粌有,作为最高级别的标题。一个函数 $f:\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right) \rightarrow f\left(z_1, z_2, \ldots, z_n\right)$ 是 $n$ 的旫数,经典地在青数 坐标空间 $\mathbb{C}^n$ 上研究。变量 $z_i$ 的䓍序列。等价地,它们是沙项式的局部均匀极限;或者是 $n$ 维黎曼方程的局部平方不可捉掉的解。


多复变函数论Multivariable Complex Analysis这种函数的许多例子在19世纪的数学中是很孰悉的;阿贝尔函数、theta函数和 一些超几何序列。自然地,取决于某些㫜杂参数的同一个单变量函数也是一个候选人。然而,该理论多年来并没有成为一个成敦的 场代数;它确实证明了局部图片,即ramification,它解决了黎曼面埋论的分㕝点的概括。

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数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Analytic functions. Sets of uniqueness

We formalize our earlier rough description of analytic functions:
Definition 1.5.1. A function $f$ on $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ to $\mathbb{C}$ is called analytic if for every point $a \in \Omega$, there is a polydisc $\Delta(a, r)$ in $\Omega$ and a multiple power series $\sum c_\alpha(z-a)^\alpha$ which converges to $f(z)$ on $\Delta(a, r)$ for some total ordering of its terms.

It follows from Proposition 1.4.2 that a power series (1.4.1) for $f$ on $\Delta$ is absolutely convergent, hence the order of the terms is immaterial. Proposition 1.4.2 also implies the following important
Theorem 1.5.2. Let $f(z)$ be analytic on $\Omega \subset \mathbb{C}^n$. Then $f$ is continuous on $\Omega$ and infinitely differentiable in the complex sense with respect to the variables $z_1, \ldots, z_n$; the partial derivatives $D^\beta f$ are likewise analytic on $\Omega$. If $f(z)=\sum c_\alpha(z-a)^\alpha$ on $\Delta(a, r) \subset \Omega$, then
$$
D^\beta f(z)=\sum_{\alpha \geq 0} c_\alpha D^\beta(z-a)^\alpha=\sum_{\alpha \geq \beta} c_\alpha \frac{\alpha !}{(\alpha-\beta) !}(z-a)^{\alpha-\beta}, \quad \forall z \in \Delta(a, r) .
$$
In particular $D^\beta f(a)=c_\beta \beta$ !. Replacing $\beta$ by $\alpha$, one obtains the coefficient formula
$$
c_\alpha=\frac{1}{\alpha !} D^\alpha f(a)=\frac{1}{\alpha_{1} ! \ldots \alpha_{n} !} D_1^{\alpha_1} \ldots D_n^{\alpha_n} f(a)
$$

数学代写|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代写|Analyticity of the Cauchy integral and consequences

Under the conditions of Theorem 1.3.1 the function $f$ represented by the Cauchy integral (1.3.1) will turn out to be analytic on $\Delta(a, r)$. More generally we prove

Theorem 1.6.1. Let $g(\zeta)=g\left(\zeta_1, \ldots, \zeta_n\right)$ be defined and continuous on the torus $T(a, r)=$ $C\left(a_1, r_1\right) \times \cdots \times C\left(a_n, r_n\right)$. Then the Cauchy Transform
$$
f(z)=\hat{g}(z) \stackrel{\text { def }}{=} \frac{1}{(2 \pi i)^n} \int_{T(a, r)} \frac{g(\zeta)}{\left(\zeta_1-z_1\right) \ldots\left(\zeta_n-z_n\right)} d \zeta_1 \ldots d \zeta_n
$$
where we use positive orientation of the generating circles $C\left(a_j, r_j\right)$ of $T(a, r)$ is analytic on the polydisc $\Delta(a, r)$.

Proof. By translation we may assume that $a=0$. Now taking an arbitrary point $b$ in $\Delta(0, r)$ : $\left|b_j\right|<r_j, \quad \forall j$, we have to show that $f(z)$ is equal to the sum of a convergent power series with center $b$ on some polydisc around $b$. In a situation like the present one, where $f(z)$ is given by an integral with respect to $\zeta$ in which $z$ occurs as a parameter, it is standard procedure to expand the integrand in a power series of the form $\sum d_\alpha(\zeta)(z-b)^\alpha$ and to integrate term by term.

In order to obtain a suitable series for the integrand, we begin by expanding each factor $1 /\left(\zeta_j-z_j\right)$ around $z_j=b_j$ :
$$
\frac{1}{\zeta_j-z_j}=\frac{1}{\zeta_j-b_j-\left(z_j-b_j\right)}=\frac{1}{\zeta_j-b_j} \frac{1}{1-\frac{z_j-b_j}{\zeta_j-b_j}}=\sum_{p=0}^{\infty} \frac{\left(z_j-b_j\right)^p}{\left(\zeta_j-b_j\right)^{p+1}}
$$

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多复变函数论代考

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我们将之前对解析函数的粗略描述形式化:
定义 1.5.1。一个功能 $f$ 上 $\Omega \subset \mathbb{C}^n$ 至 $\mathbb{C}$ 被称为解析如果对于每个点 $a \in \Omega$, 有一个多圆盘 $\Delta(a, r)$ 在 $\Omega$ 和一 个多重帛级数 $\sum c_\alpha(z-a)^\alpha$ 收敛于 $f(z)$ 上 $\Delta(a, r)$ 对其条款进行一些总排序。
根据合题 1.4.2, 帛级数 (1.4.1) 为 $f$ 上 $\Delta$ 是绝对收敛的, 因此项的顺序是无关紧要的。命题 1.4.2 还暗示了 以下重要的
定理 1.5.2。让 $f(z)$ 分析 $\Omega \subset \mathbb{C}^n$. 然后 $f$ 是连续的 $\Omega$ 并且关于变量在筫数意义上是无限可微的 $z_1, \ldots, z_n$; 偏导数 $D^\beta f$ 同样分析 $\Omega$. 如果 $f(z)=\sum c_\alpha(z-a)^\alpha$ 上 $\Delta(a, r) \subset \Omega$, 然后
$$
D^\beta f(z)=\sum_{\alpha \geq 0} c_\alpha D^\beta(z-a)^\alpha=\sum_{\alpha \geq \beta} c_\alpha \frac{\alpha !}{(\alpha-\beta) !}(z-a)^{\alpha-\beta}, \quad \forall z \in \Delta(a, r) .
$$
尤其是 $D^\beta f(a)=c_\beta \beta !$ 。更换 $\beta$ 经过 $\alpha$, 得到系数公式
$$
c_\alpha=\frac{1}{\alpha !} D^\alpha f(a)=\frac{1}{\alpha_{1} ! \ldots \alpha_{n} !} D_1^{\alpha_1} \ldots D_n^{\alpha_n} f(a)
$$


籹学体㝍|多复变函数论代考Multivariable Complex Analysis代 写|Analyticity of the Cauchy integral and consequences


定理 1.3.1条件下的函数 $f$ 由 Cauchy 积分 (1.3.1) 表示的将证昍是解析的 $\Delta(a, r)$. 更一般地我们证明
定理 1.6.1。让 $g(\zeta)=g\left(\zeta_1, \ldots, \zeta_n\right)$ 在圆环上被定义和连续 $T(a, r)=C\left(a_1, r_1\right) \times \cdots \times C\left(a_n, r_n\right)$ . 然后是柯西变换
$$
f(z)=\hat{g}(z) \stackrel{\text { def }}{=} \frac{1}{(2 \pi i)^n} \int_{T(a, r)} \frac{g(\zeta)}{\left(\zeta_1-z_1\right) \ldots\left(\zeta_n-z_n\right)} d \zeta_1 \ldots d \zeta_n
$$
我们使用生成圆的正方向 $C\left(a_j, r_j\right)$ 的 $T(a, r)$ 在多圆盘上解析 $\Delta(a, r)$.
证明。通过翻译我们可以假设 $a=0$. 现在任意点 $b$ 在 $\Delta(0, r):\left|b_j\right|<r_j, \quad \forall j$, 我们糹烦证明 $f(z)$ 等于以 中心为中心的收敛帛级数之和 $b$ 在周围的一些多盘上 $b$. 在像现在这样的情况下, $f(z)$ 由关于的积分给出 $\zeta$ 其 中 $z$ 作为参数出现, 将被积函数展开为以下形式的帛级数是标准程序 $\sum d_\alpha(\zeta)(z-b)^\alpha$ 并逐顺整合。
为了获得适合被积函数的系列, 我们首先展开每个因子 $1 /\left(\zeta_j-z_j\right)$ 大约 $z_j=b_j$ :
$$
\frac{1}{\zeta_j-z_j}=\frac{1}{\zeta_j-b_j-\left(z_j-b_j\right)}=\frac{1}{\zeta_j-b_j} \frac{1}{1-\frac{z_j-b_j}{\zeta_j-b_j}}=\sum_{p=0}^{\infty} \frac{\left(z_j-b_j\right)^p}{\left(\zeta_j-b_j\right)^{p+1}}
$$

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微观经济学代写

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机器学习(ML)是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域,也就是说,利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据(称为训练数据)建立模型,以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中,如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉,在这些应用中,开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关,统计学专注于使用计算机进行预测,但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。



统计推断代写

统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多,包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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