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计算机代写|机器学习代写MACHINE LEARNING代考|KIT315 Gaussian Basis Regression

计算机代写|机器学习代考MACHINE LEARNING代考|Gaussian Basis Regression

Section $3.2$ showed how to extend linear regression by first transforming the feature $x$ using a vector-valued feature map $\Phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$. The output of this feature map are the transformed features $\Phi(x)$ which are fed, in turn, to a linear map $h(\Phi(x))=$ $\mathbf{w}^T \Phi(x)$. Polynomial regression in Sect. $3.2$ has been obtained for the specific feature map (3.6) whose entries are the powers $x^l$ of the scalar original feature $x$. However, it is possible to use other functions, different from polynomials, to construct the feature map Ф. We can extend linear regression using an arbitrary feature map
$$
\Phi(x)=\left(\phi_1(x), \ldots, \phi_n(x)\right)^T
$$
with the scalar maps $\phi_j: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ which are referred to as basis functions. The choice of basis functions depends heavily on the particular application and the underlying relation between features and labels of the observed datapoints. The basis functions underlying polynomial regression are $\phi_j(x)=x^j$.
Another popular choice for the basis functions are “Gaussians”
$$
\phi_{\sigma, \mu}(x)=\exp \left(-\left(1 /\left(2 \sigma^2\right)\right)(x-\mu)^2\right)
$$
The family (3.12) of maps is parameterized by the variance $\sigma^2$ and the mean (shift) $\mu$. We obtain Gaussian basis linear regression by combining the feature map
$$
\Phi(x)=\left(\phi_{\sigma_1, \mu_1}(x), \ldots, \phi_{\sigma_n, \mu_n}(x)\right)^T
$$
with linear regression (see Fig. 3.5). The resulting hypothesis space is then
$$
\begin{gathered}
\mathcal{H}{\text {Gauss }}^{(n)}=\left{h^{(\mathbf{w})}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: h^{(\mathbf{w})}(x)=\sum{j=1}^n w_j \phi_{\sigma_j, \mu_j}(x)\right. \
\text { with weights } \left.\mathbf{w}=\left(w_1, \ldots, w_n\right)^T \in \mathbb{R}^n\right}
\end{gathered}
$$

计算机代写|机器学习代考MACHINE LEARNING代考|Logistic Regression

Logistic regression is a method for classifying datapoints which are characterized by feature vectors $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ (feature space $\mathcal{X}=\mathbb{R}^n$ ) according to two categories which are encoded by a label $y$. It will be convenient to use the label space $\mathcal{Y}=\mathbb{R}$ and encode the two label values as $y=1$ and $y=-1$. Logistic regression learns a hypothesis out of the hypothesis space $\mathcal{H}^{(n)}$ (see (3.1)). ${ }^2$ Note that the hypothesis space is the same as used in linear regression (see Sect. 3.1).

At first sight, it seems wasteful to use a linear hypothesis $h(\mathbf{x})=\mathbf{w}^T \mathbf{x}$, with some weight vector $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$, to predict a binary label $y$. Indeed, while the prediction $h(\mathbf{x})$ can take any real number, the label $y \in{-1,1}$ takes on only one of the two real numbers 1 and $-1$.

It turns out that even for binary labels it is quite useful to use a hypothesis map $h$ which can take on arbitrary real numbers. We can always obtain a predicted label $\hat{y} \in{-1,1}$ by comparing hypothesis value $h(\mathbf{x})$ with a threshold. A data point with features $\mathbf{x}$, is classified as $\hat{y}=1$ if $h(\mathbf{x}) \geq 0$ and $\hat{y}=-1$ for $h(\mathbf{x})<0$. Thus, we use the sign of the predictor $h$ to determine the final prediction for the label. The absolute value $|h(\mathbf{x})|$ is then used to quantify the reliability of (or confidence in) the classification $\hat{y}$.

Consider two datapoints with feature vectors $\mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{x}^{(2)}$ and a linear classifier map $h$ yielding the function values $h\left(\mathbf{x}^{(1)}\right)=1 / 10$ and $h\left(\mathbf{x}^{(2)}\right)=100$. Whereas the predictions for both datapoints result in the same label predictions, i.e., $\hat{y}^{(1)}=\hat{y}^{(2)}=1$, the classification of the data point with feature vector $\mathbf{x}^{(2)}$ seems to be much more reliable.

Logistic regression uses the logistic loss (2.12) to assess the quality of a particular hypothesis $h^{(\mathbf{w})} \in \mathcal{H}^{(n)}$. In particular, given some labeled training set $\mathcal{D}=$ $\left{\mathbf{x}^{(i)}, y^{(i)}\right}_{i=1}^m$, logistic regression tries to minimize the empirical risk (average logistic loss)
$$
\begin{aligned}
\widehat{L}(\mathbf{w} \mid \mathcal{D}) &=(1 / m) \sum_{i=1}^m \log \left(1+\exp \left(-y^{(i)} h^{(\mathbf{w})}\left(\mathbf{x}^{(i)}\right)\right)\right) \
\stackrel{h^{(\mathbf{w})}(\mathbf{x})=\mathbf{w}^T \mathbf{x}}{=}(1 / m) \sum_{i=1}^m \log \left(1+\exp \left(-y^{(i)} \mathbf{w}^T \mathbf{x}^{(i)}\right)\right)
\end{aligned}
$$

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部分 $3.2$ 展示了如何通过首先转换特征来扩展线性回归 $x$ 使用向量值特征图 $\Phi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$. 此特征图的输出是 转换后的特征 $\Phi(x)$ 依次将其馈送到线性映射 $h(\Phi(x))=\mathbf{w}^T \Phi(x)$. Sect 中的多项式回归。3.2已经获得 了特定的特征图 (3.6), 其条目是权力 $x^l$ 标量原始特征 $x$. 然而, 可以使用不同于多项式的其他函数来构造 特征图 $\Phi$ 。我们可以使用任意特征图扩展线性回归
$$
\Phi(x)=\left(\phi_1(x), \ldots, \phi_n(x)\right)^T
$$
与标荲映射 $\phi_j: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 称为基函数。基函数的选择在很大程度上取决于特定的应用程序以及观察到的数据 点的特征和标签之间的潜在关系。多项式回归的基函数是 $\phi_j(x)=x^j$. 基函数的另一个流行选择是 “高斯函数”
$$
\phi_{\sigma, \mu}(x)=\exp \left(-\left(1 /\left(2 \sigma^2\right)\right)(x-\mu)^2\right)
$$
映射族 (3.12) 由方差参数化 $\sigma^2$ 和平均值 (偏移) $\mu$. 我们通过结合特征图得到高斯基线性回归
$$
\Phi(x)=\left(\phi_{\sigma_1, \mu_1}(x), \ldots, \phi_{\sigma_n, \mu_n}(x)\right)^T
$$
线性回归(见图 3.5)。由此产生的假设空间是
$\backslash$ begin ${$ gathered $} \backslash \operatorname{mathcal}{\mathrm{H}} \backslash \backslash$ text ${$ Gauss $}}^{\wedge}{(\mathrm{n})}=\backslash l$ eft $\left{\mathrm{h}^{\wedge}{(\backslash \operatorname{mathbf}{\mathrm{w}})}\right.$ : $\backslash \operatorname{mathbb}{\mathrm{R}} \backslash \operatorname{rightarrow} \backslash \operatorname{mathbb}{\mathrm{R}}$ :


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逻辑回归是一种对以特征向量为特征的数据点进行分类的方法 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ (特征空间 $\mathcal{X}=\mathbb{R}^n$ ) 根据由标签编码 的两个类别 $y$. 使用标鉴空间会很方便 $\mathcal{Y}=\mathbb{R}$ 并将两个标签值编码为 $y=1$ 和 $y=-1$. 逻辑回归从假设空间 中学习假设 $\mathcal{H}^{(n)}$ (见 (3.1))。 ${ }^2$ 请注意, 假设空间与线性回归中使用的相同(参见第 $3.1$ 节)。
乍一看, 使用线性假设似平很浪费 $h(\mathbf{x})=\mathbf{w}^T \mathbf{x}$, 有一些权重向鲤 $\mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$, 预测二元标签 $y$. 事实上, 虽然 预测 $h(\mathbf{x})$ 可以取任意实数,标鉴 $y \in-1,1$ 仅取两个实数 1 和 $-1$.
事实证明, 即使对于二进制标签, 使用假设图也非常有用 $h$ 它可以采用任意实数。我们总能得到一个预测标 签 $\hat{y} \in-1$, 1通过比较假设值 $h(\mathbf{x})$ 有一个门槛。具有特征的数据点 $\mathbf{x}$, 被分类为 $\hat{y}=1$ 如果 $h(\mathbf{x}) \geq 0$ 和 $\hat{y}=-1$ 为了 $h(\mathbf{x})<0$. 因此, 我们使用预测变量的符号 $h$ 确定标签的最终预测。绝对值 $|h(\mathbf{x})|$ 然后用于量 化分类的可靠性(或置信度) $\hat{y}$.
考虑两个具有特征向量的数据点 $\mathbf{x}^{(1)}, \mathbf{x}^{(2)}$ 和一个线性分类器图 $h$ 产生函数值 $h\left(\mathbf{x}^{(1)}\right)=1 / 10$ 和 $h\left(\mathbf{x}^{(2)}\right)=100$. 而对两个数据点的预测导致相同的标签预测, 即 $\hat{y}^{(1)}=\hat{y}^{(2)}=1$, 数据点与特征向量的 分类 $\mathbf{x}^{(2)}$ 似平更可靠。
逻辑回归使用逻辑损失 (2.12) 来评估特定假设的质荲 $h^{(\mathrm{w})} \in \mathcal{H}^{(n)}$. 特别是, 给定一些带标签的讯练集 $\mathcal{D}=$ $\backslash l$ eft $\left{\backslash m a t h b f{x}^{\wedge}{(\mathrm{i})}, y^{\wedge}{(\mathrm{i})} \backslash r i g h t\right}_{-}{\mathrm{i}=1}^{\wedge} \mathrm{m}$, 逻辑回归试图最小化经验风险 (平均逻辑损失)

计算机代写|机器学习代考MACHINE LEARNING代写

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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