数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MATH408 Generalized Eigenvalue Problems

如果你也在 怎样代写数值分析Numerical analysis MATH408这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数值分析Numerical analysis是数学的一个分支,使用数字近似法解决连续问题。它涉及到设计能给出近似但精确的数字解决方案的方法,这在精确解决方案不可能或计算成本过高的情况下很有用。

数值分析Numerical analysis是研究使用数值近似的算法(相对于符号操作)来解决数学分析的问题(区别于离散数学)。它是研究试图寻找问题的近似解而不是精确解的数值方法。数值分析在工程和物理科学的所有领域都有应用,在21世纪还包括生命科学和社会科学、医学、商业甚至艺术领域。目前计算能力的增长使得更复杂的数值分析的使用成为可能,在科学和工程中提供详细和现实的数学模型。数值分析的例子包括:天体力学中的常微分方程(预测行星、恒星和星系的运动),数据分析中的数值线性代数,以及用于模拟医学和生物学中活细胞的随机微分方程和马尔科夫链。

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数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MATH408 Generalized Eigenvalue Problems

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Generalized Eigenvalue Problems

In applications one frequently encounters eigenvalue problems of the following form: For given $n \times n$ matrices $A, B$, numbers $\lambda$ are to be found such that there exists a vector $x \neq 0$ with
$$
A x=\lambda B x .
$$
For nonsingular matrices $B$, this is equivalent to the classical eigenvalue problem
$$
B^{-1} A x=\lambda x
$$
for the matrix $B^{-1} A$ (a similar statement holds if $A^{-1}$ exists). Now usually, in applications, the matrices $A$ and $B$ are real symmetric, and in addition $B$ is positive definite. Although in general $B^{-1} A$ is not symmetric, it is still possible to reduce (6.8.1) to a classical eigenvalue problem for symmetric matrices: If
$$
B=L L^T
$$

is the Choleski decomposition of the positive definite matrix $B$, then $L$ is nonsingular and $B^{-1} A$ similar to the matrix $G:=L^{-1} A\left(L^{-1}\right)^T$,
$$
L^T\left(B^{-1} A\right)\left(L^T\right)^{-1}=L^T\left(L^T\right)^{-1} L^{-1} A\left(L^{-1}\right)^T=L^{-1} A\left(L^{-1}\right)^T=G .
$$
But now, the matrix $G$, like $A$, is symmetric. The eigenvalues $\lambda$ of (6.8.1) are thus precisely the eigenvalues of the symmetric matrix $G$.

The computation of $G$ can be simplified as follows: One first computes
$$
F:=A\left(L^{-1}\right)^T
$$
by solving $F L^T=A$, and then obtains
$$
G=L^{-1} F
$$
from the equation $L G=F$. In view of the symmetry of $G$ it suffices to determine the elements below the diagonal of $G$. For this, knowledge of the lower triangle of $F\left(f_{i k}\right.$ with $k \leq i$ ) is sufficient. It suffices, therefore, to compute only these elements of $F$ from the equation $F L^T=A$.

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Estimation of Eigenvalues

Using the concepts of vector and matrix norm developed in Section $4.4$, we now wish to give some simple estimates for the eigenvalues of a matrix. We assume that for $x \in \mathbb{C}^n$
$$
|x|
$$
is a given vector norm and
$$
\operatorname{lub}(A)=\max {x \neq 0} \frac{|A x|}{|x|} $$ the associated matrix norm. In particular, we employ the maximum norm $$ |x|{\infty}=\max i\left|x_i\right|, \quad \operatorname{lub}{\infty}(A)=\max i \sum_k\left|a{i, k}\right| .
$$
We distinguish between two types of eigenvalue estimations:
(1) exclusion theorems,

(2) inclusion theorems.
Exclusion theorems give domains in the complex plane which contain no eigenvalue (or whose complement contains all eigenvalues); inclusion theorems give domains in which there lies at least one eigenvalue.
An exclusion theorem of the simplest type is
(6.9.1) Theorem (Hirsch). For all eigenvalues $\lambda$ of A one has
$$
|\lambda| \leq \operatorname{lub}(A) .
$$
PRoOF. If $x$ is an eigenvector to the eigenvalue $\lambda$, then from
$$
A x=\lambda x, \quad x \neq 0,
$$
there follows
$$
\begin{gathered}
|\lambda x|=|\lambda| \cdot|x| \leq \operatorname{lub}(A) \cdot|x| \
|\lambda| \leq \operatorname{lub}(A)
\end{gathered}
$$
If $\lambda_i$ are the eigenvalues of $A$, then
$$
\rho(A):=\max _{1 \leq i \leq n}\left|\lambda_i\right|
$$
is called the spectral radius of $A$. By (6.9.1) we have $\rho(A) \leq \operatorname{lub}(A)$ for every vector norm.

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MATH408 Generalized Eigenvalue Problems

数值分析代写

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Generalized Eigenvalue Problems


在应用中, 经常会遇到以下形式的特征值问题: 对于给定的 $n \times n$ 矩阵 $A, B$, 数字 $\lambda$ 被发现使得存在一 个向里 $x \neq 0$ 和
$$
A x=\lambda B x .
$$
对于非奇异矩阵 $B$, 这等价于经典的特征值问题
$$
B^{-1} A x=\lambda x
$$
对于矩阵 $B^{-1} A$ (如果 $A^{-1}$ 存在)。现在通常, 在应用程序中, 矩阵 $A$ 和 $B$ 是实对称的, 此外 $B$ 是正定 的。虽然一船 $B^{-1} A$ 不对称, 仍然可以将 (6.8.1) 化简为对称矩阵的经典特征值问题: 如果
$$
B=L L^T
$$
是正定矩阵的 Choleski 分解 $B$, 然后 $L$ 是非奇异的并且 $B^{-1} A$ 类似于矩阵 $G:=L^{-1} A\left(L^{-1}\right)^T$,
$$
L^T\left(B^{-1} A\right)\left(L^T\right)^{-1}=L^T\left(L^T\right)^{-1} L^{-1} A\left(L^{-1}\right)^T=L^{-1} A\left(L^{-1}\right)^T=G
$$
但是现在, 矩阵 $G$, 喜欢 $A$, 是对称的。特征值 $\lambda(6.8 .1)$ 的因此恰好是对称矩阵的特征值 $G$.
的计算 $G$ 可以简化如下: 首先计算
$$
F:=A\left(L^{-1}\right)^T
$$
通过解垐 $F L^T=A$, 然后得到
$$
G=L^{-1} F
$$
从等式 $L G=F$. 鉴于对称性 $G$ 足以确定对角线下方的元素 $G$. 为此, 下三角的知识 $F\left(f_{i k}\right.$ 和 $\left.k \leq i\right)$ 足 够了。因此, 仅计算这些元素就足够了 $F$ 外等式 $F L^T=A$.


数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|Estimation of Eigenvalues


使用第节中开发的向里和矩阵范数的摡念 $4.4$, 我们现在希望对矩阵的特征值给出一些简单的古计。我 们假设对于 $x \in \mathbb{C}^n$
$|x|$
是给定的向里范数并且
$$
\operatorname{lub}(A)=\max x \neq 0 \frac{|A x|}{|x|}
$$
相关的矩阵范数。特别地, 我们悉用最大范数
$$
|x| \infty=\max i\left|x_i\right|, \quad \operatorname{lub} \infty(A)=\max i \sum_k|a i, k| .
$$
我们区分两种类型的特征值估计:
(1) 排除定理,
(2)包含定理。
排斥定理给出了夏平面中不包含特征值(或其补集包含所有特征值)的域;包含定理给出至少存在一个 特征值的域。
最简单类型的排除定理是
(6.9.1) Theorem (Hirsch)。对于所有特征值 $\lambda$ 一个有
$$
|\lambda| \leq \operatorname{lub}(A)
$$
证明。如果 $x$ 是特征值的特征向里 $\lambda$, 然后耸
$$
A x=\lambda x, \quad x \neq 0,
$$
接下来是
$$
|\lambda x|=|\lambda| \cdot|x| \leq \operatorname{lub}(A) \cdot|x||\lambda| \leq \operatorname{lub}(A)
$$
如果 $\lambda_i$ 是的特征值 $A$, 然后
$$
\rho(A):=\max _{1 \leq i \leq n}\left|\lambda_i\right|
$$
称为光谱半径 $A$. 根据 (6.9.1) 我们有 $\rho(A) \leq \operatorname{lub}(A)$ 对于每个向里范数。

数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考

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微观经济学代写

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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