如果你也在 怎样代写遍历理论Ergodic theory MATH6720这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。遍历理论Ergodic theory（希腊语：ἔργον ergon “工作”，ὁδός hodos “方式”）是数学的一个分支，研究确定性动态系统的统计特性；它是遍历性的研究。在这里，统计属性是指通过各种函数沿动态系统轨迹的时间平均值的行为来表达的属性。确定性动态系统的概念假定决定动态的方程不包含任何随机扰动、噪声等。因此，我们所关注的统计数据是动力学的属性。
遍历理论Ergodic theory的一个核心问题是当一个动态系统被允许长期运行时的行为。这个方向的第一个结果是Poincaré递归定理，它声称相空间的任何子集中的几乎所有的点最终都会重访这个集合。庞加莱递归定理成立的系统是保守系统；因此所有的遍历系统都是保守的。更精确的信息由各种遍历定理提供，这些定理断言，在某些条件下，一个函数沿轨迹的时间平均值几乎到处存在，并与空间平均值有关。两个最重要的定理是Birkhoff (1931)和von Neumann的定理，它们断言沿每条轨迹的时间平均存在。对于特殊类别的遍历系统来说，这个时间平均数对几乎所有的初始点都是一样的：从统计学上讲，进化了很长时间的系统会 “忘记 “其初始状态。更强的属性，如混合和等分，也被广泛研究。
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数学代写|遍历理论代考Ergodic theory代考|Ergodic Properties
In this section, we first prove that if $f, \mathscr{C}, d$, and $\phi$ satisfies the Assumptions, then any edge in the cell decompositions induced by $f$ and $\mathscr{C}$ is a zero set with respect to the measures $m_\phi$ or $\mu_\phi$. This result is also important for Theorem $5.45$. We then show in Theorem $5.41$ that the measure-preserving transformation $f$ of the probability space $\left(S^2, \mu_\phi\right)$ is exact (Definition $5.40$ ), and as an immediate consequence, mixing (Corollary 5.44). Another consequence of Theorem $5.41$ is that $\mu_\phi$ is non-atomic (Corollary 5.42).
Proposition 5.39 Let $f, \mathscr{C}, n_{\mathscr{C}}, d, \phi$, $\alpha$ satisfy the Assumptions. Let $\mu_\phi$ be the unique equilibrium state for $f$ and $\phi$, and $m_\phi$ be as in Corollary 5.32. Then
$$
m_\phi\left(\bigcup_{i=0}^{+\infty} f^{-i}(\mathscr{C})\right)=\mu_\phi\left(\bigcup_{i=0}^{+\infty} f^{-i}(\mathscr{C})\right)=0
$$
Proof Since $\mu_\phi \in \mathscr{M}\left(S^2, f\right)$ is $f$-invariant, and $\mathscr{C} \subseteq f^{-i n_{\mathscr{E}}}(\mathscr{C})$ for each $i \in \mathbb{N}$, we have $\mu_\phi\left(f^{-i n_{\mathscr{S}}}(\mathscr{C}) \backslash \mathscr{C}\right)=0$ for each $i \in \mathbb{N}$. Since $f$ is expanding, by Lemma 5.11, there exist $m \in \mathbb{N}$ and an $\left(m n_{\mathscr{C}}\right)$-tile $X \in \mathbf{X}^{m n_{\mathscr{C}}}$ such that $X \cap \mathscr{C}=\emptyset$. Then $\partial X \subseteq$ $f^{m n_{\mathscr{C}}}(\mathscr{C}) \backslash \mathscr{C}$. So $\mu_\phi(\partial X)=0$. Since $\mu_\phi=u_\phi m_\phi$, where $u_\phi$ is bounded away from 0 (see Theorem 5.17), we have $m_\phi(\partial X)=0$. Note that $\left.f^{m n \mathscr{E}^{\ell}}\right|{\partial X}$ is a homeomorphism from $\partial X$ to $\mathscr{C}$ (see Proposition 2.6). Thus by the information on the Jacobian for $f$ with respect to $m\phi$ in Theorem $5.12$, we get $m_\phi(\mathscr{C})=0$.
Now suppose there exist $k \in \mathbb{N}$ and a $k$-edge $e \in \mathbf{E}^k$ such that $m_\phi(e)>0$. Then by using the Jacobian for $f$ with respect to $m_\phi$ again, we get $m_\phi(\mathscr{C})>0$, a contradiction. Hence $m_\phi\left(\bigcup_{i=0}^{+\infty} f^{-i}(\mathscr{C})\right)=0$. Since $\mu_\phi=u_\phi m_\phi$, we get $\mu_\phi\left(\bigcup_{i=0}^{+\infty} f^{-i}(\mathscr{C})\right)=0$.
For each Borel measure $\mu$ on a compact metric space $(X, d)$, we denote by $\bar{\mu}$ the completion of $\mu$, i.e., $\bar{\mu}$ is the unique measure defined on the smallest $\sigma$-algebra $\overline{\mathscr{B}}$ containing all Borel sets and all subsets of $\mu$-null sets, satisfying $\bar{\mu}(E)=\mu(E)$ for each Borel set $E \subseteq X$.
数学代写|遍历理论代考Ergodic theory代考|Co-homologous Potentials
The goal of this section is to prove in Theorem $5.45$ that two equilibrium states are identical if and only if there exists a constant $K \in \mathbb{R}$ such that $K \mathbb{1}{S^2}$ and the difference of the corresponding potentials are co-homologous (see Definition 5.46). We use some of the ideas from [PU10] in the process of proving Theorem 5.45. We establish a form of the closing lemma for expanding Thurston maps in Lemma 5.50. Theorem 5.45 Let $f: S^2 \rightarrow S^2$ be an expanding Thurston map, and $d$ be a visual metric on $S^2$ for $f$. Let $\phi, \psi \in C^{0, \alpha}\left(S^2, d\right)$ be real-valued Hölder continuous functions with an exponent $\alpha \in(0,1]$. Let $\mu\phi$ (resp. $\left.\mu_\psi\right)$ be the unique equilibrium state for $f$ and $\phi$ (resp. $\psi)$. Then $\mu_\phi=\mu_\psi$ if and only if there exists a constant $K \in \mathbb{R}$ such that $\phi-\psi$ and $K \mathbb{1}_{S^2}$ are co-homologous in the space $C\left(S^2\right)$ of real-valued continuous functions.
Definition $5.46$ Let $g: X \rightarrow X$ be a continuous map on a metric space $(X, d)$. Let $\mathscr{K} \subseteq C(X, \mathbb{C})$ be a subspace of the space $C(X, \mathbb{C})$ of complex-valued continuous function on $X$. Two functions $\phi, \psi \in C(X, \mathbb{C}$ ) are said to be co-homologous (in $\mathscr{K})$ if there exists $u \in \mathscr{K}$ such that $\phi-\psi=u \circ g-u$.
Remark 5.47 As we will see in the proof of Theorem $5.45$ at the end of this section, if $\mu_\phi=\mu_\psi$ then the corresponding $u$ can be chosen from $C^{0, \alpha}\left(S^2, d\right)$.
Lemma $5.48$ Let $f$ and $\mathscr{C}$ satisfy the Assumptions. If $f(\mathscr{C}) \subseteq \mathscr{C}$, then for $m, n \in$ $\mathbb{N}$ with $m \geq n$ and each $m$-vertex $v^m \in \mathbf{V}^m(f, \mathscr{C})$ with $\bar{W}^m\left(v^m\right) \subseteq W^{m-n}\left(f^n\left(v^m\right)\right)$, there exists $x \in \bar{W}^m\left(v^m\right)$ such that $f^n(x)=x$.
Here $\bar{W}^m\left(v^m\right)$ denotes the closure of the open set $W^m\left(v^m\right)$.
Proof Since $v^m \in W^{m-n}\left(f^n\left(v^m\right)\right)$ and $f(\mathscr{C}) \subseteq \mathscr{C}$, depending on the location of $v^m$, there are exactly three cases, namely, (i) $v^m=f^n\left(v^m\right)$; (ii) $v^m$ is contained in the interior of some $(m-n)$-edge; (iii) $v^m$ is contained in the interior of some $(m-n)$ tile. We will find a fixed point $x \in \bar{W}^m\left(v^m\right)$ of $f^n$ in each case.
Case 1. When $v^m=f^n\left(v^m\right)$, we can just set $x=v^m$.
遍历理论代考
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在本节中, 我们首先证明如果 $f, \mathscr{C}, d$, 和 $\phi$ 满足假设, 则由以下因素引起的细胞分解中的任何边缘 $f$ 和 $\mathscr{C}$ 是 关于措施的霝集 $m_\phi$ 或者 $\mu_\phi$. 这个结果对定理也很重要 $5.45$. 然后我们在定理中证明 $5.41$ 保测变换 $f$ 概率空 间 $\left(S^2, \mu_\phi\right)$ 是准确的 (定义 $\left.5.40\right)$, 并作为直接结果, 混合 (推论 5.44)。定理的另一个结果5.41就是它 $\mu_\phi$ 是非原子的（推论 5.42）。
提案 $5.39$ 让 $f, \mathscr{C}, n_{\mathscr{C}}, d, \phi, \alpha$ 满足假设。让 $\mu_\phi$ 是唯一的平衡状态 $f$ 和 $\phi$, 和 $m_\phi$ 与推论 $5.32$ 一样。然后
$$
m_\phi\left(\bigcup_{i=0}^{+\infty} f^{-i}(\mathscr{C})\right)=\mu_\phi\left(\bigcup_{i=0}^{+\infty} f^{-i}(\mathscr{C})\right)=0
$$
证明自 $\mu_\phi \in \mathscr{M}\left(S^2, f\right)$ 是 $f$-不变的, 和 $\mathscr{C} \subseteq f^{-i n_S}(\mathscr{C})$ 每个 $i \in \mathbb{N}$, 我们有 $\mu_\phi\left(f^{-i n_{\mathscr{Y}}}(\mathscr{C}) \backslash \mathscr{C}\right)=0$ 每个 $i \in \mathbb{N}$. 自从 $f$ 正在扩展, 由引理 $5.11$, 存在 $m \in \mathbb{N}$ 和 $\left(m n_{\mathscr{C}}\right)$-瓦 $X \in \mathbf{X}^{m \mathscr{C}{\mathscr{C}}}$ 这样 $X \cap \mathscr{C}=\emptyset$. 然后 $\partial X \subseteq f^{m n{\mathscr{C}}}(\mathscr{C}) \backslash \mathscr{C}$. 所以 $\mu_\phi(\partial X)=0$. 自从 $\mu_\phi=u_\phi m_\phi$ ，在哪里 $u_\phi$ 离 0 有界 (见定理 5.17), 我
(seeProposition 2.6). Thusbythein formationontheJacobian for Fwithrespectto $\ \$ inTheorem $5.12$, wegetm_ $\backslash \mathrm{phi}(\backslash \operatorname{mathscr}{\mathrm{C}})=0$ \$。
现在假设存在 $k \in \mathbb{N}$ 和一个 $k$-边缘 $e \in \mathbf{E}^k$ 这样 $m_\phi(e)>0$. 然后通过使用雅可比矩阵 $f$ 关于 $m_\phi$ 再次, 我 们得到 $m_\phi(\mathscr{C})>0$, 矛盾。因此 $m_\phi\left(\bigcup_{i=0}^{+\infty} f^{-i}(\mathscr{C})\right)=0$. 自从 $\mu_\phi=u_\phi m_\phi$, 我们得到 $\mu_\phi\left(\bigcup_{i=0}^{+\infty} f^{-i}(\mathscr{C})\right)=0$.
对于每个 Borel 测度 $\mu$ 在紧度黑空间 $(X, d)$, 我们用 $\bar{\mu}$ 完成 $\mu$, 那是, $\bar{\mu}$ 是在最小值上定义的唯一度量 $\sigma$-代 数 $\overline{\mathscr{B}}$ 包含所有 Borel 集和所有子集 $\mu$ – 空集, 今人满意 $\bar{\mu}(E)=\mu(E)$ 对于每个 Borel 集 $E \subseteq X$.
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本节的目的是证明定理 $5.45$ 两个平衡状态相同当且仅当存在常数 $K \in \mathbb{R}$ 这样 $K 1 S^2$ 并且相㡴电位的差异是 同源的 (见定义 5.46) 。我们在证明定理 $5.45$ 的过程中使用了 [PU10] 中的一些想法。我们在引理 $5.50$ 中建立了一种用于扩展 Thurston 映射的闭合引理形式。定理 $5.45$ 让 $f: S^2 \rightarrow S^2$ 是一个扩展的瑟斯顿地 图, 并且 $d$ 成为视觉指标 $S^2$ 为了 $f$. 让 $\phi, \psi \in C^{0, \alpha}\left(S^2, d\right)$ 是具有指数的实值 Hölder 连续函数 $\alpha \in(0,1]$ . 让 $\mu \phi$ (分别 $\mu_{\psi \psi}$ ) 是唯一的平衡㚭态 $f$ 和 $\phi$ (分别 $\left.\psi\right)$. 然后 $\mu_\phi=\mu_\psi$ 当且仅当存在常数 $K \in \mathbb{R}$ 这样 $\phi-\psi$ 和 $K 1_{S^2}$ 在空间上同源 $C\left(S^2\right)$ 的实值连续函数。
定义5.46让 $g: X \rightarrow X$ 是度量空间上的连续映射 $(X, d)$. 让 $\mathscr{K} \subseteq C(X, \mathbb{C})$ 是空间的子空间 $C(X, \mathbb{C})$ 上 的复值连续函数 $X$. 两大功能 $\phi, \psi \in C(X, \mathbb{C}$ ) 被认为是共同源的 (在 $\mathscr{K})$ 如果存在 $u \in \mathscr{K}$ 这样 $\phi-\psi=u \circ g-u$.
备注 $5.47$ 正如我们将在定理的证明中看到的 $5.45$ 在本节末尾, 如果 $\mu_\phi=\mu_\psi$ 那么相应的 $u$ 可以选择 $C^{0, \alpha}\left(S^2, d\right)$
引理5.48让 $f$ 和 $\mathscr{C}$ 满足假设。如果 $f(\mathscr{C}) \subseteq \mathscr{C}$, 那么对于 $m, n \in \mathbb{N}$ 和 $m \geq n$ 和每个 $m$-顶点 $v^m \in \mathbf{V}^m(f, \mathscr{C})$ 和 $\bar{W}^m\left(v^m\right) \subseteq W^{m-n}\left(f^n\left(v^m\right)\right)$, 那里存在 $x \in \bar{W}^m\left(v^m\right)$ 这样 $f^n(x)=x$. 这里 $\bar{W}^m\left(v^m\right)$ 表示开集的闭包 $W^m\left(v^m\right)$.
证明自 $v^m \in W^{m-n}\left(f^n\left(v^m\right)\right)$ 和 $f(\mathscr{C}) \subseteq \mathscr{C}$, 取决于位置 $v^m$, 恰好有三种情况, 即 (i) $v^m=f^n\left(v^m\right)$; $\left(\right.$ 二) $v^m$ 包含在一些内部 $(m-n)$-边缘; (三) $v^m$ 包含在一些内部 $(m-n)$ 瓦。我们会找到一个固定点 $x \in \bar{W}^m\left(v^m\right)$ 的 $f^n$ 在每种情况下。
案例 1. 当 $v^m=f^n\left(v^m\right)$, 我们可以设置 $x=v^m$.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。