数学代写|椭圆曲线代考Elliptic Curves代考|MAT4240 Weierstrass Normal Form

如果你也在 怎样代写椭圆曲线Elliptic Curves MAT4240这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。椭圆曲线Elliptic Curves是一个非线性品种–也就是说,它有一个代数定义的群法,就其而言,它是一个非线性群–而$O$作为身份元素。
如果$y^2=P(x)$,其中$P$是$x$的任何三度多项式,没有重复的根,解集是属一的非星形平面曲线,即椭圆曲线。如果$P$有四度且无平方,这个方程又描述了一条属一的平面曲线;然而,它没有自然选择的特征元素。更一般地说,任何属的代数曲线椭圆曲线,例如嵌入三维投影空间的两个四维曲面的交点,被称为椭圆曲线,条件是它有一个标记点作为标识。

蒙特卡罗模拟Monte Carlo Method在数学中,椭圆曲线是一条属一的平滑、投影、代数曲线,其上有一个指定的点$O$。椭圆曲线定义在一个场$K$上,描述$K^2$中的点,即$K$与自身的笛卡尔积。如果字段的特征不同于2和3,那么该曲线可以被描述为一条平面代数曲线,它由以下的解$(x, y)$组成。
$$
y^2=x^3+a x+b
$$
对于$K$中的一些系数$a$和$b$。该曲线被要求是非星形的,这意味着该曲线没有尖峰或自交点。(这相当于条件4 a^3+27 b^2\neq 0$,即在$x$中无平方。) 人们总是理解,曲线实际上是坐在投影平面内,点$O$是无限大的唯一点。许多资料都把椭圆曲线定义为由这种形式的方程给出的曲线。(当系数场的特征为2或3时,上述方程还不够普遍,不能包括所有非星形的立方曲线;见下文$S$一般场上的椭圆曲线。)

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数学代写|椭圆曲线代考Elliptic Curves代考|MAT4240 Weierstrass Normal Form

数学代写|椭圆曲线代考Elliptic Curves代考|Weierstrass Normal Form

We are going to prove Mordell’s theorem as Mordell did, using explicit formulas for the addition law. To make these formulas as simple as possible, it is important to know that any cubic with a rational point can be transformed into a certain special form called Weierstrass normal form. We will not completely prove this, but we will give enough of an indication of the proof so that anyone who is familiar with projective geometry can carry out the details. (See Appendix A for an introduction to projective geometry.) Also, we will work out a specific example to illustrate the general theory. After that, we will restrict attention to cubics that are given in Weierstrass form, which classically consists of equations that look like
$$
y^2=4 x^3-g_2 x-g_3 .
$$
We will also use the slightly modified and more general equation
$$
y^2=x^3+a x^2+b x+c,
$$
and we will call either of them Weierstrass form. What we need to show is that any cubic is, as one says, birationally equivalent to a cubic of this type. We now explain what this means, assuming that the reader knows a (very) little bit of projective geometry.

数学代写|椭圆曲线代考Elliptic Curves代考|Explicit Formulas for the Group Law

We are going to look at the group of points on a non-singular cubic a little more closely. If you are familiar with projective geometry, then you will not have any trouble; and if not, then you will have to accept a point at infinity, but only one. (If you have never studied any projective geometry, you might also want to look at the first two sections of Appendix A.)
We start with the equation
$$
y^2=x^3+a x^2+b x+c
$$
and make it homogeneous by setting $x=X / Z$ and $y=Y / Z$, yielding
$$
Y^2 Z=X^3+a X^2 Z+b X Z^2+c Z^3 \text {. }
$$
What is the intersection of this cubic with the line at infinity $Z=0$ ? Substituting $Z=0$ into the equation gives $X^3=0$, which has a triple root $X=0$. This means that the cubic meets the line at infinity in three points, but the three points are all the same! So a cubic has exactly one point at infinity, namely the point at infinity where vertical lines (that is, lines $x=$ constant) meet. The point at infinity is an inflection point of the cubic, the tangent line at that point is the line at infinity, and that tangent line meets the curve with multiplicity three. And one easily checks that the point at infinity is a non-singular point by looking at the partial derivatives there. So for a cubic in Weierstrass form, there is one point at infinity, and it is non-singular. We will call that point $\mathcal{O}$.

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椭圆曲线代考

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我们将像 Mordell 那样使用加法定律的显式公式来证明 Mordell 定理。为了使这些公式尽可能简单, 重要 的是要知道任何具有有理点的立方体都可以转换为某种特殊形式, 称为 Weierstrass 范式。我们不会完全 证明这一点, 但我们会给出足够的证据说明, 以便任何熟悉射影几何的人都可以执行细节。〈有关射影几何 的介绍, 请参阅附录 A。) 此外, 我们将制定一个具体示例来说明一般理论。在那之后, 我们将把注意力限 制在以 Weierstrass 形式给出的三次方, 它通常由看起来像的方程组成
$$
y^2=4 x^3-g_2 x-g_3 .
$$
我们还将使用稍微修改过的更通用的方程式
$$
y^2=x^3+a x^2+b x+c,
$$
我们将称它们中的任何一个为 Weierstrass 形式。我们需要证明的是, 正如人们所说, 任何立方体都双有 理等价于这种类型的立方体。我们现在解释这意味着什么,假设读者知道一点射影几何。


数学代写|椭圆曲线代考Elliptic Curves 代考|Explicit Formulas for the Group Law


我们将更仔细地研究非奇异立方体上的点群。如果你熟悉射影几何, 那么你就不会遇到任何麻烦; 如果不 是, 那么您将不得不接受无穷远点, 但只能接受一个点。\cjkstart如果你从末研究过任何射影几何, 你可能还想看 看附录 $A$ 的前两部分。)
我们从等式开始
$$
y^2=x^3+a x^2+b x+c
$$
并通过设置使其均匀 $x=X / Z$ 和 $y=Y / Z$, 屈服
$$
Y^2 Z=X^3+a X^2 Z+b X Z^2+c Z^3 .
$$
这个立方体与无穷远直线的交点是多少 $Z=0 ?$ 代入 $Z=0$ 进入等式给出 $X^3=0$, 它有一个三重根 $X=0$ . 这意味着立方体在三点与无穷远直线相交, 但这三点都是一样的! 所以一个立方体恰好有一个无穷远点, 即垂直线 (即直线) 所在的无穷远点 $x=$ 常数) 满足。无穷远点是三次曲线的拐点, 该点的切线是无穷远直 线, 该切线与重数为 3 的曲线相交。通过查看那里的偏导数, 可以很容易地检查无穷远点是否为非奇异点。 所以对于 Weierstrass 形式的立方体, 在无穷远处有一个点, 并且它是非奇异的。我们称那个点 $\mathcal{O}$.

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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