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示性类Characteristic Classes在本质上是同调理论的现象–它们是反变量的构造，其方式是节是空间上的一种函数，而要从节的存在导致矛盾，我们确实需要这种变异。事实上，同调理论是在同调和同构理论之后发展起来的，而同调和同构理论都是基于映射到空间的协变理论；特征类理论在1930年代的萌芽阶段（作为阻碍理论的一部分）是寻求同调的 “对偶 “理论的一个主要原因。曲率不变量的特征类方法是建立理论的一个特殊原因，以证明一个一般的高斯-邦尼特定理。
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数学代写|示性类代考Characteristic Classes代考|Characteristic classes of flat product bundles
Characteristic classes of flat product bundles. Let $\pi: P \rightarrow M$ be a flat $G$-bundle and let $\omega \in A^1(P ; \mathfrak{g})$ be the corresponding flat connection. As we saw in $\S 2.2 .1, \omega$ induces a homoinorphism which commutes with the operation of taking exterior differentiation, namely a d.g.a. map
$$
\omega: \Lambda^* \mathfrak{g}^* \longrightarrow A^(P) . $$ Hence, in view of the motivation for the definition of cohomology of Lie algebras mentioned there, we have a linear map (2.13) $\quad \omega^: H^(\mathfrak{g})=H^\left(\Lambda^* \mathfrak{g}^* ; d\right) \longrightarrow H^(P ; \mathbb{R})$ which can be regarded as giving characteristic classes of flat bundles. However, characteristic classes are generally defined as cohomology classes of base spaces. Nevertheless, in the above we have cohomology classes of the total space rather than those of the base space. If we are given a section $s: M \rightarrow P$, then we obtain cohomology classes of the base space by composing the induced homomorphism $s^: H^(P ; \mathbb{R}) \rightarrow H^(M ; \mathbb{R})$ with (2.13). On the other hand, it is the same thing to give a section $s$ to a principal $G$-bundle and to give a trivialization $P \sim M \times G$ as principal $G$-bundles. This can be seen by the correspondence $M \times G \ni(p, g) \mapsto s(p) g \in P$. With these facts in mind, we make the following definition.
数学代写|示性类代考Characteristic Classes代考|Definition of characteristic classes of flat bundles
Definition of characteristic classes of flat bundles. By improving the consideration in the previous subsection, we define characteristic classes of any general flat $G$-bundle $\pi: P \rightarrow M$. In this case, a given $G$-bundle may not be a trivial bundle as a principal $G$ bundle. Hence we cannot assume the existence of a section $s: M \rightarrow$ $P$, and so it is not possible to obtain cohomology classes of the base space as in Definition 2.17.
We therefore take a maximal compact subgroup $K$ of $G$ and consider the quotient space $G / K$. Then the projection $\pi: P \rightarrow M$ is the composition of two maps as shown by
(2.15) $\quad P \longrightarrow P / K \rightarrow M$
Clearly the first map
(2.16) $P \longrightarrow P / K$
has the structure of a principal $K$-bundle. Here we recall an important general fact concerning principal bundles. Let $\mathfrak{k}$ be the Lie algebra of $K$. Then a differential form on $P$ is the pullback of a form on $P / K$ if and only if the following two conditions are satisfied.
(i) The interior product with respect to a fundamental vector field on $P$ induced by any element of $\mathfrak{k}$ is 0 .
(ii) It is invariant under the action of $K$.
示性类代考
数学代写|示性类代考Characteristic Classes代考|Characteristic classes of flat product bundles
扁平产品束的特征类别。让 $\pi: P \rightarrow M$ 是一个单位 $G$-沺绑并让 $\omega \in A^1(P ; \mathfrak{g})$ 是相应的平面连接。正如我 们在 $\$ 2.2 .1, \omega$ 引同态与外微分运算互换, 即 $\mathrm{dga}$ 映射
$$
\left.\omega: \Lambda^* \mathfrak{g}^* \longrightarrow A^{(} P\right) .
$$
因此, 鉴于那里提到的李代数的上同调定义的动机, 我们有一个线性映射 (2.13)
$\left.\left.\omega^* H^{(} \mathfrak{g}\right)=H^{\left(\Lambda^* \mathfrak{g}^* ; d\right)} \longrightarrow H^{(} P ; \mathbb{R}\right)$ 这可以被视为给出扁平丛的特征类。然而, 特征类通常被定义为 基空间的上同调类。尽管如此, 在上面我们有全空间的上同调类而不是基空间的上同调类。如果给我们一个 部分 $s: M \rightarrow P$,然后我们通过组合诱导同态获得基空间的上同调类 $s: H(P ; \mathbb{R}) \rightarrow H(M ; \mathbb{R})$ 与 (2.13)。另一方面, 给一个部分是一回事 $s$ 给校长 $G$-㧽绑并进行琐碎化 $P \sim M \times G$ 作为校长 $G$-沺绑。 这个可以看信件 $M \times G \ni(p, g) \mapsto s(p) g \in P$. 考虑到这些事实, 我们做出以下定义。
数学代写|示性类代考Characteristic Classes代考|Definition of characteristic classes of flat bundles
扁平束特征类的定义。通过改进上一小节的考虑, 我们定义了任何一般公寓的特征类 $G$-沺 $\pi: P \rightarrow M$. 在 这种情况下, 给定 $G$-bundle 可能不是一个普通的 bundle 作为主体 $G$ 沺。因此我们不能假设一个部分的存 在 $s: M \rightarrow P$, 因此不可能获得定义 $2.17$ 中基空间的上同调类。
因此我们取一个最大紧子群 $K$ 的 $G$ 并考虑商空间 $G / K$. 然后投影 $\pi: P \rightarrow M$ 是两个映射的组合, 如 (2.15)所示 $P \longrightarrow P / K \rightarrow M$ 明明是第一张图
(2.16) $P \longrightarrow P / K$
具有校长的结构 $K$-沺。这里我们回顾一个关于主丛的重要一般事实。让是李代数 $K$. 然后是微分形式 $P$ 是 一种形式的回调 $P / K$ 当且仅当满足以下两个条件。
(i) 关于基本向鲤场的内积 $P$ 由任何元素引起是 0 。
(ii) 在 的作用下是不变的 $K$.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。