数学代考|李群李代数代考Lie groups and Lie algebras代写|MATH660 Weyl Group

如果你也在 怎样代写李群李代数Lie group MATH660这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。李群李代数Lie group在数学中,李群(发音为/liː/ LEE)是一个群,也是一个可微分的流形。流形是一个局部类似于欧几里得空间的空间,而群则定义了一个二元运算的抽象概念,以及它作为一个群所必须具备的附加属性,例如乘法和取反数(除法),或者等同于加法和取反数的概念(减法)。将这两个概念结合起来,就可以得到一个连续的群,其中乘法点和它们的逆子是连续的。如果乘法和取反法也是平滑的(可微分的),我们就得到了一个李群。

李群李代数Lie group根据关于李群早期历史的最权威资料(Hawkins,第1页),Sophus Lie本人认为1873-1874年的冬天是他的连续群理论的诞生日。然而,霍金斯认为是 “李在1869年秋天到1873年秋天的四年时间里进行了大量的研究活动”,导致了该理论的产生(同上)。李的一些早期想法是在与费利克斯-克莱因的密切协作中形成的。从1869年10月到1872年,李每天都与克莱因会面:1869年10月底到1870年2月底在柏林,随后两年在巴黎、哥廷根和埃朗根(同上,第2页)。李说,所有的主要成果都是在1884年之前获得的。但在19世纪70年代,他的所有论文(除了第一个注释)都发表在挪威的杂志上,这阻碍了整个欧洲其他地区对这项工作的认可(同上,第76页)。1884年,一位年轻的德国数学家弗里德里希-恩格尔(Friedrich Engel)与李合作,撰写了一篇系统的论文,阐述了他的连续群理论。这一努力产生了三卷本的《变形群理论》,分别于1888、1890和1893年出版。术语groupes de Lie于1893年首次在法语中出现在Lie的学生Arthur Tresse的论文中。

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数学代考|李群李代数代考Lie groups and Lie algebras代写|MATH660 Weyl Group

数学代考|李群李代数代考Lie groups and Lie algebras代写|Weyl Group

Let $W=W(\mathcal{G}, \mathcal{H})$ be the group generated by $s_\alpha, \alpha \in \Delta, W$ is called the Weyl group of $(\mathcal{G}, \mathcal{H}) . W$ acts also in $\mathcal{H}^$ by $$ \begin{array}{r} s_\alpha(\lambda)=\lambda-\frac{2\langle\lambda, \alpha\rangle}{\langle\alpha, \alpha\rangle} \alpha=\lambda-\left\langle\lambda, \alpha^{\vee}\right\rangle \alpha, \ \lambda \in \mathcal{H}^, \alpha \in \Delta, \alpha^{\vee} \equiv \frac{2}{\langle\alpha, \alpha\rangle} \alpha .
\end{array}
$$
which follows from (2.30).
Note that $s_\alpha(\pm \alpha)=\mp \alpha$.
Lemma 14: Each element of $W$ induces a permutation of $\Delta$.
Corollary: $W$ is a finite group (as a subgroup of the permutations of a finite number of objects).
A root $\alpha \in \Delta^{+}$is called simple root if it cannot be written as $\alpha=\beta+y, \beta, y \in \Delta^{+}$.
It is clear that the simple roots form a basis of $\Delta^{+}$, that is for any $\alpha \in \Delta^{+}$we have $\alpha=\sum_i n_i \alpha_i$ with $n_i \in \mathbb{Z}_{+}$.

Clearly the simple roots form also a basis for $\Delta^{-}$so that $\forall \alpha \in \Delta^{-}$we have $\alpha=\sum_i n_i \alpha_i$, $n_i \in \mathbb{Z}{-}$. So the simple roots form a basis of $\Delta$, and of $\mathcal{H}^*$; accordingly $\left{H{\alpha_i}: \alpha_i\right.$ a simple root form a basis of $\mathcal{H}$.
Thus, the number of simple roots is equal to $\ell=\operatorname{dim} \mathcal{H}$.
Let $\pi=\left{\alpha_1, \ldots \alpha_{\ell}\right}$ denote the set of simple roots.
Let $\alpha \in \Delta^{+}, \alpha=n_1 \alpha_1+\cdots+n_{\ell} \alpha_{\ell}$. Let us call $O(\alpha)=n_1+\cdots+n_{\ell}$ the order of root $\alpha$. (It is called also the height of the root $\alpha$, denoted as ht $\alpha$.)
Clearly $O(\alpha) \geq 1$ and $O(\alpha)=1$ iff $\alpha \in \pi$.
We shall say that a root $\alpha \in \Delta^{+}$is a highest root of $\Delta$ if $\alpha+\beta$ is not a root for any $\beta \in \Delta^{+}$.
It can be easily seen that the highest root is unique and is of maximal order.
Further the highest root will be denoted by $\tilde{\alpha}$.

数学代考|李群李代数代考Lie groups and Lie algebras代写|Cartan Matrix

Let $\alpha_i, \alpha_j \in \pi$, let $A=\left(a_{i j}\right)$ be the following matrix
$$
a_{i j}=\frac{2\left\langle\alpha_i, \alpha_j\right\rangle}{\left\langle\alpha_i, \alpha_i\right\rangle}=\left\langle\alpha_i^{\vee}, \alpha_j\right\rangle .
$$
The above matrix is called the Cartan matrix of $\Delta(\mathcal{G}, \mathcal{H})$.
Obviously $A$ obeys the following:
(1) $a_{i i}=2$ for all $\mathrm{i}$;
(2) $a_{i j}$ is an integer for all $i, j ; a_{i j} \leq 0$ if $i \neq j$;
(3) $a_{i j}=0$ iff $a_{j i}=0$;
(4) $\operatorname{det} A \neq 0$.
Two Cartan matrices $A=\left(a_{i j}\right)$ and $A^{\prime}=\left(a_{p q}^{\prime}\right)$ are said to be equivalent if they have the same rank, e.g., $r$, and if there is a permutation $i \mapsto i^{\prime}$ of ${1, \ldots, r}$ such that $a_{i j}=$ $a_{i^{\prime} j^{\prime}}^{\prime}, \quad 1 \leq i, j, i^{\prime}, j^{\prime} \leq r$.

A Cartan matrix $A$ of rank $r$ is said to be reducible if we can find a partition of ${1, \ldots, r}$ into two nonempty sets $\beta_1, \beta_2$ such that $a_{i j}=0$ for $i \in \beta_1, j \in \beta_2$; otherwise $A$ is called irreducible.

If two Cartan matrices are equivalent, and one of them is irreducible, so is the other.

数学代考|李群李代数代考Lie groups and Lie algebras代写|MATH660 Weyl Group

李群李代数代考

数学代考|李群李代数代考Lie groups and Lie algebras代写|Weyl Group

让 $W=W(\mathcal{G}, \mathcal{H})$ 是生成的组 $s_\alpha, \alpha \in \Delta, W$ 称为Weyl群 $(\mathcal{G}, \mathcal{H})$. W也作用于数学 ${\mathrm{H}}^{\wedge}$ 玡过
$$
s_\alpha(\lambda)=\lambda-\frac{2(\lambda, \alpha)}{\langle\alpha, \alpha\rangle} \alpha=\lambda-\left\langle\lambda, \alpha^{\vee}\right\rangle \alpha, \lambda \in \mathcal{H}^{\prime} \alpha \in \Delta, \alpha^{\vee} \equiv \frac{2}{\langle\alpha, \alpha\rangle} \alpha
$$

注意 $s_\alpha(\pm \alpha)=\mp \alpha$.
引理 14: 的每个元素 $W$ 引起排列 $\Delta$.
推论: $W$ 是有限群(作为有限数量对象排列的子群)。
一个根 $\alpha \in \Delta^{+}$如果不能写成, 则称为单根 $\alpha=\beta+y, \beta, y \in \Delta^{+}$.
很明显, 单根构成了 $\Delta^{+}$, 即对于任何 $\alpha \in \Delta^{+}$我们有 $\alpha=\sum_i n_i \alpha_i$ 和 $n_i \in \mathbb{Z}{+}$. 显然, 单根也构成了 $\Delta^{-}$以便 $\forall \alpha \in \Delta^{-}$涐们有 $\alpha=\sum_i n_i \alpha_i, n_i \in \mathbb{Z}-$. 所以单根构成了的基础 $\Delta$, 和 . Thus, thenumberofsimplerootsisequalto $\backslash$ ell $=\backslash$ \operatorname ${$ dim $} \backslash$ mathcal ${\mathrm{H}}$. Let $\mathrm{O}(\backslash \mathrm{alpha})=\mathrm{n}{-} 1+\backslash \mathrm{cdots}+\mathrm{n}{-}{\backslash$ ell}}theorderofroot $\backslash \mathrm{\alpha}$. (Itiscalledalsotheheightoftheroot $\backslash \mathrm{a}$ isnotaroot forany $\backslash$ beta $\backslash$ in $\backslash$ Delta $^{\wedge}{+}$ Itcanbeeasilyseenthatthehighestrootisuniqueandisofmaximalorder. Furtherthehighestrootu $\backslash$ 代字号{\alpha}\$。

数学代考李群李代数代考Lie groups and Lie algebras代写|Cartan Matrix

让 $\alpha_i, \alpha_j \in \pi$, 让 $A=\left(a{i j}\right)$ 是下面的矩阵
$$
a_{i j}=\frac{2\left\langle\alpha_i, \alpha_j\right\rangle}{\left\langle\alpha_i, \alpha_i\right\rangle}=\left\langle\alpha_i^{\vee}, \alpha_j\right\rangle
$$
上述矩阵称为 Cartan 矩阵 $\Delta(\mathcal{G}, \mathcal{H})$.
明显地 $A$ 遵守以下规定 :
(1) $a_{i i}=2$ 对所有入i;
(2) $a_{i j}$ 是所有的整数 $i, j ; a_{i j} \leq 0$ 如果 $i \neq j$;
(3) $a_{i j}=0$ 当且仅当 $a_{j i}=0$;
(4) $\operatorname{det} A \neq 0$.
两个嘉当矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)$ 和 $A^{\prime}=\left(a_{p q}^{\prime}\right)$ 如果它们具有相同的秩, 则被称为等价的, 例如, $r$, 如果有排列 $i \mapsto i^{\prime}$ 的 $1, \ldots, r$ 这样 $a_{i j}=a_{i^{\prime} j^{\prime}}^{\prime}, \quad 1 \leq i, j, i^{\prime}, j^{\prime} \leq r$.
嘉当矩阵 $A$ 等级的 $r$ 如果我们能找到一个分区, 则据说是可归约的 $1, \ldots, r$ 分为两个非空集合 $\beta_1, \beta_2$ 这样 $a_{i j}=0$ 为了 $i \in \beta_1, j \in \beta_2$; 否则 $A$ 称为不可约。
如果两个 Cartan 矩阵是等价的, 并且其中一个是不可约的, 那么另一个是。

数学代考|李群李代数代考Lie groups and Lie algebras代写

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微观经济学代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种微观经济学代写Microeconomics相关的作业也就用不着 说。

机器学习代写

机器学习(ML)是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域,也就是说,利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据(称为训练数据)建立模型,以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中,如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉,在这些应用中,开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关,统计学专注于使用计算机进行预测,但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。



统计推断代写

统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多,包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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