数学代考|微分流形代考Differential Manifold代写|MATH881 The Lie derivative

如果你也在 怎样代写微分流形Differential Manifold MATH881这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。微分流形Differential Manifold是一种流形,其局部与矢量空间足够相似,允许人们应用微积分。任何流形都可以用图表的集合来描述(图集)。然后,人们可以在各个图表中应用微积分的思想,因为每个图表都位于一个矢量空间中,微积分的通常规则适用于此。如果这些图表是适当兼容的(即从一个图表到另一个图表的过渡是可微的),那么在一个图表中进行的计算在任何其他可微图表中都是有效的。

微分流形Differential Manifold从形式上讲,可微流形是一个具有全局定义的微分结构的拓扑流形。任何拓扑流形都可以通过使用其图集中的同构体和向量空间上的标准微分结构而被赋予一个局部的微分结构。为了在由同构体引起的局部坐标系上诱导出一个全局微分结构,它们在图集中的图表交点上的组合必须是相应矢量空间上的可微函数。换句话说,当图表的领域重叠时,每个图表所定义的坐标都需要相对于图集中每个图表所定义的坐标而言是可微的。将各种图表所定义的坐标相互联系起来的地图被称为过渡地图。

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数学代考|微分流形代考Differential Manifold代写|Flows on manifolds

The notion of flow should be familiar to anyone who has had a course in ordinary differential equations. In this section we only want to describe some classical analytic facts in a geometric light. We strongly recommend $[6,12]$ for more details, and excellent examples.

A neighborhood $\mathcal{N}$ of ${0} \times M$ in $\mathbb{R} \times M$ is called balanced if, $\forall m \in M$, there exists $r \in(0, \infty]$ such that
$$
(\mathbb{R} \times{m}) \cap \mathcal{N}=(-r, r) \times{m} .
$$
Note that any continuous function $f: M \rightarrow(0, \infty)$ defines a balanced open
$$
\mathcal{N}_f:={(t, m) \in \mathbb{R} \times M ; \quad|t|<f(m)} .
$$
Definition 3.1.1. A local flow is a smooth map $\Phi: \mathcal{N} \rightarrow M,(t, m) \mapsto \Phi^t(m)$, where $\mathcal{N}$ is a balanced neighborhood of ${0} \times M$ in $\mathbb{R} \times M$, such that
(a) $\Phi^0(m)=m, \forall m \in M$
(b) $\Phi^t\left(\Phi^s(m)\right)=\Phi^{t+s}(m)$ for all $s, t \in \mathbb{R}, m \in M$ such that
$$
(s, m),(s+t, m), \quad\left(t, \Phi^s(m)\right) \in \mathcal{N} .
$$
When $\mathcal{N}=\mathbb{R} \times M, \Phi$ is called a flow
The conditions (a) and (b) above show that a flow is nothing but a left action of the additive (Lie) group $(\mathbb{R},+)$ on $M$.

数学代考|微分流形代考Differential Manifold代写|The Lie derivative

Let $X$ be a vector field on the smooth $n$-dimensional manifold $M$ and denote by $\Phi=\Phi_X$ the local flow it generates. For simplicity, we assume $\Phi$ is actually a flow so its domain is $\mathbb{R} \times M$. The local flow situation is conceptually identical, but notationally more complicated.

For each $t \in \mathbb{R}$, the map $\Phi^t$ is a diffeomorphism of $M$ and so it induces a push-forward map on the space of tensor fields. If $S$ is a tensor field on $M$ we define its Lie derivative along the direction given by $X$ as
$$
L_X S_m:=-\lim {t \rightarrow 0} \frac{1}{t}\left(\left(\Phi*^t S\right)_m-S_m\right) \quad \forall m \in M
$$

Intuitively, $L_X S$ measures how fast is the flow $\Phi$ changing ${ }^1$ the tensor $S$.
If the limit in (3.1.3) exists, then one sees that $L_X S$ is a tensor of the same type as $S$. To show that the limit exists, we will provide more explicit descriptions of this operation.
Lemma 3.1.8. For any $X \in \operatorname{Vect}(M)$ and $f \in C^{\infty}(M)$ we have
$$
X f:=L_X f=\langle d f, X\rangle=d f(X) .
$$
Above, $\langle\bullet, \bullet\rangle$ denotes the natural duality between $T^* M$ and $T M$,
$$
\begin{gathered}
\langle\bullet, \bullet\rangle: C^{\infty}\left(T^* M\right) \times C^{\infty}(T M) \rightarrow C^{\infty}(M), \
C^{\infty}\left(T^* M\right) \times C^{\infty}(T M) \ni(\alpha, X) \mapsto \alpha(X) \in C^{\infty}(M) .
\end{gathered}
$$
In particular, $L_X$ is a derivation of $C^{\infty}(M)$.
Proof. Let $\Phi^t=\Phi_X^t$ be the local flow generated by $X$. Assume for simplicity that it is defined for all $t$. The map $\Phi^t$ acts on $C^{\infty}(M)$ by the pullback of its inverse, i.e.
$$
\Phi_^t=\left(\Phi^{-t}\right)^ .
$$
Hence, for point $p \in M$ we have
$$
L_X f(p)=\lim {t \rightarrow 0} \frac{1}{t}\left(f(p)-f\left(\Phi^{-t} p\right)\right)=-\left.\frac{d}{d t}\right|{t=0} f\left(\Phi^{-t} p\right)=\langle d f, X\rangle_p .
$$

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微分流形代考

数学代考|微分流形代考Differential Manifold代写|Flows on manifolds


任何上过常微分方程课程的人都应该孰悉流的概念。在本节中, 我们只想从几何角度描述一些经典的分析事 实。我们强烈推荐 $[6,12]$ 有关更多详细信息和优秀示例。
一个街区 $\mathcal{N}$ 的 $0 \times M$ 在 $\mathbb{R} \times M$ 被称为平衡的,如果, $\forall m \in M$ ,那里存在 $r \in(0, \infty]$ 这样
$$
(\mathbb{R} \times m) \cap \mathcal{N}=(-r, r) \times m .
$$
注意任何连续函数 $f: M \rightarrow(0, \infty)$ 定义一个平衡的开放
$$
\mathcal{N}f:=(t, m) \in \mathbb{R} \times M ; \quad|t|^t S\right)_m-S_m\right) \quad \forall m \in M $$ 直觉上, $L_X$ S测量流量的速度 $\Phi$ 改变 ${ }^1$ 张量 $S$. 如果 (3.1.3) 中的极限存在, 则可以看到 $L_X S$ 是与以下类型相同的张荲 $S$. 为了表明极限存在, 我们将对这个 操作提供更明确的描述。 引理 3.1.8。对于任何 $X \in \operatorname{Vect}(M)$ 和 $f \in C^{\infty}(M)$ 我们有 $$ X f:=L_X f=\langle d f, X\rangle=d f(X) . $$ 以上, $(\bullet, \bullet)$ 表示之间的自然对偶性 $T^ M$ 和 $T M$,
$$
\langle\bullet, \bullet\rangle: C^{\infty}\left(T^* M\right) \times C^{\infty}(T M) \rightarrow C^{\infty}(M), C^{\infty}\left(T^* M\right) \times C^{\infty}(T M) \ni(\alpha, X) \mapsto \alpha(X) \in C^{\infty}(\mathbb{A}
$$
尤其是, $L_X$ 是的推导 $C^{\infty}(M)$.

数学代考|微分流形代考Differential Manifold代写|The Lie derivative


证明。让 $\Phi^t=\Phi_X^t$ 是生成的本地流 $X$. 为简单起见, 假设它是为所有人定义的 $t$. 地图 $\Phi^t$ 作用于 $C^{\infty}(M)$ 通 过其倒数的回调, 即
$\backslash$ Phi_$^{\wedge} t=\backslash$ left $(\backslash P h i \wedge{-\dagger} \backslash \backslash \text { right })^{\wedge} 。$
因此, 对于点 $p \in M$ 我们有
$$
L_X f(p)=\lim t \rightarrow 0 \frac{1}{t}\left(f(p)-f\left(\Phi^{-t} p\right)\right)=-\frac{d}{d t} \mid t=0 f\left(\Phi^{-t} p\right)=\langle d f, X\rangle_p
$$

数学代考|微分流形代考Differential Manifold代写

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微观经济学代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种微观经济学代写Microeconomics相关的作业也就用不着 说。

机器学习代写

机器学习(ML)是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域,也就是说,利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据(称为训练数据)建立模型,以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中,如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉,在这些应用中,开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关,统计学专注于使用计算机进行预测,但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。



统计推断代写

统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多,包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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