Calculus_微积分_Math323 Some Properties of Continuous Functions

如果你也在 怎样代写微积分Calculus Math323这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。微积分Calculus 最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

微积分Calculus 它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互关联,它们利用了无限序列和无限数列收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。17世纪末,牛顿(Isaac Newton)和莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz)独立开发了无限小数微积分。后来的工作,包括对极限概念的编纂,将这些发展置于更坚实的概念基础上。今天,微积分在科学、工程和社会科学中得到了广泛的应用。

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Calculus_微积分_Math323 Some Properties of Continuous Functions

Calculus_微积分_Some Properties of Continuous Functions

Recall that a subset $S$ of $\mathbb{R}$ is said to be bounded if there exists $M>0$ such that $|s| \leq M$ for all $s \in S$, and a set which is not bounded is called an unbounded set. Recall also that if $S$ is a bounded subset of $\mathbb{R}$, then $S$ has the infimum and the supremum, not necessarily in $S$.
For $S \subseteq \mathbb{R}$, we have the following:

  1. Suppose $S$ is bounded, and say $\alpha:=\inf S$ and $\beta:=\sup S$. Then there exist sequences $\left(s_n\right)$ and $\left(t_n\right)$ in $S$ such that $s_n \rightarrow \alpha$ and $t_n \rightarrow \beta$.
  2. $S$ is unbounded if and only if there exists a sequence $\left(s_n\right)$ in $S$ which is unbounded.
  3. $S$ is unbounded if and only if there exists a sequence $\left(s_n\right)$ in $S$ such that $\left|s_n\right| \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$.
  4. If $\left(s_n\right)$ is a sequence in $S$ which is unbounded, then there exists a subsequence $\left(s_{k_n}\right)$ of $\left(s_n\right)$ such that $\left|s_{k_n}\right| \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$
  5. If $\left(s_n\right)$ is a sequence in $S$ such that $\left|s_n\right| \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$, and if $\left(s_{k_n}\right)$ is a subsequence of $\left(s_n\right)$, then $\left|s_{k_n}\right| \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$.
    Exercise 2.2.4 Prove the above statements.
    Theorem 2.2.7 Suppose $f$ is a real valued continuous function defined on a closed and bounded interval $[a, b]$. Then $f$ is a bounded function.

Proof Assume for a moment that $f$ is not a bounded function. Then, there exists a sequence $\left(x_n\right)$ in $[a, b]$ such that $\left|f\left(x_n\right)\right| \rightarrow \infty$. Since $\left(x_n\right)$ is a bounded sequence, by Bolzano-Weierstrass theorem (Theorem 1.1.13), there exists a subsequence $\left(x_{k_n}\right)$ of $\left(x_n\right)$ such that $x_{k_n} \rightarrow x$ for some $x \in[a, b]$. Therefore, by the continuity of $f$, $f\left(x_{k_n}\right) \rightarrow f(x)$. In particular, $\left(f\left(x_{k_n}\right)\right)$ is a bounded sequence. This is a contradiction to the fact that $\left|f\left(x_n\right)\right| \rightarrow \infty$. Thus, we have proved that $f$ cannot be unbounded.

Calculus_微积分_Exponential and Logarithm Functions

We have already come across the expression $a^b$ for $a>0$ and $b \in \mathbb{R}$, though we have not defined it explicitly. However, from elementary arithmetic we know the definition of $a^n$ for $n \in \mathbb{N}$, and the relation, $a^{m+n}=a^m a^n$ for $m, n \in \mathbb{N}$. Also, defining $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ for $n \in \mathbb{N}$ and using the convention $a^0=1$, we have
$$
a^{m+n}=a^m a^n \quad \forall m, n \in \mathbb{Z} .
$$
Also, we have defined $a^{1 / n}$, the $n^{\text {th }}$-root of $a$ for any $a>0$ and $n \in \mathbb{N}$ (cf. Theorem 2.2.15 and Definition 2.2.4). Thus, for any positive rational number $r=m / n$, we can define
$$
a^r:=\left(a^m\right)^{1 / n}, \quad a^{-r}:=\frac{1}{a^r} .
$$
Thus, we have defined $a^r$ for any $a>0$ and $r \in \mathbb{Q}$. Now, the question is, can we have a meaningful definition of $a^x$ for any $x \in \mathbb{R}$ ? To this end, we shall first define $e^x$, where $e$ is the Euler constant defined by
$$
e:=\lim {n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \text { or } e:=\sum{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}
$$

Calculus_微积分_Math323 Some Properties of Continuous Functions

微积分代写

Calculus_微积分_Some Properties of Continuous Functions


回想一下子集 $S$ 的 $\mathbb{R}$ 如果存在则说是有界的 $M>0$ 这样 $|s| \leq M$ 对所有人 $s \in S$, 无界的集合称为无界 集。还记得如果 $S$ 是有界子集 $\mathbb{R}$, 然后 $S$ 有下确界和上确界, 不一定在 $S$. 为了S $S \subseteq \mathbb{R}$, 我们有以下内容:

  1. 认为 $S$ 是有界的, 说 $\alpha:=\inf S$ 和 $\beta:=\sup S$. 那么存在序列 $\left(s_n\right)$ 和 $\left(t_n\right)$ 在 $S$ 这样 $s_n \rightarrow \alpha$ 和 $t_n \rightarrow \beta$.
  2. $S$ 无界当且仅当存在一个序列 $\left(s_n\right)$ 在 $S$ 这是无界的。
  3. $S$ 无界当且仅当存在一个序列 $\left(s_n\right)$ 在 $S$ 这样 $\left|s_n\right| \rightarrow \infty$ 作为 $n \rightarrow \infty$.
  4. 如果 $\left(s_n\right)$ 是一个序列 $S$ 无界, 则存在子序列 $\left(s_{k_n}\right)$ 的 $\left(s_n\right)$ 这样 $\left|s_{k_n}\right| \rightarrow \infty$ 作为 $n \rightarrow \infty$
  5. 如果 $\left(s_n\right)$ 是一个序列 $S_{\text {这样 }}\left|s_n\right| \rightarrow \infty$ 作为 $n \rightarrow \infty$, 而如果 $\left(s_{k_n}\right)$ 是一个子序列 $\left(s_n\right)$, 然后 $\left|s_{k_n}\right| \rightarrow \infty$ 作为 $n \rightarrow \infty$.
    练习 $2.2 .4$ 证明上述陈述。
    定理 2.2.7假设 $f$ 是定义在闭有界区间上的实值连续函数 $[a, b]$. 然后 $f$ 是有界函数。
    证明假设一会儿 $f$ 不是有界函数。那么, 存在一个序列 $\left(x_n\right)$ 在 $[a, b]$ 这样 $\left|f\left(x_n\right)\right| \rightarrow \infty$. 自从 $\left(x_n\right)$ 是一个 有界序列, 由 Bolzano-Weierstrass 定理 (定理 1.1.13), 存在一个子序列 $\left(x_{k_n}\right)$ 的 $\left(x_n\right)$ 这样 $x_{k_n} \rightarrow x$ 对 于一些 $x \in[a, b]$. 因此, 通过连续性 $f, f\left(x_{k_n}\right) \rightarrow f(x)$. 尤其是, $\left(f\left(x_{k_n}\right)\right)$ 是有界序列。这与事实相矛 盾 $\left|f\left(x_n\right)\right| \rightarrow \infty$. 因此, 我们证明了 $f$ 不能无界。

Calculus_微积分_Exponential and Logarithm Functions


我们已经遇到过这种表达方式 $a^b$ 为了 $a>0$ 和 $b \in \mathbb{R}$, 尽管我们没有明确定义它。然而, 从初等算术我们知 道 $a^n$ 为了 $n \in \mathbb{N}$, 和关系, $a^{m+n}=a^m a^n$ 为了 $m, n \in \mathbb{N}$. 此外, 定义 $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ 为了 $n \in \mathbb{N}$ 并使用妁定 $a^0=1$, 我们有
$$
a^{m+n}=a^m a^n \quad \forall m, n \in \mathbb{Z} .
$$
另外, 我们定义了 $a^{1 / n}$, 这 $n^{\text {th }}$-根 $a$ 对于任何 $a>0$ 和 $n \in \mathbb{N}$ (参见定理 2.2.15 和定义 2.2.4)。因此, 对于任何正有理数 $r=m / n$, 我们可以定义
$$
a^r:=\left(a^m\right)^{1 / n}, \quad a^{-r}:=\frac{1}{a^r} .
$$
因此, 我们定义了 $a^r$ 对于任何 $a>0$ 和 $r \in \mathbb{Q}$. 现在, 问题是, 我们能否对 $a^x$ 对于任何 $x \in \mathbb{R}$ ? 为此, 我们 首先要定义 $e^x$, 在哪里 $e$ 是由定义的欧拉常数
$$
e:=\lim n \rightarrow \infty\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \text { or } e:=\sum n=0^{\infty} \frac{1}{n !}
$$

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线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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