如果你也在 怎样代写数论Number theory MATH3170学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|Divisibility and primality
Consider the integers $\mathbb{Z}:={\ldots,-2,-1,0,1,2, \ldots}$. For $a, b \in \mathbb{Z}$, we say that $b$ divides $a$, or alternatively, that $a$ is divisible by $b$, if there exists $c \in \mathbb{Z}$ such that $a=b c$. If $b$ divides $a$, then $b$ is called a divisor of $a$, and we write $b \mid a$. If $b$ does not divide $a$, then we write $b \nmid a$.
We first state some simple facts:
Theorem 1.1. For all $a, b, c \in \mathbb{Z}$, we have
(i) $a|a, 1| a$, and $a \mid 0$;
(ii) $0 \mid a$ if and only if $a=0$;
(iii) $a \mid b$ and $a \mid c$ implies $a \mid(b+c)$;
(iv) $a \mid b$ implies $a \mid-b$;
(v) $a \mid b$ and $b \mid c$ implies $a \mid c$.
Proof. These properties can be easily derived from the definition using elementary facts about the integers. For example, $a \mid a$ because we can write $a=a \cdot 1 ; 1 \mid a$ because we can write $a=1 \cdot a ; a \mid 0$ because we can write $0=a \cdot 0$. We leave it as an easy exercise for the reader to verify the remaining properties.
Another simple but useful fact is the following:
Theorem 1.2. For all $a, b \in \mathbb{Z}$, we have $a \mid b$ and $b \mid a$ if and only if $a=\pm b$.
Proof. Clearly, if $a=\pm b$, then $a \mid b$ and $b \mid a$. So let us assume that $a \mid b$ and $b \mid a$, and prove that $a=\pm b$. If either of $a$ or $b$ are zero, then part (ii) of the previous theorem implies that the other is zero. So assume that neither is zero. Now, $b \mid a$ implies $a=b c$ for some $c \in \mathbb{Z}$. Likewise, $a \mid b$ implies $b=a d$ for some $d \in \mathbb{Z}$. From this, we obtain $b=a d=b c d$, and canceling $b$ from both sides of the equation $b=b c d$, we obtain $1=c d$. The only possibility is that either $c=d=-1$, in which case $a=-b$, or $c=d=1$, in which case $a=b$.
数学代写|数论代写Number Theory代考|Ideals and greatest common divisors
To carry on with the proof of Theorem $1.3$, we introduce the notion of an ideal of $\mathbb{Z}$, which is a non-empty set of integers that is closed under addition, and under multiplication by an arbitrary integer. That is, a non-empty set $I \subseteq \mathbb{Z}$ is an ideal if and only if for all $a, b \in I$ and all $z \in \mathbb{Z}$, we have
$$
a+b \in I \text { and } a z \in I .
$$
Note that for an ideal $I$, if $a \in I$, then so is $-a$, since $-a=a \cdot(-1) \in I$. It is easy to see that any ideal must contain 0 : since an ideal $I$ must contain some element $a$, and by the closure properties of ideals, we must have $0=$ $a+(-a) \in I$. It is clear that ${0}$ and $\mathbb{Z}$ are ideals. Moreover, an ideal $I$ is equal to $\mathbb{Z}$ if and only if $1 \in I$ – to see this, note that $1 \in I$ implies that for all $z \in \mathbb{Z}, z=1 \cdot z \in I$, and hence $I=\mathbb{Z}$; conversely, if $I=\mathbb{Z}$, then in particular, $1 \in I$.
For $a \in \mathbb{Z}$, define $a \mathbb{Z}:={a z: z \in \mathbb{Z}}$; that is, $a \mathbb{Z}$ is the set of all integer multiples of $a$. It is easy to see that $a \mathbb{Z}$ is an ideal: for $a z, a z^{\prime} \in a \mathbb{Z}$ and $z^{\prime \prime} \in \mathbb{Z}$, we have $a z+a z^{\prime}=a\left(z+z^{\prime}\right) \in a \mathbb{Z}$ and $(a z) z^{\prime \prime}=a\left(z z^{\prime \prime}\right) \in a \mathbb{Z}$. The set $a \mathbb{Z}$ is called the ideal generated by $a$, and any ideal of the form $a \mathbb{Z}$ for some $a \in \mathbb{Z}$ is called a principal ideal.
We observe that for all $a, b \in \mathbb{Z}$, we have $a \in b \mathbb{Z}$ if and only if $b \mid a$. We also observe that for any ideal $I$, we have $a \in I$ if and only if $a \mathbb{Z} \subseteq I$. Both of these observations are simple consequences of the definitions, as the reader may verify. Combining these two observations, we see that $a \mathbb{Z} \subseteq b \mathbb{Z}$ if and only if $b \mid a$.
We can generalize the above method of constructing ideals. For $a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{Z}$, define
$$
a_1 \mathbb{Z}+\cdots+a_k \mathbb{Z}:=\left{a_1 z_1+\cdots+a_k z_k: z_1, \ldots, z_k \in \mathbb{Z}\right} .
$$
That is, $a_1 \mathbb{Z}+\cdots+a_k \mathbb{Z}$ consists of all linear combinations, with integer coefficients, of $a_1, \ldots, a_k$. We leave it to the reader to verify that $a_1 \mathbb{Z}+\cdots+$ $a_k \mathbb{Z}$ is an ideal and contains $a_1, \ldots, a_k$; it is called the ideal generated by $a_1, \ldots, a_k$. In fact, this ideal is the “smallest” ideal containing $a_1, \ldots, a_k$, in the sense that any other ideal that contains $a_1, \ldots, a_k$ must already contain this ideal (verify).
数论代写
数学代写|数论代写Number Theory代 考|Divisibility and primality
考虑整数 $\mathbb{Z}:=\ldots,-2,-1,0,1,2, \ldots$. 为了 $a, b \in \mathbb{Z}$, 我们说b划分 $a$, 或者, $a$ 可以被 $b$, 如果存在 $c \in \mathbb{Z}$ 这样 $a=b c$. 如果 $b$ 划分 $a$, 然后 $b$ 鿆称为除数 $a$, 我们写 $b \mid a$. 如果 $b$ 不分 $a$, 然后我们写 $b \nmid a$. 我们首先陈述一些简单的事实:
定理 1.1。对所有人 $a, b, c \in \mathbb{Z}$, 我们有
(i) $a|a, 1| a$, 和 $a \mid 0$;
(二) $0 \mid a$ 当且仅当 $a=0$;
(三 $a \mid b$ 和 $a \mid c$ 暗示 $a \mid(b+c)$;
(四) $a \mid b$ 暗示 $a \mid-b$;
(在) $a \mid b$ 和 $b \mid c$ 暗示 $a \mid c$.
证明。这些性质可以很容易地从使用关于整数的基本事实的定义中推导出来。例如, $a \mid a$ 因为我们可以写 $a=a \cdot 1 ; 1 \mid a$ 因为我们可以写 $a=1 \cdot a ; a \mid 0$ 因为我们可以写 $0=a \cdot 0$. 我们将其作为一个简单的练习 供读者验证剩余的属性。
另一个简单但有用的事实如下:
定理 1.2。对所有人 $a, b \in \mathbb{Z}$, 我们有 $a \mid b$ 和 $b \mid a$ 当且仅当 $a=\pm b$.
证明。显然，如果 $a=\pm b$, 然后 $a \mid b$ 和 $b \mid a$. 所以让我们假设 $a \mid b$ 和 $b \mid a$, 并证明 $a=\pm b$. 如果其中任 何一个 $a$ 或者 $b$ 是零, 那么前面定理的（ii) 部分暗示另一个是零。所以假设两者都不是零。现在, $b \mid a$ 暗示 $a=b c$ 对于一些 $c \in \mathbb{Z}$. 同样地, $a \mid b$ 暗示 $b=a d$ 对于一些 $d \in \mathbb{Z}$. 由此, 我们得到 $b=a d=b c d$, 并取 消 $b$ 从等式两边 $b=b c d$, 我们获得 $1=c d$. 唯一的可能是 $c=d=-1$, 在这种情况下 $a=-b$, 或者 $c=d=1$, 在这种情况下 $a=b$.
数学代写|数论代写Number Theory代 考|Ideals and greatest common divisors
继续证明定理 $1.3$, 我们引入理想的概念 $\mathbb{Z}$, 它是一组非空整数, 在加法和乘以任意整数时闭合。也就是非空 集 $I \subseteq \mathbb{Z}$ 是一个理想当且仅当对所有人 $a, b \in I$ 和所有 $z \in \mathbb{Z}$, 我们有
$$
a+b \in I \text { and } a z \in I .
$$
请注意, 对于理想 $I$, 如果 $a \in I$, 那么也是 $-a$, 自从 $-a=a \cdot(-1) \in I$. 很容易看出, 任何理想都必 须包含 0 : 因为理想 $I$ 必须包含一些元素 $a$, 并且根据理想的闭包性质, 我们必须有 $0=a+(-a) \in I$. 很 清楚 0 和 $\mathbb{Z}$ 是理想。此外, 一个理想 $I$ 等于 $\mathbb{Z}$ 当且仅当 $1 \in I$ – 要看到这一点, 请注意 $1 \in I$ 意味着对于所有 人 $z \in \mathbb{Z}, z=1 \cdot z \in I$, 因此 $I=\mathbb{Z} ;$ 相反, 如果 $I=\mathbb{Z}$, 那么特别是, $1 \in I$.
为了 $a \in \mathbb{Z}$, 定义 $a \mathbb{Z}:=a z: z \in \mathbb{Z}$; 那是, $a \mathbb{Z}$ 是所有整数倍的集合 $a$. 很容易看出 $a \mathbb{Z}$ 是一个理想: 对于 $a z, a z^{\prime} \in a \mathbb{Z}$ 和 $z^{\prime \prime} \in \mathbb{Z}$, 我们有 $a z+a z^{\prime}=a\left(z+z^{\prime}\right) \in a \mathbb{Z}$ 和 $(a z) z^{\prime \prime}=a\left(z z^{\prime \prime}\right) \in a \mathbb{Z}$. 套装 $a \mathbb{Z}$ 被 称为产生的理想 $a$, 以及任何形式的理想 $a \mathbb{Z}$ 对于一些 $a \in \mathbb{Z}$ 称为主理想。
我们观察到所有 $a, b \in \mathbb{Z}$, 我们有 $a \in b \mathbb{Z}$ 当且仅当 $b \mid a$. 我们还观察到, 对于任何理想 $I$, 我们有 $a \in I$ 当且仅当 $a \mathbb{Z} \subseteq I$. 正如读者可以验证的那样, 这两个观察结果都是定义的简单结果。结合这两个观察, 我 们看到 $a \mathbb{Z} \subseteq b \mathbb{Z}$ 当且仅当 $b \mid a$.
我们可以概括上述构造理想的方法。为了 $a_1, \ldots, a_k \in \mathbb{Z}$, 昰义
a_1 \mathbb ${Z}+\backslash c$ cots $+a_{-} k \backslash m a t h b b{z}:=\backslash l e f t\left{a_{-} z_1 z_{-} 1+\backslash c\right.$ dots $+a_{-} k z_{-} k: z_{-} 1, \backslash d o t s, z_{-} k \backslash$ in $\left.\backslash m a t h b b{z} \backslash r i g h t\right}$
那是, $a_1 \mathbb{Z}+\cdots+a_k \mathbb{Z}$ 由具有整数系数的所有线性组合组成 $a_1, \ldots, a_k$. 我们把它留给读者来验证 $a_1 \mathbb{Z}+\cdots+a_k \mathbb{Z}$ 是一个理想并且包含 $a_1, \ldots, a_k$; 它被称为产生的理想 $a_1, \ldots, a_k$. 事实上, 这个理想是 包含 $a_1, \ldots, a_k$, 在任何其他理想包含的意义上 $a_1, \ldots, a_k$ 必须已经包含这个理想 (验证)。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。