如果你也在 怎样代写数论Number theory MATH2301学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|Constructing Finite Fields
We now turn to the following question: Given a prime number $p$ and a positive integer $e$, how can we construct both the elements and the arithmetic operations of a finite field $\mathbb{F}_{p^e}$ ? Of course we’ve long since known how to do this when $e=1$, but we have to this point not considered how to do it when $e>1$. It turns out that a convenient way to do this construction is to utilize polynomials in a single unknown whose coefficients are taken from the prime finite field $\mathbb{F}_p$. We shall denote by $\mathbb{F}_p[\theta]$ the set of all polynomials in the single unknown $\theta$ with coefficients in $\mathbb{F}_p$, where $p$ is any prime. This set has algebraic structure by using standard addition and multiplication of polynomials. Here are two important definitions:
A polynomial $f(\theta)$ is called monic if its leading term (i.e., nonzero term of highest degree) has a coefficient of 1 . So, for example $\theta^2+4 \theta+3$ is monic but $2 \theta+4$ is not. Important idea: Monic polynomials in $\mathbb{F}_p[\theta]$ are the analogue of positive numbers in the integers $\mathbb{Z}$.
A polynomial $f(\theta)$ is called irreducible if it cannot be factored into two polynomials of positive degree. For example, in $\mathbb{F}_2[\theta], \theta^2+\theta+1$ is irreducible, but $\theta^2+1=(\theta+1)(\theta+1)$ is not. We note that the irreducibility of a polynomial depends on the field of coefficients. For example, the polynomial $x^2-2$ is irreducible over the field of $\mathbb{Q}$ of rational numbers, but it is reducible over the field $\mathbb{R}$ of real numbers since there $x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$. Important idea: Irreducible polynomials in $\mathbb{F}_p[\theta]$ are the analogue of prime numbers in the integers $\mathbb{Z}$.
Given these two definitions, we can now describe a procedure for constructing a finite field $F$ whose order is $p^e$ with $e>1$.
- Select a monic irreducible polynomial $P(\theta)$ of degree $e$ in $\mathbb{F}_p[\theta]$. We shall show in Section $10.7$ that there do exist monic irreducible polynomials of all degrees in $\mathbb{F}_p[\theta]$; in fact we shall be able to count exactly how many there are of each degree.
- Let $F$ be the set of all polynomials (not just monic ones) of degree $e-1$ or less in $\mathbb{F}_p[\theta]$. Since there are $e$ coefficients to fill in with $p$ choices in each one, there are a total of $p^e$ elements (which are polynomials in $\theta$ ) in $F$, so $F$ now has the correct number of elements.
- The algebraic structure of $F$ is now the following: Addition is the standard polynomial term-by-term operation, so $F$ is definitely closed under this operation. Multiplication is done by standard polynomial multiplication, but is followed by reducing the answer modulo our monic irreducible polynomial $P(\theta)$ defined above. That is, we divide our answer by $P(\theta)$ and take the remainder, whose degree must be less than or equal to $e-1$ since the degree of $P(\theta)$ is $e$.
数学代写|数论代写Number Theory代考|The Multiplicative Structure of Fq
One surprising fact about finite fields is that their multiplicative structure is as simple as possible, in a sense that we will now make precise. In order to do this, we need a little more language from abstract algebra. We know that in general a field $F$ possesses both an addition and a multiplication which must obey certain rules, for example we know that every non-zero element of $F$ must have a multiplicative inverse in $F$. In abstract algebra we say that the elements of $F$ form a “group” under addition, and that the non-zero elements of $F$ (often denoted $F^*$ ) form a group under multiplication. If we now focus in on the case $F=\mathbb{F}_q$ (where $q$ is a prime power), we know that the additive group has order $q$ and the multiplicative group has order $q-1$. If $q=p^e$ ( $p$ prime), we also know that the additive structure is simply addition modulo $p$ if $e=$ 1 and is polynomial addition modulo $p$ if $e>1$. The multiplicative structure is multiplication modulo $p$ when $e=1$, but we saw in the previous section that when $e>1$, multiplication seems more complicated. It turns out, however and as we said above, that even though doing multiplication is tricky, the underlying multiplicative structure is not complicated.
数论代写
数学代写|数论代写Number Theory代 考|Constructing Finite Fields
我们现在转向以下问题: 给定一个素数 $p$ 和一个正整数 $e$, 我们如何构造有限域的元素和算术运算 $F_{p^f}$ ? 当 然, 我们早就知道如何做到这一点, 当 $e=1$, 但是我们到此为止还没有考虑到如何去做的时候 $e>1$. 事实 证明, 进行这种构造的一种方便方法是利用单个末知数中的多项式, 其系数取自素数有限域 $\mathbb{F}_p$. 我们将表示 为 $\mathbb{F}_p[\theta]$ 单一末知数中所有多项式的集合 $\theta$ 系数在 $\mathbb{F}_p$, 在哪里 $p$ 是任何素数。该集合通过使用多项式的标准 加法和乘法具有代数结构。这里有两个重要的定义:
多项式 $f(\theta)$ 如果其前导项 (即最高阶的非零项) 的系数为 1 , 则称为 monic 。所以, 例如 $\theta^2+4 \theta+3$ 是 monic 但是 $2 \theta+4$ 不是。重要思想: Monic 多项式 $\mathbb{F}_p[\theta]$ 是整数中正数的类比 $\mathbb{Z}$.
多项式 $f(\theta)$ 如果不能将其分解为两个正次数多项式, 则称为不可约。例如, 在 $\mathbb{F}_2[\theta], \theta^2+\theta+1$ 是不可约 的, 但是 $\theta^2+1=(\theta+1)(\theta+1)$ 不是。我们注意到多项式的不可约性取决于系数的域。例如, 多项式 $x^2-2$ 在域上是不可约的 $\mathbb{Q}^2$ 有数, 但在域上是可约的 $\mathbb{R}$ 自那里以来的实数
$x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$. 重要思想: 不可约多项式 $\mathbb{F}_p[\theta]$ 是整数中素数的类比 $\mathbb{Z}$.
给定这两个定义，我们现在可以描述构造有限域的过程 $F$ 谁的顺序是 $p^e$ 和 $e>1$.
选择一元不可约多项式 $P(\theta)$ 学位 $e$ 在 $\mathbb{F}_p[\theta]$. 我们将在部分展示 $10.7$ 确实存在所有阶的一元不可 约多项式 $F_p[\theta]$; 事实上, 我们将能够准确计算每个学位有多少。
让 $F$ 是度数的所有多项式 (不仅仅是一元多项式) 的集合 $e-1$ 或更少 $\mathbb{F}_p[\theta]$. 既然有 $e$ 需要填写 的系数 $p$ 每一项都有选择，一共有 $p^e$ 元素 (它们是多项式 $\theta$ ) 在 $F$ ，所以 $F$ 现在有正确数黑的 元素。
的代数结构 $F$ 现在是: 加法是标准的多项式逐项运算, 所以 $F$ 在这个操作下肯定是关闭的。乘 法是通过标准多项式乘法完成的, 但随后是对我们的一元不可约多项式的模数进行归约 $P(\theta)$ 定 义如上。也就是说, 我们将答案除以 $P(\theta)$ 并取余数, 其度数必须小于或等于 $e-1$ 由于程度 $P(\theta)$ 是 $e$.
数学代写|数论代写 Number Theory代 考|The Multiplicative Structure of Fq
关于有限域的一个含人惊讶的事实是, 它们的乘法结构尽可能简单, 从某种意义上说, 我们现在将变得精 确。为了做到这一点, 我们需要更多抽象代数的语言。我们知道, 一般来说, 一个领域 $F$ 具有必须遵守某些 规则的加法和乘法, 例如, 我们知道每个非零元素 $F$ 必须有一个乘法逆 $F$. 在抽象代数中, 我们说 $F$ 在加法 下形成一个 “群”, 并且 $F$ (通常表示 $F^*$ ) 在乘法下形成一个群。如果我们现在专注于这个案子 $F=\mathbb{F}_q$ (在 哪里 $q$ 是素幂), 我们知道加法群有序 $q$ 并且乘法群有顺序 $q-1$. 如果 $q=p^e(p$ 素数), 我们她知道加法 结构是简单的加法模 $p$ 如果 $e=1$ 并且是多项式加法模 $p$ 如果 $e>1$. 乘法结构是乘法模 $p$ 仲么时候 $e=1$, 但 我们在上一节中看到, 当 $e>1$, 乘法似平更复杂。然而事实证明, 正如我们上面所说, 即使做乘法很棘 手, 但底层的乘法结构并不复杂。
有限群论的基本和美丽的定理之一是拉格朗日定理, 它非常简单地说, 有限群的子群的阶必须整除群的阶。 在这里, 我们希望将此结果应用于称为循环子群的特定类型的子群, 如下所示。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。