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抽象代数abstract algebra代数这个词不仅用于命名数学的一个领域和一些子领域，它还用于命名一些种类的代数结构，如一个场上的代数，通常称为代数。有时，同一短语也用于一个子领域及其主要代数结构；例如，布尔代数和布尔代数。一个专门研究代数的数学家被称为代数学家。
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数学代写|抽象代数作业代写Abstract Algebra代考|Elements with infinite order revisited
Now, let $g$ be a group element with infinite order. As we saw in Section $12.5$, here are a couple of examples of such an element:
- $1 \in \mathbb{Z}$ where $\mathbb{Z}$ is a group under addition.
- $3 \in \mathbb{R}^$ where $\mathbb{R}^={a \in \mathbb{R} \mid a$ has a multiplicative inverse $}$ is a group under multiplication.
We dig deeper into the second example. Consider the following cyclic subgroup of $\mathbb{R}^$ : $$ \begin{aligned} \langle 3\rangle &=\left{3^k \mid k \in \mathbb{Z}\right} \ &=\left{\ldots, 3^{-4}, 3^{-3}, 3^{-2}, 3^{-1}, 3^0, 3^1, 3^2, 3^3, 3^4, \ldots\right} . \end{aligned} $$ Then, define a function $\theta: \mathbb{Z} \rightarrow\langle 3\rangle$ where $\theta(k)=3^k$ for all $k \in \mathbb{Z}$. We first show that $\theta$ is one-to-one. Suppose $\theta(a)=\theta(b)$ where $a, b \in \mathbb{Z}$. Then $3^a=3^b$. Since ord(3) is infinite, Theorem $12.29$ implies that $a=b$, showing that $\theta$ is one-to-one. To prove that $\theta$ is onto, let $y \in\langle 3\rangle$ so that $y=3^k$ for some integer $k$. Then $\theta(k)=3^k=y$, and hence $\theta$ is onto. To show that $\theta$ is operation preserving, let $a, b \in \mathbb{Z}$. Then $$ \theta(a+b)=3^{a+b}=3^a \cdot 3^b=\theta(a) \cdot \theta(b) $$ as desired. We showed that $\theta$ is a bijection and operation preserving, hence an isomorphism. In fact, there is nothing special about $3 \in \mathbb{R}^$ here. Thus, we have the following theorem.
数学代写|抽象代数作业代写ALGEBRA代考|Inverse isomorphisms
Given groups $G$ and $H$, we say that $G$ is isomorphic to $H$ if there exists an isomorphism $\alpha: G \rightarrow H$, i.e., a bijection that is operation preserving. This means that $G$ and $H$ are essentially the same group. But this relationship seems a bit one-sided, since in the isomorphism $\alpha$, the domain is $G$ and the codomain is $H$. If $G$ is isomorphic to $H$, could we also say that $H$ is isomorphic to $G$ ? Is there a corresponding isomorphism, say $\beta$, in which $H$ is the domain and $G$ is the codomain?
Before answering these questions, let’s look at an example.
Example 16.9. In Example 16.5, we defined a function $\alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{>0}$ where $\alpha(x)=$ $3^x$ for all $x \in \mathbb{R}$. (Note that $\mathbb{R}^{>0}$ is the set of all positive real numbers, which is a multiplicative group.) We also verified that $\alpha$ is an isomorphism. Define a function $\beta: \mathbb{R}^{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ where $\beta(x)=\log _3 x$ for all $x \in \mathbb{R}^{>0}$. You’ll show in an exercise at the end of the chapter that $\beta$ is one-to-one and onto. We now show that $\beta$ is operation preserving. For $a, b \in \mathbb{R}^{>0}$, we have $\beta(a \cdot b)=\log _3(a \cdot b)=\log _3 a+\log _3 b=\beta(a)+\beta(b)$. Here, $\log _3(a \cdot b)=\log _3 a+\log _3 b$ follows from one of the laws of logarithms. Therefore, $\beta$ is an isomorphism.
抽象代数代写
数学代写抽象代数作业代写Abstract Algebra代考|Elements with infinite order revisited
现在, 让 $g$ 是无限阶的群元素。正如我们在章节中看到的 $12.5$, 这里有几个这样的元素的例子:
$1 \in \mathbb{Z}$ 在哪里 $\mathbb{Z}$ 是一个正在添加的组。
$\$ 3 \backslash$ in $\backslash$ mathbb ${R}^{\wedge} w h e r e \backslash$ mathbb ${R}^{\wedge}={a \backslash$ in $\backslash \operatorname{math} b b{R} \backslash$ mid a hasamultiplicativeinverse}\$是一个乘法下的组。
然后, 昰义一个函数 $\theta: \mathbb{Z} \rightarrow\langle 3\rangle$ 在娜里 $\theta(k)=3^k$ 对所有人 $k \in \mathbb{Z}$. 我们首先证明 $\theta$ 是一对一的。认为 $\theta(a)=\theta(b)$ 在哪里 $a, b \in \mathbb{Z}$. 然后 $3^a=3^b$. 由于 $\operatorname{ord}(3)$ 是无限的, 定理 $12.29$ 暗示 $a=b$, 表明 $\theta$ 是一对 一的。为了证明 $\theta$ 是, 让 $y \in\langle 3\rangle$ 以便 $y=3^k$ 对于某个整数 $k$. 然后 $\theta(k)=3^k=y$, 因此 $\theta$ 上。为了表明 $\theta$ 是操作保持, 让 $a, b \in \mathbb{Z}$. 然后
$$
\theta(a+b)=3^{a+b}=3^a \cdot 3^b=\theta(a) \cdot \theta(b)
$$
因此, 我们有以下定理。
数学代写抽象代数作业代写ALGEBRA代 考|Inverse isomorphisms
给定组 $G$ 和 $H$, 我们说 $G$ 同构于 $H$ 如果存在同构 $\alpha: G \rightarrow H$, 即保持操作的双射。这意味着 $G$ 和 $H$ 本质上 是同一组。但这种关系似乎有点片面, 因为在同构 $\alpha$, 域是 $G$ 并且共域是 $H$. 如果 $G$ 同构于 $H$, 我们也可以这 样说 $H$ 同构于 $G$ ? 有没有对应的同构, 比如说 $\beta$, 其中 $H$ 是域和 $G$ 是共域吗?
在回答这些问题之前, 让我们看一个例子。
例 16.9。在示例 $16.5$ 中, 我们定义了一个函数 $\alpha: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{>0}$ 在哪里 $\alpha(x)=3^x$ 对所有人 $x \in \mathbb{R}$. (注意 $\mathbb{R}^{>0}$ 是所有正实数的集合, 它是一个乘法群。) 我们还验证了 $\alpha$ 是同构。定义一个函数 $\beta: \mathbb{R}^{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ 在哪 里 $\beta(x)=\log _3 x$ 对所有人 $x \in \mathbb{R}^{>0}$. 你将在本章末尾的练习中展示 $\beta$ 是一对一的。我们现在证明 $\beta$ 是操作 保持。为了 $a, b \in \mathbb{R}^{>0}$, 我们有 $\beta(a \cdot b)=\log _3(a \cdot b)=\log _3 a+\log _3 b=\beta(a)+\beta(b)$. 这里, $\log _3(a \cdot b)=\log _3 a+\log _3 b$ 遵循对数定律之一。所以, $\beta$ 是同构。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在微观经济学代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种微观经济学代写Microeconomics相关的作业也就用不着 说。
机器学习代写
机器学习（ML）是一个致力于理解和建立 “学习 “方法的研究领域，也就是说，利用数据来提高某些任务的性能的方法。机器学习算法基于样本数据（称为训练数据）建立模型，以便在没有明确编程的情况下做出预测或决定。机器学习算法被广泛用于各种应用中，如医学、电子邮件过滤、语音识别和计算机视觉，在这些应用中，开发传统算法来执行所需任务是困难的或不可行的。机器学习与统计学密切相关，统计学专注于使用计算机进行预测，但并非所有的机器学习都是统计学习。数学优化的研究为机器学习领域提供了方法、理论和应用领域。
统计推断代写
统计推断是指从数据中得出关于种群或科学真理的结论的过程。进行推断的模式有很多，包括统计建模、面向数据的策略以及在分析中明确使用设计和随机化。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。