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计算机代写|机器学习代写MACHINE LEARNING代考|ENGG3300 Kernel Function

计算机代写|机器学习代考MACHINE LEARNING代考|Kernel Function

Previous discussions in this chapter assumed the training samples are linearly separable, that is, there exist hyperplanes that can classify all training samples correctly. However, this assumption often does not hold in practice. For example, the exclusive disjunction (i.e., XOR) problem, as shown in – Figure 6.3, is not linearly separable.

In such cases, we can map the samples from the original feature space to a higher dimensional feature space. That way the samples become linearly separable. For example, in – Figure 6.3, a qualified hyperplane can be found after mapping the 2-dimensional space to a 3-dimensional space. Fortunately, if the original feature space has a finite number of features, then there must exist a higher dimensional feature space in which the samples are linearly separable.
Let $\phi(\boldsymbol{x})$ denote the mapped feature vector of $\boldsymbol{x}$, then See Chap.12. the separating hyperplane model in the feature space can be expressed as
$$
f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{w}^{\top} \phi(\boldsymbol{x})+b,
$$
where $\boldsymbol{w}$ and $b$ are the model parameters. Similar to (6.6), we have
$$
\min {\boldsymbol{w}, b} \frac{1}{2}|\boldsymbol{w}|^2 $$ s.t. $y_i\left(\boldsymbol{w}^{\top} \phi\left(\boldsymbol{x}_i\right)+b\right) \geqslant 1, \quad i=1,2, \ldots, m$. Its dual problem is $$ \max {\boldsymbol{\alpha}} \sum_{i=1}^m \alpha_i-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \alpha_i \alpha_j y_i y_j \phi\left(\boldsymbol{x}i\right)^{\top} \phi\left(\boldsymbol{x}_j\right) $$ s.t. $\sum{i=1}^m \alpha_i y_i=0$,
$$
\alpha_i \geqslant 0, \quad i=1,2, \ldots, m
$$

计算机代写|机器学习代考MACHINE LEARNING代考|Soft Margin and Regularization

Our discussions so far assumed the samples to be linearly separable in either the sample space or the feature space. However, it is often difficult to find an appropriate kernel function to make the training samples linearly separable in the feature space. Even if we do find such a kernel function, it is hard to tell if it is a result of overfitting.

One way of alleviating this situation is to allow a support vector machine to make mistakes on a few samples. This idea is implemented by the concept of soft margin, as shown in – Figure 6.4.

To be specific, the previously introduced support vector machines are subject to the constraints (6.3), that is, the hard margin requires all samples to be correctly classified. The soft margin, however, allows the violation of the constraint
$$
y_i\left(\boldsymbol{w}^{\top} \boldsymbol{x}i+b\right) \geqslant 1 . $$ Of course, the number of samples violating the constraint should be minimized while maximizing the margin. Hence, the optimization objective can be written as $$ \min {\boldsymbol{w}, b} \frac{1}{2}|\boldsymbol{w}|^2+C \sum_{i=1}^m \ell_{0 / 1}\left(y_i\left(\boldsymbol{w}^{\top} \boldsymbol{x}i+b\right)-1\right), $$ where $C>0$ is a constant, and $\ell{0 / 1}$ is the $0 / 1$ loss function
$$
\ell_{0 / 1}(z)= \begin{cases}1, & \text { if } z<0 \ 0, & \text { otherwise }\end{cases}
$$
When $C$ is infinitely large, (6.29) forces all samples to obey the constraint (6.28), and (6.29) is equivalent to (6.6), that is, the hard margin. On the other hand, some samples may violate the constraint when $C$ takes a finite value.

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机器学习代考

计算机代写|机器学习代考MACHINE LEARNING代考|Kernel Function


本章前面的讨论假设训练样本是线性可分的, 即存在可以正硧分类所有训练样本的超平面。然而, 这种假设 在实践中往往不成三。例如,如图 6.3 所示的排他性析取(即 XOR)问题不是线性可分的。
在这种情况下, 我们可以将样本从原始特征空间映射到更高维的特征空间。这样样本就成为线性可分的。例 如, 在图 $6.3$ 中, 将 2 维空间映射到 3 维空间后, 可以找到一个合格的超平面。幸运的是, 如果原始特征空 间具有有限数荲的特征, 那么北须存在一个更高维的特征空间,其中样本是线性可分的。
让 $\phi(\boldsymbol{x})$ 表示映射的特征向量 $\boldsymbol{x}$, 然后参见第 12 章。特征空间中的分禽超平面模型可以表示为
$$
f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{w}^{\top} \phi(\boldsymbol{x})+b
$$
在哪里 $\boldsymbol{w}$ 和 $b$ 是模型参数。与 (6.6) 类似, 我们有
$$
\min \boldsymbol{w}, b \frac{1}{2}|\boldsymbol{w}|^2
$$
英石 $y_i\left(\boldsymbol{w}^{\top} \phi\left(\boldsymbol{x}i\right)+b\right) \geqslant 1, \quad i=1,2, \ldots, m$. 它的双重问题是 $$ \max \boldsymbol{\alpha} \sum{i=1}^m \alpha_i-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m \alpha_i \alpha_j y_i y_j \phi(\boldsymbol{x} i)^{\top} \phi\left(\boldsymbol{x}j\right) $$ 英石 $\sum i=1^m \alpha_i y_i=0$ $$ \alpha_i \geqslant 0, \quad i=1,2, \ldots, m $$

计算机代写机器学习代考MACHINE LEARNING代考|Soft Margin and Regularization

到目前为止, 我们的讨论假设样本在样本空间或特征空间中是线性可分的。然而, 通常很难找到合适的核函 数来使训练样本在特征空间中线性可分。即使我们确实找到了这样的核函数, 也很难判断它是否是过度拟合 的结果。 䌽解这种情况的一种方法是允许支持向量机在几个样本上出错。这个想法是通过软边距的概念来实现的, 如 图 $6.4$ 所示。 具体来说, 前面介绍的支持向䵡机都涭到约束 (6.3), 即硬边距要求所有样本都被正确分类。然而, 软边 距允许违反约束 $$ y_i\left(\boldsymbol{w}^{\top} \boldsymbol{x} i+b\right) \geqslant 1 . $$ 当然, 在最大化margin的同时, 应该尽量减少违反约束的样本数量。因此, 优化目标可以写成 $$ \min \boldsymbol{w}, b \frac{1}{2}|\boldsymbol{w}|^2+C \sum{i=1}^m \ell_{0 / 1}\left(y_i\left(\boldsymbol{w}^{\top} \boldsymbol{x} i+b\right)-1\right),
$$
在哪里 $C>0$ 是一个常数, 并且 $\ell 0 / 1$ 是个 $0 / 1$ 损失函数
$$
\ell_{0 / 1}(z)={1, \quad \text { if } z<00, \quad \text { otherwise }
$$
什么时候 $C$ 无限大, (6.29)强制所有样本服从约束(6.28),(6.29)等价于(6.6), 即硬边距。另一方面, 一些样 本可能会违反约束 $C$ 取一个有限值。

计算机代写|机器学习代考MACHINE LEARNING代写

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。



博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。



微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。



计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。



MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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